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射影面积法求二面角

射影面积法( cos q =

S射影 S原



凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积 的都可利用射影面积公式(cos ? ?

S射 S斜

)求出二面角的大小。

例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, AD∥BC,∠ABC=90° ,SA⊥平面 ABC,SA=AB=BC=1,
1

AD= 2 .求面 SCD 与面 SAB 所成的角的大小。

S B C

A

图1

D

解法 1:可用射影面积法来求, 这里只要求出 S△SCD 与 S△SAB 即可, 故所求的二面角θ 应满足 cos ? = =
1 ? 1? 1 2

1 2 ? 3? 2 2 例 2. (2008 北京理)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,

=

6 。 3

AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? ,

AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小;
P

A

B

C

解: (Ⅰ)证略 (Ⅱ)? AC ? BC , AP ? BP ,? APC ≌△BPC . △ 又 PC ? AC ,? PC ? BC . 又 ?ACB ? 90? ,即 AC ? BC ,且 AC ? PC ? C , E A

P

? BC ? 平面 PAC . 取 AP 中点 E .连结 BE,CE . ? AB ? BP ,? BE ? AP . ? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影, ?CE ? AP .
∴△ACE 是△ABE 在平面 ACP 内的射影, 于是可求得:

B C

AB ? BP ? AP ?

AC 2 ? CB 2 ? 2 2 , BE ?

AB 2 ? AE 2 ? 6 ,

AE ? EC ? 2 则 S 射 ? S ?ACE ?

1 1 AE ? CE ? 2 ? 2 ? 1, 2 2

S 原 ? S ?ABE ?

1 1 AE ? EB ? 2? 6 ? 3 2 2
S射 S原 ? 1 3 ? 3 3

设二面角 B ? AP ? C 的大小为 ? ,则 cos? ?

∴二面角 B ? AP ? C 的大小为 ? ? arccos

3 3

练习 1: 如图 5,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 CC1 的中点,求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成 锐角的余弦值. (答案:所求二面角的余弦值为 cosθ = D A B E D1 C1 A1 图5 C

2 ). 3

B1

2. 如 图 一 , 在四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD是 矩 形 , PA ? 平 面 ABCD,

AP ? AB ? 2 , BC ? 2 2 , E,F 分别是 AD,PC 的中点.
(1)证明: PC ? 平面 BEF ; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. 题(1)解略;题(2)中平面 BEF 与平面 BAP 夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 所成的锐二面角. 方法一:垂面法 在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面,此平面截得 的图形便是二面角的平面角. 如图一:? PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,? PA ? BC . 又? BC ? AB, AB ? PA ? A ,? BC ? 平面 BAP . 又? BC ? 平面 PBC ,?平面 PBC ? 平面 BAP . 由题(1) PC ? 平面 BEF , PC ? 平面 BEF ,?平面 PBC ? 平面 BEF . , 所以 ?PBF 是所求二面角的平面角.

? PB ? PA2 ? AB 2 ? 2 2, PF ?
? sin ?PBF ?

1 1 PC ? AB 2 ? BC 2 ? PA2 , 2 2

PF 2 ? ? , ?PBF ? . PB 2 4

即平面 BEF 与平面 BAP 夹角为

? . 4

方法二:平移平面法 如果两平行平面同时与第三个平面相交, 那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面 角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角. 如图二:取 BC 的中点 G ,连接 FG, EG .

? E, F 分别是 AD, PC 的中点,? EG ? AB, FG ? PB .
又? FG ? EG ? G, AB ? PB ? B ,

?平面 EFG ? 平面 BAP . ?二面角 B ? EF ? G 的大小就是平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. ? 可以证明 ?BFG 为二面角 B ? EF ? G 的平面角,并求出其大小为 . 4
方法三:射影法

S' ' 利用公式 cos ? ? ,其中 S 表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积, S 表示 S
此多边形在另一个半平面射影的面积, ? 表示原图形与射影图形所成的二面角.

如图三:取 PB 的中点 H ,连接 FH , AH ,

? F 为 PC 中点, ? FH ? BC, AE ? BC .
由解法一知, BC ? 平面 BAP , ? FH ? 平面 BAP , AE ? 平面 BAP , ?点 F 、 E 在平面 BAP 内的射影分别为 H 、 A . ??BEF 在平面 BAP 上的射影为 ?BAH . 可以证明 ?BEF 和 ?BAH 均为直角三角形.

? HF ? BC , AE ? BC , HF ? BC ?

1 BC , 2 ?四边形 HFEA 为平行四边形,? EF ? AE .
记平面 BEF 与平面 BAP 夹角为 ? ,则 cos ? ? 所以 ? ?

S?BAH 2 ? , S?BEF 2

?
4

,即平面 BEF 与平面 BAP 夹角为

? . 4

3.已知 ?ABC 是正三角形, PA ? 平面 ABC 且 PA=AB=a,求二面角 A-PC-B 的大小。

P

F A
E

C

B
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的,本题可利用三垂线定理(逆)来作

平面角,还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解 1: (三垂线定理法) 取 AC 的中点 E,连接 BE,过 E 做 EF ? PC,连接 BF
? PA ? 平面 ABC,PA ? 平面 PAC ?平面 PAC ? 平面 ABC, 平面 PAC ? 平面 ABC=AC ?BE ? 平面 PAC

由三垂线定理知 BF ? PC
? ?BFE 为二面角 A-PC-B 的平面角

图1

设 PA=1,E 为 AC 的中点,BE=
?tan ?BFE =
BE ? 6 EF

3 2 ,EF= 2 4

? ?BFE =argtan 6

解 2: (三垂线定理法) 取 BC 的中点 E,连接 AE,PE 过 A 做 AF ? PE, FM ? PC,连接

P

FM
?AB=AC,PB=PC ? AE ? BC,PE ? BC

F A B
图2
M

C E

? ?

BC ? 平面 PAE,BC ? 平面 PBC 平面 PAE ? 平面 PBC, 平面 PAE ? 平面 PBC=PE

由三垂线定理知 AM ? PC
? ?FMA 为二面角 A-PC-B 的平面角

设 PA=1,AM=
?sin ?FMA =

2 AP. AE 21 ? ,AF= 2 PE 7

AF 42 ? AM 7
42 7

? ?FMA =argsin

P

解 3: (投影法) 过 B 作 BE ? AC 于 E,连结 PE
? PA ? 平面 ABC,PA ? 平面 PAC ?平面 PAC ? 平面 ABC, 平面 PAC ? 平面 ABC=AC ?BE ? 平面 PAC ? ?PEC 是 ?PBC 在平面 PAC 上的射影

A B

E
图3

C

设 PA=1,则 PB=PC= 2 ,AB=1
S ?PEC ?
7 1 , S ?PBC ? 4 4
S ?PEC 7 7 ? ,?? ? arg cos , S ?PBC 7 7

由射影面积公式得, COS? ?

4.在单位正方体 A1B1C1D1 ? ABCD 中, 求二面角 A ? A1C ? B 的度数。

一、三垂线法 利用三垂线定理或逆定理构造出二面 角的平面角,进而求解。 解法一. 作 AO ? A1C , 取 A1 B 的中点 M , 连结 OM .AM .

AM ? A1 B

AM ? BC
A1 B ? BC ? B
由三垂线逆定理知

? AM ? 平面A1BC

OM ? A1C

??AOM 为所求二面角 A ? A1C ? B 的平面角
在 Rt ? A1 AC 中

AO ?

AA1 AC 6 ? ? A1C A1C 3

? sinAOM ?

AM 3 ? AO 2

??AOM ? 60?
二.射影法 利用斜面面积和射影面积的关系: S射影 ? S斜面 ? cos? ( ? 为斜面与射影所成二面角的 平面角)直接求解。 解法二、取 AC 的中点 G ,连结 BG
D1 C1

BG ? AC BG ? AA1 AC ? AA1 ? A
? BG ? 平面AAC 1

A1

B1

D

C G

? ? A1BC 在平面 A1 AC 上的射影为 ? AGC 1
S Rt ? A1BC ? 2 2

A

B

S? AGC ? S Rt ? A1 AG ?


2 2 2 ? ? 2 4 4

S? A1GC ? S Rt ? A1BC ? cos?
?

? cos? ?

1 2

从而二面角 A ? A1C ? B 的大小为 60


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