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临川二中2012届高三第一次月考数学(文科)

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江西省临川二中 2012 届高三年级第一次月考 数学试题(文科) 数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 ) 1.已知 m ∈ R ,复数 A. ?1

m+i 1 ? 的实部和虚部相等,则 m 等于( 1+ i 2 1 B. ?2 C. 2

) D. 2

2.若集合 M = ? y y =

? ?

1? ? , N = x y = x ? 1 ,那么 M I N =( x2 ?

{

}



B. [ 0, +∞ ) C. (1, +∞ ) D. [1, +∞ ) r r r r r r r 3.已知 a = 1 , b = 6 , a ? b ? a = 2 ,则向量 a 与 b 的夹角是( ) A. ( 0, +∞ )

(

)

A.

π
6

B.

π
4

C.

π
3

D.

π
2


4.已知 A 是 ?ABC 的内角,则“ sin A = A.充分不必要条件 C.充要条件

3 ”是“ tan A = 3 ”的( 2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c .若 a =

5 b, A = 2 B ,则 2

cos B =(
A.

) B.

5 3

5 4
2

C.

5 5

D.

5 6


6.已知函数 f ( x ) = sin 2 x ? 2sin x sin 2 x( x ∈ R ) ,则 f ( x ) 是( A.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 D. 最小正周期为

π

2

的奇函数

7.奇函数 f ( x ) 在区间 ( ?∞, 0 ) 上单调递减,且 f ( 2 ) = 0 ,则不等式

( x ? 1) f ( x + 1) > 0 的解集为(
A. ( ?2, ?1) U (1, 2)

) C. ( ?3, ?1) D. ( ?2, 0 ) U ( 2, +∞ )

B. ( ?3,1) U ( 2, +∞ )

8.若函数 f ( x ) 为奇函数,当 x < 0 时, f ( x ) = ? lg( ? x) + x + 3 ,已知 f ( x ) = 0 有
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一个根为 xo ,且 xo ∈ ( n, n + 1), n ∈ N ,则 n 的值为( A. 1 B. 2 C. 3

?

) D. 4

9.在 ?ABC 中, G 是 ?ABC 的重心,且 aGA + bGB + 是角 A, B, C 的对边,则 A =( A. 30
o

uuu r

uuu r

3 uuur r cGC = 0 ,其中 a, b, c 分别 3

) C. 120
o

B. 60

o

D. 150

o

10.设函数 f ( x ) =

2x ( x ∈ R ) , M = [ a, b ] ( a < b ) , N = y y = f ( x ) , x ∈ M , 1+ x
) C.3 个 D.无数个

{

}

则使 M = N 成立的实数对 (a, b) 有( A.1 个 B.2 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 ) . . 11.曲线 y = 2 x ? x 3 在 x = ?1 处的切线方程为

12.已知函数 y = sin ( ω x+ ? ) ω >0, ? π ≤ ? < π )的图像如图所示,则 ? = ( y 1 O ?1 13.设 x ∈ ? 0,
3π 4



x

2sin 2 x + 1 ? π? ,则函数 y = 的最小值为 ? sin 2 x ? 2?
3 2



14.已知函数 f ( x ) = x + 2 x ? ax + 1 在区间 ( ?1,1) 上恰有一个极值点,则实数 a 的 取值范围是 .
o

15.已知直角梯形 ABCD 中, AD / / BC , ∠ADC = 90 , AD = 2 , BC = 1 , P 是 腰 DC 上的动点,则 PA + 3PB 的最小值为

uuu r

uuu r



三、 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分为 12 分) 已知平面上三点 A、B、C ,向量 BC = (2 ? k ,3) , AC = (2, 4) . (Ⅱ)若在 ?ABC 中, ∠B = 90 ,求 k 的值. (Ⅰ)若 A、B、C 三点共线,求 k 的值;
o

uuu r

uuur

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17. (本小题满分为 12 分) 已知函数 y = a
2x

+ 2a x ? 1 (a > 0且a ≠ 1) 在区间 [ ?11] 上的最大值为 14,求 a 的值. ,

18. (本大题满分 12 分) 已 知 向 量 m = (sin ω x, ? 3 cos ω x ) , n = ? sin ω x, cos ? ω x +

ur

r

? ?

? ?

π ??

? ? (ω > 0) , 且 函 数 2 ??

ur r f ( x) = m ? n 的最小正周期为 π .
(Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x ) ? a = 0 在 ? 0,

? π? 上有且只有一个实数根,求实数 a 的取值范围. ? 2? ?

19. (本大题满分 12 分) 在 ?ABC 中,三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足

sin 2 2 B + sin 2 B sin B + cos 2 B = 1 .
(Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)若 b = 3 ,求 a + c 的最大值.

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20. (本大题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = log m

x?3 ( m > 0且m ≠ 1) . x+3

(Ⅰ)若 f ( x ) 的定义域为 [α , β ] ( β > α > 0) ,判断 f ( x ) 的单调性,并加以说明; (Ⅱ)当 0 < m < 1 时,是否存在 α , β ,使得 f ( x ) 在区间 [α , β ] ( β > α > 0) 上的值域为

?log m m ( β ? 1) , log m m (α ? 1) ? ,若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. ? ?

21. (本大题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ln x ? (Ⅰ)当 a = b =

1 2 ax ? bx . 2

1 时,求 f ( x ) 的最大值; 2 1 2 a (Ⅱ)令 F ( x ) = f ( x ) + ax + bx + (0 < x ≤ 3) ,其图象上任意一点 P ( xo , yo ) 处切线的斜 2 x 1 率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(Ⅲ)当 a = 0 , b = ?1 时,方程 2mf ( x) = x 2 有唯一的实数解,求正实数 m 的值.

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江西省临川二中 2012 届高三年级第一次月考 数学试题答案(文科) 数学试题答案(文科)
一、选择题 1—5 CDCBB 二、填空题 11. x + y + 2 = 0 三、解答题 6—10 DCBAC
12.

9π 10

13. 3

14. [ ?1, 7 )

15. 5

uuu uuur r 1 16. (1)由已知 BC / / AC ,即有 ( 2 ? k ) × 4 ? 3 × 2 = 0 ,得 k = ; (6 分) 2 uuu uuur uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r (2) AB = AC ? BC = ( k ,1) ,由已知 AB ⊥ BC ,即有 AB ? BC = 0 ,得
k ( 2 ? k ) + 3 = 0 , k = ?1或3 .
17. y = ( a x + 1) ? 2 .
2

(12 分)

(2 分)
1 2 ≤ a x ≤ a .因为 ymax = 14 ,故 ( a + 1) ? 2 = 14 ,即 a = 3 a (7 分)

当 a > 1 ,由 ?1 ≤ x ≤ 1 ,知

1 ?1 ? 当 0 < a < 1 ,则 ? + 1? ? 2 = 14 ,得 a = . 3 ?a ? 1 综上所述, a = 3或 . 3 18. f ( x ) = sin 2 ω x + 3 cos ω x sin ω x =
(1)由已知 T = (12 分)

2

1 ? cos 2ω x 3 π 1 + sin 2ω x = sin(2ω x ? ) + 2 2 6 2
(6 分)

2π = π ,即有 ω = 1 ; 2ω

π 1 ? π? ( 2 )由已知方程 sin(2 x ? ) = a ? 在 ?0, ? 上有且只有一个实数根,等价于函数 6 2 ? 2? π 1 y = sin(2 x ? ) 的图象与直线 y = a ? 只有一个交点,画图可得, 6 2 1 1 1 1 3 ? ≤ a ? < 或者 a ? = 1 ,即有 0 ≤ a < 1或a = . 2 2 2 2 2

(12 分)

19.(1)有已知 4 sin 2 B cos 2 B + 2sin 2 B cos B ? 2sin 2 B = 0 ,
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即 2 sin 2 B (cos B + 1)(2 cos B ? 1) = 0 ,则 2 cos B ? 1 = 0 , B =
a2 + c2 ? b2 (2) cos B = cos 60 = ,即 2ac
o

π
3

.

(6 分)

b 2 = ( a + c ) ? 3ac ≥ ( a + c ) ?
2 2

3 1 2 2 (a + c) = (a + c) , 4 4

所以

(a + c)

2

≤ 36 , ( a + c )max = 6 .

(12 分)

20.(1)

x?3 > 0 ? x<–3 或 x>3.由于 f ( x ) 的定义域为 [α, β] ,则 α > 3 . x+3
x1 ? 3 x 2 ? 3 6( x1 ? x 2 ) ? = >0, x1 + 3 x 2 + 3 ( x1 + 3)( x 2 + 3)

设 β ≥ x1 > x2 ≥ α ,有

故当 0<m<1 时,f(x)为减函数,当 m>1 时,f(x)为增函数. (2)若 f ( x ) 在 [α, β ] 上的值域为 [log m m(β ? 1), log m m(α ? 1)] 由(1)知当 0<m<1 时,f(x)为减函数.

(4 分)

? ? f (β ) = log m ? 则? ? f (α) = log m ? ?

β?3 = log m m(β ? 1) β+3 α ?3 = log m m(α ? 1) α+3

?mβ 2 + (2m ? 1) β ? 3(m ? 1) = 0 ? 即? 2 又β >α > 3 ?mα + (2m ? 1)α ? 3(m ? 1) = 0 ?

即 α , β 为方程 mx 2 + (2m ? 1) x ? 3(m ? 1) = 0 的大于 3 的两个不同的实数根.
?0 < m < 1 ? 2 ?? = 16m ? 16m + 1 > 0 ? 从而 ? 2m ? 1 >3 ?? 2m ? ? f (3) > 0 ?

得0 < m <

2? 3 . 4

故当 0 < m <

2? 3 时,存在满足题意条件的 α , β . 4

(13 分)

21.(1)依题意,知 f ( x ) 的定义域为 ( 0, +∞ ) .

当a = b =

1 1 1 时, f ( x ) = ln x ? x 2 ? x , 2 4 2
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f ′( x) =

1 1 1 ?( x + 2)( x ? 1) ,令 f ′ ( x ) = 0 ,解得 x = 1或x = ?2 (舍去). ? x? = x 2 2 2x

当 0 < x < 1 时, f ′ ( x ) > 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x > 1 时, f ′ ( x ) < 0 , f ( x ) 单调递减.
3 所以 f ( x )max = f (1) = ? . 4

(3 分)

a x ?a 1 (2) F ( x) = ln x + , x ∈ ( 0, 3] ,则有 k = F ′( xo ) = o 2 ≤ 在 ( 0,3] 上恒成立, x xo 2

1 ? 1 ? 所以 a ≥ ? ? xo 2 + xo ? ,即有 a ≥ . 2 ? 2 ? max

(6 分)

(3)当 a = 0, b = ?1 时, f ( x ) = ln x + x ,因为方程 2mf ( x ) = x 2 有唯一实数解,即
x 2 ? 2m ln x ? 2mx = 0 有唯一实数解.设 g ( x ) = x 2 ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ′( x) = 2 x 2 ? 2mx ? 2m .令 g ′( x) = 0 ,得 x 2 ? mx ? m = 0 .因为 m > 0, x > 0 ,所以 x

x1 =

m ? m 2 + 4m m + m 2 + 4m (舍去) x2 = , ,易知 g ( x ) 在 ( 0, x2 ) 单调递减,在 2 2

( x2 , +∞ ) 单调递增.当 x = x2 时, g ′ ( x2 ) = 0 , g ( x ) 取得最小值 g ( x2 ) .
因为 g ( x ) = 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) = 0 . ? g ( x2 ) = 0 ? x2 2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 = 0 ? ? ,即 ? 2 则? ,所以 2m ln x2 + mx2 ? m = 0 , ? x2 ? mx2 ? m = 0 ? g ′ ( x2 ) = 0 ? ? 因为 m > 0 ,所以 2 ln x2 + x2 ? 1 = 0 . 令 h ( x ) = 2 ln x + x ? 1 , h′( x) =
2 +1 , x

知 h ( x ) 为增函数,又 h (1) = 0 ,所以方程 2 ln x2 + x2 ? 1 = 0 的解为 x2 = 1 ,

m + m 2 + 4m 1 即 = 1 ,解得 m = . 2 2

(14 分)

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