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高中数学人教A版必修5课件:2.5.1等比数列的前n项和(41张)_图文

【课标要求】 1.掌握等比数列的前 n 项和公式,了解推导等比数列前 n 项 和公式的过程与方法. 2.能够运用等比数列的前 n 项和公式进行有关的计算. 3.掌握等比数列的前 n 项和的性质及其应用. 自主学习 |新知预习| 基础认识 1.等比数列的前 n 项和公式 ?a1?1-qn? a1-anq ? = ?q≠1?, 1 - q 1 - q Sn=? ? ?na1?q=1?. 2.等比数列前 n 项和的性质 (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成等比数 列.(注意:q≠-1 或 m 为奇数) (2)Sm+n=Sm+qmSn.(q 为数列{an}的公比) S偶 (3)若{an}是项数为偶数,公比为 q 的等比数列,则 =q. S奇 |化解疑难| 1.等比数列前 n 项和公式推导的方法是什么? 教材中用错位相减法推导出等比数列的前 n 项和公式. 错位 相减法是数列求和的一种基本方法.它适用于一个等差数列{an} 和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}求和. 2.公式的使用情形 (1)当 q=1 时,等比数列的前 n 项和不能用以上几种方法推 导,因为此时等比数列是常数列,所以 Sn=na1. (2)当 q≠1 时,等比数列前 n 项和 Sn 有两个公式.当已知 a1?1-qn? a1 - an q a1, q 与 n 时用 较方便; 当已知 a1, an 与 q 时用 较 1-q 1- q 好. a1?1-qn? a1?qn-1? (3)公式 Sn= 还可写成 Sn= .前者更适用于 1- q q-1 当 q<1 时,而当 q>1 时用后者更简便. |自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 求等比数列 {an} 的前 n 项和时可直接套用公式 Sn = a1?1-qn? 来求.( × ) 1- q (2)首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列,则其前 n 项和为 Sn=na.( √ ) 2.等比数列 1,2,4,8,…,前 10 项的和为( A.210 B.210-1 C.29 D.210+1 ) 1-210 解析:等比数列的首项 a1=1,公比 q=2,所以 S10= 1-2 =210-1. 答案:B 3.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则 数列{an}的前 7 项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 解析:设公比为 q(q>0),由 a5=a1q4 及题设知 16=q4.所以 q a1?1-q7? 1-27 =2,所以 S7= = =127. 1-q 1-2 答案:C 3 9 4.在等比数列{an}中,a3=2,其前三项的和 S3=2,则数 列{an}的公比 q=( ) 1 1 A.-2 B.2 1 1 C.-2或 1 D.2或 1 3 解析:由题意,可得 a1q =2,① 9 2 a1+a1q+a1q =2, ② 1+q+q2 1 由②÷ ①,得 q2 =3,解得 q=-2或 1. 答案:C 2 5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. a1?1-q6? a1?1-q3? 解析:由 S6=4S3,所以 =4 , 1-q 1-q 所以 q3=3(q3=1 不合题意,舍去), 所以 a4=a1· q3=1×3=3. 答案:3 课堂探究 互动讲练 类型一 等比数列前 n 项和的基本运算 [例 1] 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; 7 63 (2)S3=2,S6= 2 ,求 an; (3)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n. 【思路点拨】 组求解. (1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程 【解析】 ? ?a1=5 解得? ? ?q=5 ? ?a1?1+q?=30 (1)由题意知? 2 ? ?a1?1+q+q ?=155 , ? ?a1=180 或? 5 , q=-6 ? ? 1 5 n+1 从而 Sn=4×5 -4或 ? ? 5? ? 1 080×?1-?-6?n? ? ? ? ? Sn= . 11 (2)∵S6≠2S3, 7 63 ∴q≠1,又 S3=2,S6= 2 , 3 a ? 1 - q ? 7 ? ? 1 =2 ① ? 1-q ∴? 6 a ? 1 - q ? 63 1 ? =2 ② ? 1 - q ? ②÷ ①得 1+q3=9,∴q=2. 1 将 q=2 代入①中得 a1=2, 1 n-1 n-2 ∴an=a1qn-1=2· 2 =2 ,即 an=2n-2. a1?1-qn? - (3) 由 Sn = , an = a1· qn 1 以 及 已 知 条 件 得 1-q a1?1-2n? ? ?189= , 1 - 2 ? ? 2n-1, ?96=a1· 192 ∴a1· 2 =192,即 2 = a , 1 ?192 ? n ∴189=a1(2 -1)=a1? a -1?, ? 1 ? 96 n-1 ∴a1=3,2 = 3 =32, ∴n=6. n n 方法归纳, (1)解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用 a1,an, q,n,Sn 这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间 联系不很明显时,均可用 a1 与 q 列方程组求解. (2)运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比 q=1 和 q≠1 两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进 行消元. 跟踪训练 1 (济南高二期末)已知等比数列{an}中,a1+a3 5 =10,a4+a6=4,求其第 4 项及前 5 项和. 解析:设公比为 q, ? 由已知得?a1+a1q2=10, ? 5 a1q +a1q =4, ? 5 2 3 2 即?a1?1+q ?=10,① a

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