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4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切4


高中数学教案

第四章三角函数(第 15 课时)

王新敞



题:4 6
王新敞
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两角和与差的正弦、余弦、正切(4)

教学目的: 通过例题的讲解,使学生对两角和差公式的掌握更加牢固,并能逐渐熟悉 一些解题的技巧
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教学重点: 进行角的变换,灵活应用基本公式 教学难点: 进行角的变换,灵活应用基本公式 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.两角和与差的正、余弦公式

cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?

tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

二、讲解范例: 例1 化简 3 cos x ? sin x
3 1 ? ? ? cos x ? sin x) ? 2(sin cos x ? cos sin x) ? 2 sin( ? x) 2 2 3 3 3

解:原式= 2(

? ? ? 或解:原式= 2(cos cos x ? sin sin x) ? 2 cos( ? x)
6 6 6

例2

? 5? ? ?? 已知 x ? ?0, ? ,求函数 y ? cos( ? x) ? cos( ? x) 的值域 2 12 12
? ?

解: y ? cos(

?

12

? x) ? cos(

5? ? ? x) ? 2 cos( ? x) 12 3

? ?? ∵ x ? ?0, ? 2 ? ?

∴?

?
6

?

?
3

?x?

?
3
? 2 ? , 2? ? 2 ? ? ?

? ?1 ? ∴ cos( ? x) ? ? ,1?
3 ?2 ?

∴函数 y 的值域是 ?

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第四章三角函数(第 15 课时)

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cos 2 x

例3

? 5 已知 sin( ? x) ?
4

13

,0 ? x ?

?
4



cos( ? x ) 4

?

的值

? 5 解:∵ sin( ? x) ?
4

13

? ? 5 ?? ? cos? ? ( ? x)? ? sin( ? x) ? 4 4 13 ?2 ?

? 5 即: cos( ? x) ?
4

13

∵0? x ?

?
4
13



?
4

? x?

?
4

?

?
2

? 12 从而 si ( ? x) ?
4

? ?? ? 12 5 12 5 120 而 cos 2 x ? cos?( ? x) ? cos( ? x)? ? ? ? ? ? 4 4 13 13 13 13 169
? ?

120 cos 2 x 24 ∴ ? 169 ? ? 5 13 cos( ? x) 4 13
例 4 已知 sin(2? ? ? ) ? 2 sin ? ? 0 求证 tan?=3tan(?+?) 证:由题设: sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 2 sin[? ? (? ? ? )] 即 sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 2 sin ? cos(? ? ? ) ? 2 cos? sin(? ? ? ) ∴ 3 sin(? ? ? ) cos? ? sin ? cos(? ? ? ) ∴tan?=3tan(?+?) 例5 已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 4 13 5

求 sin2?的值 解:∵ cos(? ? ? ) ? ∴0 ?? ? ? ? ∴? ? ? ? ? ? 又 sin(? ? ? ) ? ?
3 5

12 ?0 13

?
2

? ? ?? ?

3? 4
5 13

?
4 3? 2

∴ sin(? ? ? ) ?

∴ cos(? ? ? ) ? ?

4 5

∴sin2?= sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? c0s(? ? ? ) sin(? ? ? ) =?

3 12 4 5 56 ? ? ? ?? 5 13 5 13 65
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第四章三角函数(第 15 课时)

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例 6 证明 A+B+ C =n π (n ∈Z)的充要条件是 tanA+tanB +tan C = tanA·tanB·tanC 选题意图:考查两角和与差的正切公式的应用和求角的方法 证明:(先证充分性)
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tan(A ? B ? C ) ?

tan(A ? B ) ? tan C 1 ? tan(A ? B ) tan C

tan A ? tan B ? tan C 1 ? tan A tan B ? 1 ? tan(A ? B ) tan C tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ? ?0 (1 ? tan A tan B )[1 ? tan(A ? B ) tan C ]

? A ? B ? C ? n? (n∈Z)
(再证必要性) 由 A+B+C=nπ 即 A+B=nπ -C 得 tan(A+B)=-tanC tanA+tanB+tanC=tan(A+B) (1-tanAtanB)+tanC =-tanC(1-tanAtanB)+tanC =tanAtanBtanC 说明:本题可考虑证明 A+B=nπ -C(n∈Z)的充要条件是 tanA+tanB +tanC=tanA·tanB·tanC较为简单 例 7 求证:tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1 选题意图:考查两角和与差的正切变形公式的应用
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证明:左端=

3 (tan 20? ? tan 40?) ? tan 40? ? tan 20? 3

3 tan 60?(1 ? tan 20? tan 40?) ? tan 40? tan 20? 3 ? 1 ? tan 20? tan 40? ? tan 40? tan 20? ? 1 ? 右端 ?
说明:可在△ABC 中证明 tan

A 2

tan

B 2

? tan

B 2

tan

C 2

? tan

C 2

tan

A 2

?1

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例 8 已知 A、 为锐角, B 证明 A ? B ? =2
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?
4

的充要条件是 (1+tanA) (1+tanB)

选题意图:考查两角和与差的正切公式的变换应用和求角的方法 证明:(先证充分性)

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第四章三角函数(第 15 课时)

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由(1+tanA) (1+tanB)=2 即 1+(tanA+tanB)+tanA·tanB=2 得 tan(A+B) [1-tanAtanB]=1-tanA·tanB ∴tan(A+B)=1 又 0<A+B<π (再证必要性) 由 A? B ? ∴A+B=

? 4

?
4



tan A ? tan B ? 1. 1 ? tan A tan B
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整理得(1+tanA) (1+tanB)=2 说明:可类似地证明以下命题: (1)若α +β =

3? ,则(1-tanα ) (1-tanβ )=2; 4 5? (2)若α +β = ,则(1+tanα ) (1+tanβ )=2; 4 7? (3)若α +β = ,则(1-tanα ) (1-tanβ )=2 4
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三、课堂练习: 1 已知 tan(? ? ? ) ? 3, tan(? ? ? ) ? 2, 求 tan 2? , tan 2? 的值.

分析:若用公式( T? ? ? )将已知等式展开,只能得到 tan? ? tan ? 与 要得到探求结论十分困难. 我们来观察一下角的特征, tan? tan ? 的等量关系,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ),2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,
于是就可以正确的解法. 归纳:将角作适当的变换,配出有关角,便于沟通条件与结论之间的联系, 这是三角恒等变换中常用的方法之一,这种变换角的方法通常叫配角法.例如

2? ? ? 配成 (? ? ? ) ? ? , 又如 ? 配成 (? ? ? ) - ? 或者 (? ? ? ) ? ? .
2 已知 tan(? ? ? ) ? 1, tan ? ? 2, 求 tan? 的值. 3 不查表求值: tan15 ? tan 30 ? tan15 tan 30 .
? ? ? ?

分析: 要善于把公式变形后使用, 从公式 tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? 中 1 ? tan? tan ?

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可得变形公式:

tan? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan? tan ? ) ,这会使解题更具灵活性.
tan15 ? ? tan 30 ? ? tan 45 ? (1 ? tan15 ? tan 30 ? ) ? 1 ? tan15 ? tan 30 ? .
∴原式=1. 四、小结 两角和与差的正切及余切公式, 解题时要多观察,勤思考,善于联 想,由例及类归纳解题方法,如适当进行角的变换,灵活应用基本公式,特殊 角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能. 五、课后作业: 1 已知函数 y ? 2 x ? x ? 2 的图象与 x 轴交点为 (tan ? ,0) 、 (tan ? ,0) ,
2
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求证: cos( ? ? ) ? 4 sin(? ? ? ) . ? 证明:∵函数 y ? 2 x ? x ? 2 的图象与 x 轴交点为 (tan ? ,0) 、 (tan ? ,0)
2

∴ tan? + tan ? = ∴ tan(? ? ? ) ?

1 2

tan? tan ? =-1

tan? ? tan ? 1 = 1 ? tan? tan ? 4

∴ cos( ? ? ) ? 4 sin(? ? ? ) . ? 2 求证: tan10 ? tan 50 ? 3 tan10 tan 50 ?
? ? ? ?
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3
?

证明:∵ tan10 ? tan 50 ? tan 60 (1 ? tan10 tan 50 )
? ? ? ?

? 3 ? 3 tan10 ? tan 50 ?
∴ tan10 ? tan 50 ? 3 tan10 tan 50 ?
? ? ? ?

3

3 求证: tg 70 ? tg 25 ? tg 70 tg 25 ? 1
? ? ? ?
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证明:∵ tan 70 ? tan 25 ? tan 45 (1 ? tan 70 tan 25 )
? ? ? ? ?

? 1? tan 70 ? tan 25 ?
∴ tg 70 ? tg 25 ? tg 70 tg 25 ? 1
? ? ? ?

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第四章三角函数(第 15 课时)

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六、板书设计(略) 七、课后记: 1 求值: (1)

2 cos10? ? sin 20? sin 75? ? cos 75? ; (2) . sin 70? sin 75? ? cos 75?

选题意图:考查两角和与差三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形 能力
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解:(1)原式 ?

2 cos10? ? sin 20? cos 20?

2 cos(30 ? ? 20?) ? sin 20 ? cos 20 ? 3 cos 20 ? ? sin 20 ? ? sin 20 ? ? ? 3 cos 20 ? ?
tan 75? ? 1 tan 75? ? tan 45? ? (2)原式 tan 75 ? ? 1 tan 75? ? tan 45 ? ? 1 ? ? tan120 ? ? tan 60? ? 3 ?
说明:在三角函数关系式的变形过程中,要注意统一角、统一函数,要注 意角与角之间的和、差、倍、半关系和特殊角之间的关系等 2 已知 3sinβ =sin(2α +β )且 tanα =1,求 tan(α +β ) ? 选题意图:考查两角和与差的三角函数公式的应用和三角函数关系式的变 形能力 解:由 3sinβ =sin(2α +β )即 3sin[ +β )-α ]=[sin(α +β ) (α +α ] 得:3sin(α +β )cosα -3cos(α +β )sinα =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα ∴2sin(α +β )cosα =4cos(α +β )sinα ∴tan(α +β )=2tanα 又 tanα =1 ∴tan(α +β )=2 说明:本题解法的关键是要注意到β =(α +β )-α ,2α +β =(α + β )+α 3 已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tanα ,tanβ 且α , β ∈
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(-
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? ?

, ),求 sin2(α +β )+sin(α +β )cos(α +β )+2cos2(α +β ) 2 2
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的值 选题意图:考查两角和三角函数公式和平方关系的应用

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解:根据韦达定理 ?

?tan? ? tan ? ? ?4a ?tan? ? tan ? ? 3a ? 1

? tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ? 1 ? tan? ? tan ? ? 3a 3

sin 2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ? sin 2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ? 2 sin (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) 16 4 ? ?2 2 tan (? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? 2 46 9 3 ? ? ? . 2 16 25 tan (? ? ? ) ? 1 ?1 9 ? ? tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ? 1 ? tan? ? tan ? ? 3a 3

sin 2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ? sin 2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ? 2 sin (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) 16 4 ? ?2 2 tan (? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? 2 46 9 3 ? ? ? . 2 16 25 tan (? ? ? ) ? 1 ?1 9 ? ? tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ? 1 ? tan? ? tan ? ? 3a 3

sin 2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ? sin 2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ? 2 sin (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) 16 4 ? ?2 2 tan (? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? 2 46 9 3 ? ? ? . 2 16 25 tan (? ? ? ) ? 1 ?1 9 ?

? tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ? 1 ? tan? ? tan ? ? 3a 3

sin 2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ?

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?

sin 2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ? 2 sin (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )

16 4 ? ?2 tan (? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? 2 9 3 46 ? ? ? . 2 16 25 tan (? ? ? ) ? 1 ?1 9
2

说明:解题的整个过程就是统一角,统一函数的过程 4 求 sin18°和 cos36°的值 解:∵sin36°=cos54° 即 sin(2×18°)=cos(3×18°) 2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18° ∵cos18°≠0 ∴2sin18°=4cos218°-3 整理得 4sin218°+2sin18°-1=0
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? sin 18? ?

5 ?1 ? 5 ?1 (sin 18? ? ? 0舍去) 4 4 5 ?1 4

cos 36? ? cos(2 ? 18?) ? 1 ? 2 sin 2 18? ?

说明:本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于 sin18°的方程求解,但利 用 sin54°=cos36°很难解出 sin18° 在解决三角函数问题的过程中也要适当注 意一些代数方法的使用
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