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lin745320:新人教A版必修一 函数的奇偶性 课件(34张)_图文

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1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数

关于 y 轴对称

奇函数

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 关于原点对称 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数

判断函数的奇偶性主要根据定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定 义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x)〔或 f(-x)=-f(x)〕,那么函数 f(x)就叫做偶 函数(或奇函数),其中包含两个必备条件:
①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以 首先考虑定义域有利于准确简洁地解决问题.
②判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转 化为判断奇偶性的等价关系式〔f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函 数)〕是否成立.

2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点 对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”). (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数; ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.

3.判断函数奇偶性的步骤 (1)考察函数的定义域是否关于原点对称(原点是否在定义域内不影响 函数的奇偶性). (2)若定义域关于原点对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系: ①若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数; ②若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; ③若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若存在 x 是定义域内的一个数,使得 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x),则 f(x) 为非奇非偶函数. 4.函数的周期性 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时, f(x+T)=f(x)都成立,那么 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期.若 T 是 函数的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.

常见结论: (1)f(x+a)=-f(x)? 函数 f(x)的最小正周期为 2|a|. (2)f(x+a)=f(1x)? 函数 f(x)的最小正周期为 2|a|.
(3)f(x+a)=f(x+b)? 函数 f(x)的最小正周期为|a-b|. 特别注意:若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)不具有周期性,但函 数 f(x)的图象关于 x=a+2b对称. (4)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及 x=b 对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. (5)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 4|a-b|. (6)y=f(x)的图象关于点(a,0)及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. 其中最后三条可以通过类比正弦函数的图象来记忆.

5.对称性 若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x)关于直线 x=a 对称.

1.对任意实数 x,下列函数为奇函数的是( )

A.y=2x-3

B.y=-3x2

C.y=ln 5x

D.y=-|x|cos x

【答案】C

【解析】A 为非奇非偶函数,B,D 为偶函数,C 为奇函数.

设 y=f(x)=ln 5x=xln 5,

则 f(-x)=-xln 5=-f(x).

2.(2012·广东卷,4)下列函数为偶函数的是( )

A.y=sin x

B.y=x3

C.y=ex

D.y=ln x2 + 1

【答案】D

【解析】∵函数 f(x)=ln x2 + 1的定义域是 R 且 f(-

x)=ln (-x)2 + 1=ln x2 + 1=f(x),∴f(x)是偶函数.

3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( )

A.-13

B.13

C.12

D.-12

【答案】B

【解析】依题意得

a-1 = -2a,解得 b = 0,

a b

= =

1 3

,故

0.

a+b=13+0=13.

4.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)的值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

【答案】B 【解析】∵f(x)是在 x=0 处有定义的奇函数,且 f(x+4)=f(x),

∴f(0)=0,T=4.

∴f(8)=f(0)=0.

5.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=

.

【答案】 -9

【解析】观察可知,y=x3cos x 为奇函数,且 f(a)=a3cos a+1=11,∴a3cos a=10.则

f(-a)=-a3cos a+1=-10+1=-9.

数奇偶性的判断和证明

例 1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;

1-x2
(2)f(x)=|x+2|-2;

(3)f(x)=

x(1-x),x < 0, x(1 + x),x > 0.

根据函数奇偶性的定义进行判断.

T 题型一函

【解】(1)函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.

∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),

∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.

(2)由

1-x2 ≥ 0, 得 |x + 2|-2 ≠ 0,

-1 ≤ x ≤ 1, x ≠ 0 且 x ≠ -4.

故 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有 x+2>0.

从而有

1-x2
f(x)=x+2-2

=

1x-x2,这时有 f(-x)=

1-(-x)2
-x =-

1-x2
x =-f(x),

故 f(x)为奇函数.

(3)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当 x>0 时,-x<0,

∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).

当 x<0 时,-x>0.∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).

故函数 f(x)为奇函数.

判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对 称,然后检验对任意的 x 是否有 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)成立,必要时,可对上 式作变形处理:f(-x)±f(x)=0.

1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x2-x3;

(2)f(x)= x2-1 + 1-x2;

(3)f(x)=x

1 2x-1

+

1 2

.

【解】(1)由于 f(-1)=2,f(1)=0,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),从而函数 f(x)既不

是奇函数也不是偶函数.

(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,

又 f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

(3)函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

∵f(-x)=-x

1 2-x-1

+

1 2

=-x

2x 1-2x

+

1 2

=x

2x 2x-1

-

1 2

=x

1 2x-1

+

1 2

=f(x),

∴f(x)是偶函数.

T 题型二函
数奇偶性的应用
例 2(1)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0
时,f(x)=x3+x+1,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,求 f(2)的值; (3)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满
足:f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围. (1)已知 x>0 时 f(x)的解析式,只需再求出 x=0 及 x<0 时 f(x)
的表达式即可.已知 f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x),利用这一条件将 x>0 时 f(x) 的解析式进行转化,可求得 x<0 时 f(x)的解析式.
(2)中注意到函数 f(x)中多项式部分 x5+ax3+bx 的指数均为奇数,因此可 设 g(x)=x5+ax3+bx.

【解】(1)设 x<0,则-x>0,用-x 替换 f(x)=x3+x+1 中的 x,得 f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.
又∵-x3-x+1=-f(x),即 f(x)=x3+x-1.∴x<0 时,f(x)=x3+x-1. 又 f(x)是定义域为 R 的奇函数,故 f(0)=0.

x3 + x + 1,x > 0,

∴f(x)=

0,x = 0,

x3 + x-1,x < 0.

(2)设 g(x)=x5+ax3+bx,则 g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.

又 f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18.∴g(2)=-18.∴f(2)=g(2)-8=-26.

(3)∵f(x)的定义域为[-2,2],∴有

-2 -2

≤ ≤

1-m 1-m2

≤ ≤

2, 解得-1≤m≤ 2,

3.①

又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,∴f(x)在[-2,2]上递减. ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)? 1-m>m2-1,即-2<m<1.②
综合①②可知,-1≤m<1.

函数奇偶性的应用
(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产 生关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 产生关于字母的恒等式,由系数 的对等性可得知字母的值. (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的 单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

2.(1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x(1+x),则函

数的解析式 f(x)=

.

【答案】 x(1 + x),x ≥ 0, x(x-1),x < 0

【解析】设 x<0,则-x>0,

∴f(-x)=-x(1-x)=x(x-1).

又 f(x)是定义在 R 上的偶函数,

∴f(-x)=f(x).

∴当 x<0 时,f(x)=x(x-1).

∴函数的解析式为

f(x)=

x(1 + x),x ≥ 0, x(x-1),x < 0.

(2)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若

f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是

.

【答案】 a≤-2 或 a≥2 【解析】由已知 f(x)在[0,+∞)上为增函数,且 f(a)=f(|a|), ∴f(a)≥f(2),即 f(|a|)≥f(2). ∴|a|≥2,解得 a≥2 或 a≤-2.

T 题型三抽
象函数的奇偶性
例 3 已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意 a,b∈R,都有
f(a+b)=f(a)+f(b),且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立,f(3)=-3. (1)证明:函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)证明:函数 y=f(x)是奇函数; (3)试求函数 y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域. (1)应根据函数的单调性定义进行论证,考虑证明过程中如
何利用题设条件;(2)根据函数的奇偶性定义进行证明,只需证 f(-x)+f(x)=0;(3)可考虑运用(1)(2)两问的结论.

【解】(1)证明:设? x1,x2∈R,且 x1<x2, f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1).∵Δx=x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1).故 f(x)是 R 上的减函数. (2)证明:∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立, ∴令 a=-b=x,则有 f(x)+f(-x)=f(0).又令 a=b=0,则有 f(0)=f(0)+f(0).∴f(0)=0. 从而? x∈R,f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x).故 y=f(x)是奇函数. (3)由于 y=f(x)是 R 上的单调递减函数,∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数. 故 f(x)在[m,n]上的最大值 f(x)max=f(m),最小值 f(x)min=f(n). 由于 f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理 f(m)=mf(1). 又 f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n. ∴函数 y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].

(1)运用单调性是求最值(或值域)的常用方法之一,特别是对于抽 象函数.
(2)满足 f(a+b)=f(a)+f(b)的函数,只要定义域是关于原点对称的,它就是 奇函数〔当然 f(x)不恒为零,否则 f(x)既是奇函数又是偶函数〕.

3.已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞),当 x>1 时,f(x)>0,且 f(x·y)=f(x)+f(y). (1)求 f(1); (2)证明 f(x)在定义域上是增函数;

(3)如果 f

1 3

=-1,求满足不等式 f(x)-f

1 x-2

≥2 的 x 的取值范围.

【解】(1)令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),故 f(1)=0.

(2)证明:令 y=1x,得 f(1)=f(x)+f

1 x

=0,故 f(x)=-f

1 x

.

任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,Δx=x2-x1>0,

则 Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2)+f

1 x1

=f

x2 x1

.由于xx21>1,

故f

x2 x1

>0,从而 Δy>0.∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(3)∵f

1 3

+f(3)=f(1)=0,∴f

1 3

=-f(3)=-1.∴f(3)=1.

在 f(x·y)=f(x)+f(y)中,令 x=y=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2.

又-f

1 x-2

=f(x-2),故已知不等式可化为 f(x)+f(x-2)≥f(9),即 f[x(x-2)]

x > 0, ≥f(9).从而 x-2 > 0, 解得 x≥1+ 10.故 x 的取值范围是[1+ 10,+∞).
x(x-2) ≥ 9,

T 题型四函
数的周期性
例 4 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有
f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求函数的最小正周期; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).

【解】(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的最小正周期为 4. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数,∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.又∵f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+ f(2 011)=0,f(2 012)=f(0)=0,f(2 013)=f(1)=1.∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=1.

函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考 查,主要涉及函数周期性的判断、利用函数周期性求值,以及解决与周期有关 的函数综合问题.解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息,迁移到有 定义的范围上进行求解.
抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形: ①若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周 期; ②若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数 的一个周期; ③若满足 f(x+a)=f(1x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=f(x1+a)=f(x),所以 2a 是函数的一 个周期; ④若函数满足 f(x+a)=-f(1x),同理可得 2a 是函数的一个周期.

4.(2012·陕西宝鸡模拟)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点

的个数为( )

A.6

B.7

C.8

D.9

【答案】B 【解析】因为当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,所以 f(0)=0.又因为 f(x)是 R 上最

小正周期为 2 的周期函数,所以 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又因为 f(1)=0,所以

f(3)=0,f(5)=0.故函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点有 7 个.

解题策略
巧用函数单调性与奇偶性
单调性和奇偶性是函数两条重要的基本性质,二者之间有下面的密切 关系:(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;(2)偶函数在 关于原点对称的区间上具有相反的单调性.巧妙运用这一关系,可以解决很 多函数的综合问题,特别是抽象函数(即没有给出函数解析式的函数)问题.

例 1 若偶函数 f(x)在区间[3,6]上是增函数,且 f(6)=9,那么它在
区间[-6,-3]上( )
A.最小值是 9 B.最小值是-9 C.最大值是-9 D.最大值是 9 【答案】D 【解析】因为 f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数, 所以 f(x)在区间[-6,-3]上是减函数. 所以 f(x)在区间[-6,-3]上的最大值为 f(-6). 故 f(-6)=f(6)=9.

函数的性质本身就是一个整体,因此函数的单调性、奇偶性甚至函 数的周期性本身就紧密地结合在一起,在求解试题时一定要注意这一点,要 综合分析函数的性质.

例 2 设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若
f(m)<f(1),求实数 m 的取值范围.
【解】因为函数 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x). 又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数, 所以当 x∈[-2,0)时,f(x)是增函数. 当 0≤m≤2 时,由 f(m)<f(1)得 1<m≤2; 当-2≤m<0 时,由 f(m)<f(1)=f(-1)得-2≤m<-1. 故实数 m 的取值范围为[-2,-1)∪(1,2].

1.本题中,根据函数的定义域得 m∈[-2,2].但 f(x)在[-2,0]和[0,2]上 的单调性是不同的,m 在哪个区间上要分情况讨论.应用偶函数的重要性质 f(-x)=f(x),就可以把问题转化到一个单调区间上讨论.
2.对抽象函数解不等式问题,应充分利用函数的单调性,将“f”脱掉,转化 为我们会求的不等式.
3.奇偶函数的不等式求解时,要注意到:奇函数在对称的区间上有相同的 单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.


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