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第15讲 函数的基本性质(学生)

数学

第 15 讲
一、要点精讲

函数的基本性质

1.奇偶性 (1) 定义: 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 , 则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x) 定义域内的任意 x 都有 ,则称 f(x)为偶函数。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 = 0, f(x)是偶函数; f(-x) =-f(x) 或 则 若 = 0, f(x)是奇函数。 则 (3)函数的图像与性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称; 2.单调性 (1)定义: 注意:① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;② 必须是对于区间 D 内 的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2) 如果函数 y=f(x)在某个区间上是 或是 , 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有 , 区间 D 叫做 y=f(x)的 。 (3)判断函数单调性的方法 (ⅰ)定义法:利用定义严格判断 (ⅱ)利用已知函数的单调性如若 f ( x ) 、 g (x) 为增函数,则 ① f ( x ) + g (x) 为 ③ ;②

1 为 f ( x)

( f ( x ) >0) ;

f ( x) 为

( f ( x ) ≥0) ;④- f ( x ) 为

(ⅲ)利用复合函数【y= f(u) ,其中 u=g(x) 】的关系判断单调性: 复合函数的单调性法则是“ ” (ⅳ)图象法 (ⅴ)利用奇偶函数的性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; 3.最值:利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值; 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 4.周期性 (1)定义:如果存在一个 常数 T,使得对于函数定义域内的 ,都有 期函数; (2)f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

,则称 f(x)为周

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为 f(x)的 2 2 T 最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期函数,且周期为 。 |? | (3)设 a 为非零常数,若对 f ( x) 定义域内的任意 x 恒有下列条件之一成立: 1 1 f ( x) ? 1 ① f ( x ? a) ? ? f ( x) ;② f ( x ? a) ? ;③ f ( x ? a) ? ? ;④ f ( x ? a) ? ; f ( x) f ( x) f ( x) ? 1 1 ? f ( x) ⑤ f ( x ? a) ? ;⑥ f ( x ? a) ? f ( x ? a) , 1 ? f ( x) 则 f ( x) 函数, 是它的一个周期(上述式子分母不为零) 若 f ( x ) 同时关于 x ? a 与 x ? b 对称( a < b ) ,则 f ( x ) 是周期函数, 是它的一个周期;若 f ( x ) 关 于 x ? a 对称同时关于点(b,0)对称( b ? a )则 f ( x ) 的一个周期 T= ;若 f ( x ) 关于( a ,0) 对称同时关于( b ,0)对称,则 f ( x ) 是一个周期函数,周期 T= 。

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【课前练习】 1. 已知函数 f (x) = x ? 1 ? x ? 1 ,那么 f (x) 是 2、函数 f ( x) ? 3. y ? ( 。 。 ) A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数

x2 ? 2 x ? 2

x2 ?5 x ? 4

的最小值

4.已知偶函数 f (x) 和奇函数 g (x) 的定义域都是(-4,4),它们在 ?? 4,0? 上的图像分别如图(2-3) ,则关于

1? x 的递减区间是 1? x

; y ? log 1 (? x 2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间是
2

x 的不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集是_____________________。
y y

-4

-2

0

x

-4

-2

0 y=g(x)

x

y=f(x) 图(2-3)

二、典例解析
题型一:判断函数的奇偶性 例 1.讨论下述函数的奇偶性:

16x ? 1 ? 2 x (1) f ( x) ? ; 2x

?1n( x ? 1 ? x )(x ? 0) ? (2) f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ; ? ?1n( 1 ? x ? ? x )(x ? 0)

(3) f ( x) ? 1og2 ( 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ? 1);
(4)

f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

例 2.(2002 天津文.16)设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y=-|f(x)|;②y=xf(x2) ; ③y=-f(-x) ;④y=f(x)-f(-x) 。必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号) 题型二:判断证明函数的单调性及单调区间 例 3. (1).函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________ (2)若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集为_________. 例 4. (1)已知函数 f (x) = x ? (2)说出函数 f ( x) ? x ? ,证明函数 y = f (x) 在 R 上是单调递增函数; x2 ? 2 ( x ? R )

4 ( x >0)的单调区间,并给出证明。 x

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巩固练习.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对 x∈R 有 f(x)>0,且 f(5)=1,设 F(x)= f(x)+ 的单调性,并证明你的结论。

1 ,讨论 F (x) f ( x)

题型三:奇偶性与单调性的应用 例 5.⑴已知偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,解不等式 f[log2(x2+5x+4)]≥0。 ⑵已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2-x),且 f(x)是偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求 x ∈[-4,0]时 f(x)的表达式。

例 6. 已知奇函数 f(x)的定义域为 R, f(x)在 且 [0, +∞] 上是增函数, 是否存在实数 m, f(cos2θ -3)+f(4m 使 -2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0, 明理由。

?
2

]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数 m 的范围,若不存在,说

例 7.已知函数 f ( x) ? (1)求 a,b,c。

3 x2 ? c 为奇函数, f (1) ? f (3) ,且不等式 0 ? f ( x) ? 的解集是 [?2,?1] ∪ [2,4] 2 ax ? b 3 对一切 ? ? R 成立?若存在,求出 m 的取值范围; 2

(2)是否存在实数 m 使不等式 f (?2 ? sin ? ) ? m 2 ? 若不存在,请说明理由。

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例 8.已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

1 . 2| x|

(1) 若 f ( x) ? 2 , x 的值; 求 (2) 2t f (2 ) ? f (t) 若 t m

≥ 0

对于 t ?[1 2] 恒成立, 求实数 m 的取值范围. ,

题型四:最值问题 y 例 9. ①函数 f (x) 的定义域为 R , 对任意实数 x、 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 , 且 f (?3) ? 3 。 (1)求证: f (x) 为奇函数; (2)求 f (x) 在区间[-9,6]上最值。 ②设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1 )。 m ?1

(1)证明:当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义,则 m∈M; (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值; (3)求证:对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1。

题型五:周期问题 例 10(Ⅰ). 函数 y = f (x) 分别满足下列各式: (1) f ( x ? 2) ? f ( x) ; (2) f ( x ? 2) ? ? f ( x) ; (3)
f ( x ? 2) ? 1 ; (4) f ( x ? 2) ? f ( x)

f ( x ? 2) ; (5) f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ; (6) f (2 ? x) ? f (2 ? x) 。 则
(填上所有满足条件的序号) 。

能判断函数 y = f (x) 具有周期性的式子有 (Ⅱ) .若 y=f(2x)的图像关于直线 x ?

a b 和 x ? (b ? a ) 对称,则 f(x)的一个周期为( ) 2 2 a?b b?a A. B. 2(b ? a) C. D. 4(b ? a) 2 2 例 11.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又 知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 。 ① 证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ② y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; 求 ③ y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。 求
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