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直接证明--综合法与分析法


§2. 2 .1
1.教学目标:

直接证明--综合法与分析法

知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合 法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子, 培养他们的辨析能力; 以及培养他们的分析问题 和解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点:了解分析法和综合法的思考过程、特点 3.教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点 4.教具准备:与教材内容相关的资料。 5.教学设想:分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键,是最重一 步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 6.教学过程: 学生探究过程: 合情推理分归纳推理和类比推理, 所得的结论的正确性是要证明的, 数学中的两大基本 证明方法-------直接证明与间接证明。 若要证明下列问题: 已知 a,b>0,求证 a ( b ? c ) ? b ( c ? a ) ? 4 a b c 教师活动:给出以上问题,让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师 最后归结证明方法。 学生活动:充分讨论,思考,找出以上问题的证明方法 设计意图:引导学生应用不等式证明以上问题,引出综合法的定义 证明:因为 b ? c ? 2 b c , a ? 0 , 所以 a ( b ? c ) ? 2 a b c , 因为 c ? a ? 2 a c , b ? 0 , 所以 b ( c ? a ) ? 2 a b c . 因此, a ( b ? c ) ? b ( c ? a ) ? 4 a b c . P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论 1. 综合法 综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式 的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是:
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2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?P

? Q 1 ? ? ( Q 1 ? Q 2 ) ? ? Q 2 ? Q 3 ? ? ..... ? ? Q n ? Q ?

综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公 式,推出结论的一种证明方法 例 1、 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,且 A,B,C 成等差数列, a , b , c 成 等比数列,求证△ABC 为等边三角形. 分析:将 A , B , C 成等差数列,转化为符号语言就是 2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的 内角,这是一个隐含条件,明确表示出来是 A + B + C = ? ; a , b,c 成等比数列,转化为
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符号语言就是 b ? a c .此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之 间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定理为工具 进行证明. 证明:由 A, B, C 成等差数列,有 2B=A + C . ①

2

因为 A,B,C 为△ABC 的内角,所以 A + B + C= ? . ⑧ 由①② ,得 B=
?
3

.
2

由 a, b,c 成等比数列,有 b ? a c . 由余弦定理及③,可得
b
2

? a ? c ? 2 ac cos B ? a ? c ? ac .
2 2
2

2

2

2

2

再由④,得 a ? c ? a c ? a c .
(a ? c) ? 0 ,

因此 a ? c . 从而 A=C. 由②③⑤,得 A=B=C=
?
3

.

所以△ABC 为等边三角形. 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语 言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来. 例 2、已知 a , b ? R , 求证 a b ? a b . 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a , b 对称,不妨设 a ? b ? 0 .
? a ?b ? 0 ? a b
a b
?

a

b

b

a

? a b

b

a

? a b (a
a

b

b

a?b

?b

a?b

) ? 0

,从而原不等式得证。

2)商值比较法:设 a ? b ? 0 ,
? a b ? 1, a ? b ? 0 , ?
a b a b
b b a

? (

a b

)

a?b

? 1 . 故原不等式得证。

注: 比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的方法。 用比较法证明不等式的步骤是: 作差(或作商) 、变形、判断符号。 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 2. 分析法 证明数学命题时,还经常从要证的结论 Q 出发,反推回去,寻求保证 Q 成立的条件, 明尸 2 成立,再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等)为止.乞, 再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ;为了证 … … 直到找到一个明显成立的条件(已知 条即使 Q 成立的充分条件尸 1 .为了证明尸 1 成立, 分析法: 证明不等式时, 有时可以从求证的不等式出发, 分析使这个不等式成立的条件, 把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题, 如果能够肯定这些条件都已具备, 那么 就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是:
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?Q

? P1 ? ? ( P1 ? P2 )..... ? ( Pn ? 1 ? Pn ) ?
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? Pn

? P?

分析法的思维特点是:执果索因 分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真,

只需要证明命题 B 1 为真,从而有…… 这只需要证明命题 B 2 为真,从而又有……

…… 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故命题 B 必为真
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例 3、求证 3 ? 证明:因为 3 ? 只需证明 ( 3 ? 展开得 即
( 2

7 ? 2
7和 2
7)
2

5
5 都是正数,所以为了证明
5)
2

3 ?

7 ? 2

5

? (2

10 ? 2

21 ? 20

21 ? 10 , 21 ? 25
2 2

因为 21 ? 25 成立,所以
3 ? 7) ? (2 5 ) 成立

即证明了 3 ? 7 ? 2 5 说明:①分析法是“执果索因” ,步步寻求上一步成立的充分条件,它与综合法是对立 统一的两种方法 ②分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是:为了证明命题 B 为真, 这只需要证明命题 B1 为真,从而有…… 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有…… 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故 B 必真 在本例中,如果我们从“21<25 ”出发,逐步倒推回去,就可以用综合法证出结论。但 由于我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困难。 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特 ‘ ‘ 点去转化结论,得到中间结论 Q ;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论 P .若 ‘ ‘ 由 P 可以推出 Q 成立,就可以证明结论成立.下面来看一个例子.
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例 4 已知 ? , ? ? k ? ?
sin ? ? co s ? ? 2 sin ?
s in ? c o s ? ? s in ?
2

?
2

( k ? Z ) ,且

① ②
2

求证:

1 ? ta n ? 1 ? ta n ?
2

2

?

1 ? ta n ? 2 (1 ? ta n
2

?)



分析:比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角 ? ,因此第一步工作可以从已知条 件 中 消 去 ? . 观 察 已 知 条 件 的 结 构 特 点 , 发 现 其 中 蕴 含 数 量 关 系
( s in ? ? c o s ? ) ? 2 s in ? c o s ? ? 1 ,于是,由 ① 一 2×② 得 4 s in ? ? 2 s in ? ? 1 .把 4 s in ? ? 2 s in ? ? 1 与结论相比较,发现角相同,但函数名称不同,于是尝试转化结论:
2 2 2

2

2

2

统一函数名称,即把正切函数化为正(余)弦函数.把结论转化为
c o s ? ? s in ? ? c o s ? ? s in ? ?
2 2 2 2

1 2 1 2

( c o s ? ? s in ? ) , 再 与 4 s in ? ? 2 s in ? ? 1 比 较 , 发 现 只 要 把 ( c o s ? ? s in ? ) 中的角的余弦转化为正弦,就能达到目的.
2

2

2

2

2

2

2

证明:因为 ( s in ? ? c o s ? ) ? 2 s in ? c o s ? ? 1 ,所以将 ① ② 代入,可得
4 s in ? ? 2 s in ? ? 1 .
2 2


? 1 ? ta n ? 2 (1 ? ta n
2 2

另一方面,要证

1 ? ta n ? 1 ? ta n ?
2

2

?)

1?

s in ? cos ? s in ? cos ?
2 2

2

即证
1?

2

1? ? 2 (1 ?

s in ? cos ? s in ? cos ?
1 2
2

2

2

2

2


)
2

2

2

即证 c o s ? ? s in ? ? 即证 1 ? 2 s in ? ?
2

( c o s ? ? s in ? ) ,
2

2

1 2
2

(1 ? 2 s in ? ) ,

即证 4 s in ? ? 2 s in ? ? 1 。 由于上式与③相同,于是问题得证。 例 5 证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆 的水管比截面是正方形的水管流量大 分析: 当水的流速相同时, 水管的流量取决于水管截面面积的大小, 设截面的周长为 L,
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则周长为 L 的圆的半径为 为(
L 4 )
2
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L 2?

,截面积为 T 1 (
L 2? )
2

L 2?

) ;周长为 L 的正方形边长为

2

L 4

,截面积

所以本题只需证明 ? (

? (

L 4

)

2
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证明:设截面的周长为 L,依题意,截面是圆的水管的截面面积为 ? ( 方形的水管的截面面积为 (
L 4 ) ,所以本题只需证明 ? (
2

L 2?

) ,截面是正

2

L 2?

)

2

? (

L 4

)

2

为了证明上式成立,只需证明
4 L
2

?L
4?

2 2

?

L

2

16

两边同乘以正数

,得

1

?
L

?

1 4 L 4

因此,只需证明 4 ? ? 上式是成立的,所以 ? (
2? )
2

? (

)

2

这就证明了,通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆 的水管比截面是正方形的水管流量大 说明:对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索 证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的
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巩固练习:第 81 页练习 1 , 2 , 3
1、 a,b, c ? R ,求 证 a ?b
2 2 ?

?

b ? c

2

2

?

a ? c

2

2

?

2 (a ? b ? c )

2、 ? A B C 中 , 已 知 3 b ? 2

3 a s in B , 且 c o s B ? c o s C

求 证 : ?ABC为 等 边 三 角 形

? 3 、 a , b , c为 ? A B C 的 三 内 角 的 对 应 边 试证明 : aA ? bB ? cC a ?b? c ?

?
2

课后作业:第 84 页 1,2, 3 教学反思:本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键, 是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。 在数学解题中, 分析法是从数学题的 待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从 数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证 明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本 思考方法,应用十分广泛。 通过本节的学习,学生积极参加课堂教学,顺利地完成了教学任务,达到了预期的教学 目的。但由于学生的基础较差,知识遗忘严重,在一定程度上影响了教学进度,使课堂上进 度比较紧张。所以在以后的教学过程中,要特别注意学生的实际水平,让学生提前预习,以 保证课堂教学进度。通过本节的学习,使学生了解直接证明的基本方法----综合法,了解综 合法的思考过程、特点;培养学生的数学计算能力,分析能力,逻辑推理能力。本节的教学 应该是比较成功的。 例 1、已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证:
a (b
2

? c ) ? b (c
2 2

2

2

? a ) ? c(a

2

2

? b ) ? 6 abc

2

证明:∵ b ? c ≥2bc,a>0, ∴ a ( b ? c ) ≥2abc 同理 b ( c ? a ) ≥2abc
c(a
2 2 2 2 2

① ② ③
2 2 2 2 2 2

? b ) ≥2abc

2

因为 a,b,c 不全相等,所以 b ? c ≥2bc, c ? a ≥2ca, a ? b ≥2ab 三式不能全 取“=”号,从而①、②、③三式也不能全取“=”号
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∴ a ( b ? c ) ? b ( c ? a ) ? c ( a ? b ) ? 6 abc 例 2、已知 a,b,c 都是正数,且 a,b,c 成等比数列, 求证: a ? b ? c ? ( a ? b ? c ) 证明:左-右=2(ab+bc-ac)
2
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

∵a,b,c 成等比数列,∴ b ? ac 又∵a,b,c 都是正数,所以 0 ? b ?
ac ≤

a ? c 2

? a ? c

∴a ? c ? b 2 ∴ 2 ( ab ? bc ? ac ) ? 2 ( ab ? bc ? b ) ? 2 b ( a ? c ? b ) ? 0 ∴a ? b ? c
2 2 2

? (a ? b ? c)

2 2 4 2 2

例 3、若实数 x ? 1 ,求证: 3 (1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) . 证明:采用差值比较法:
3 (1 ? x
2

? x ) ? (1 ? x ? x )
2 4 2

4

2

2

=3 ? 3x ? 3x ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x = 2 ( x ? x ? x ? 1) = 2 ( x ? 1) ( x ? x ? 1)
2 2 4 3

4

2

3

= 2 ( x ? 1 ) [( x ?

2

1 2

)

2

?
2

3 4

]. 1 2 )
2

? x ? 1, 从而 ( x ? 1 )

? 0, 且 ( x ? ? 3 4 ] ? 0,
2 2

?

3 4

? 0,

∴ 2 ( x ? 1 ) [( x ?
2 4

2

1 2

)

2

∴ 3 (1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) . 例 4、已知 a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤ ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 ) 分析一:用分析法 证法一:(1)当 ac+bd≤0 时,显然成立 (2)当 ac+bd>0 时,欲证原不等式成立, 2 2 2 2 2 只需证(ac+bd) ≤(a +b )(c +d ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即证 a c +2abcd+b d ≤a c +a d +b c +b d 2 2 2 2 即证 2abcd≤b c +a d 2 即证 0≤(bc-ad) 因为 a,b,c,d∈R,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二:用综合法 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 证法二:(a +b )(c +d )=a c +a d +b c +b d =(a c +2abcd+b d )+(b c -2abcd+a d ) 2 2 2 =(ac+bd) +(bc-ad) ≥(ac+bd)
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∴ ( a ? b )( c ? d ) ≥|ac+bd|≥ac+bd
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2

2

2

2

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故命题得证 分析三:用比较法 2 2 2 2 2 2 证法三:∵(a +b )(c +d )-(ac+bd) =(bc-ad) ≥0, 2 2 2 2 2 ∴(a +b )(c +d )≥(ac+bd) ∴ ( a ? b )( c ? d ) ≥|ac+bd|≥ac+bd, 即 ac+bd≤ ( a ? b )( c ? d )
2 2 2 2
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2

2

2

2

例 5、设 a、b 是两个正实数,且 a≠b,求证:a +b >a b+ab . 证明:(用分析法思路书写) 3 3 2 2 要证 a +b >a b+ab 成立, 2 2 只需证(a+b)(a -ab+b )>ab(a+b)成立, 2 2 即需证 a -ab+b >ab 成立。(∵a+b>0) 2 2 只需证 a -2ab+b >0 成立, 2 即需证(a-b) >0 成立。 2 而由已知条件可知,a≠b,有 a-b≠0,所以(a-b) >0 显然成立,由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) 2 2 2 ∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b) >0,即 a -2ab+b >0 2 2 亦即 a -ab+b >ab 2 2 由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a -ab+b )>(a+b)ab 3 3 2 2 即 a +b >a b+ab ,由此命题得证.

3

3

2

2


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