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14.3(1)直线与平面垂直


直线与平面垂直

直线与平面有那些位置关系? c

a

?
a/ /?

O

b

b? ?

c ? ? =O

一、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何 一条直线都垂直,那么这条直线和这个 平面互相垂直。
相关概念: (1) 垂线 (2) 垂面 (3) 垂足

实验、观察
1、将菱形ABCD沿对角线 BD折叠成空间四边形,观察
A

直线BD与平面AOC的位置
关系。

2、在不同的角度折叠下,
直线BD与平面AOC的位置 关系发生变化吗?
B

O D

C

二、直线与平面垂直的判定定理
如果直线 l 和平面?内的两条相交直线 m,n都垂直,那么直线l垂直平面 ?。 即: m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ? ? l?? l?m, l?n ?
m P

l

?
n

线不在多,重在相交

例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有 一条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端 放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直 线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的距离 是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么?
A

?

C

B

D

解 : 如图, 旗杆AB ? 8m, 两绳长AC ? AD ? 10m BC ? BD ? 6m

? B, C, D三点不共线 ? B, C, D三点确定平面?
? AB ? BC , AB ? BD ? BC ? BD ? B ? AB ? ? 因此, 旗杆AB与地面垂直.
A

?

C

B

D

例2、求证:如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面
a b

?

a b a?? b , ? ? ? ? ?

m n

证明: 在平面?内作两条相交直线m, n.
?直线a ? ? , 根据直线与平面垂直的定义知:a ? m, a ? n

又? b ? a,? b ? m, b ? n m ? ? , n ? ? , m, n是两条相交直线, ?b ? ?

例3. 如图,PA ? 圆O所在平面,AB 是圆O的直径,C是圆周上一点,那 末,图中有几个直角三角形?

P

分析:问题的焦点是三角形PBC
是不是直角三角形?
A O B

AC?BC ? PA?平 面ABC ? ? ? ? PA?BC ?? BC ? 平 面ABC? PA ? AC ? A? ?

C

BC?平 面PAC ? ? ? BC?PC ? ?PBC是 直 角 三 角 形 PC ? 平 面PAC?

故共有四个直角三角形

课堂练习
1.假设a ? AC, a ? BC.求证a ? AB 求证:与三角形的两条边同时垂直的直线
a 必与第三条边垂直。

C

?

A

B

实际上,这为证明“线线垂直”提供了一种方 法.

2. 如图,点P是平行四边形ABCD所在平面外一点, O是对角线AC与BD的交点,且PA=PC,PB=PD。 求证:PO ?平面ABCD

提示:
P

? AO=CO,PA=PC, ? PO ?AC。
同理PO ? BD, 又? AC ? BD=O, ? PO ? 平面ABCD。

D

C

O
A B

3.在空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD, 求证:对角线AC ⊥ BD。
A

提示:
取BD的中点E , 连接AE, CE , ? AB ? AD,? AE?BD,

D B E

? BC ? DC,? CE?BD, 又 ? AE ? CE ? E , ? BD?平面ACE,
C

? AC ? 平面ACE,? BD?AC

小结
直接法
判定定理 如果一条 直线垂直于一 个平面内的两 条相交直线, 那么此直线垂 直于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线

直线与平面 垂直的判定

间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面,那么 另一条也垂直 于同一个平面。

定义法

此直线垂直于这个平面

唯一性结论1
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直

m A

?

唯一性结论2
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直

m

A

B

?

点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线,这个点和 垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的 距离。

直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行,这条直线 上任意一点到这个平面的距离,叫做这 条直线和这个平面的距离。 注意: (1)求线面距离的本质是求点面距离。
(2)在求线面距离时,必须首先证明 线面平行。

平面和平面的距离
设平面? 平行于平面?,在平面? 上任取一点M , 点M 到平面?的距离叫做平面α和平面β的距离。
M

?
N

?

与异面直线都垂直且相交的直线有且只 有一条,它叫两异面直线的公垂线

a b c

如图所示:a⊥b,b⊥c且 b与两异面直线a、c都相 交,把直线b叫作a,c两异 面直线的公垂线。

l是a,b的公垂线,且与a,b的交点分别是A、 B ,那么线段AB的长叫异面直线a,b的距离。 即:公垂线夹在两异面直线间的线段的长 度,叫两异面直线的距离。
l
a A E

在两异面直线上各取一点, 这两点间距离的最小值就是 两异面直线的距离。 如图所示:EF>AB

b
F

B

练习:找出每对异面 直线的公垂线,若正 方体的边长为1,请回 答每对异面直线的距 离是多少。

D1 A1

C1 B1 D C B

A
1 A1D1 1、 A1B与D1C1公垂线是_____距离是__
BC 1 2、A1B与C1C公垂线是_____距离是____ 1 BC 3、 A B与CD公垂线是_____距离是____
1

AB 1 4、 B1B与AD公垂线是_____距离是____
A1B1 1 5、 A1A与B1C1公垂线是_____距离是__

例4、空间四边形ABCD四边长为10,对角线 BD=8,AC=16,E,F分别是AC、BD的中点 求证:(1)EF是AC、BD的公垂线段;(2)求出异 面直线AC、BD的距离。

A

EF是AC、BD的公垂线意味着什么?

E F B D

EF ⊥ AC,EF ⊥BD

C
上面的答案再加上条件:E、F是中点,可以引出 一些什么样的结论? EF是AC的中垂线,△AFC是等腰三角形。

A

E

解:连结EB、ED、AF、FC. ∵ABCD四边长都为10 ∴ △ADC≌ △ABC

∵BE、DE是两三角形对应边 F D 上的中线 ∴ BE=DE ∴ △EBD是等腰 B C 三角形 ∵EF是底边上的中线 ∴EF⊥BD 同理:EF ⊥AC,∴EF是AC、BD的公垂线段。

(2)△ABC中AB=BC=10,AC=16,E为AC中点 ∴BE=6 Rt△BEF中,BF=4 ?异面直线AC, BD的距离为EF ? 2 5

例5已知长方形ABCD ? A ' B ' C ' D '的棱AA ', AB和AD的长 . 分别为3cm, 4cm,5cm. (1)求点A和点C '的距离; (2)求点A和棱B ' C '的距离; (3)求棱AB和平面A ' B ' C ' D '的距离; (4)求异面直线AD和A ' B '的距离.
解:(1)连接AC '. AC ' ? AA '2 ? A ' B '2 ? B ' C '2 ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2(cm)
(2)连接AB ' B ' C ' ? A ' B ', B ' C ' ? BB ' ? B ' C ' ? 平面AA ' B ' B ? B ' C ' ? AB ' AB ' ? AA '2 ? A ' B '2 ? 32 ? 42 ? 5(cm)
A'
A
D B
C

D'

C'
B'

例5已知长方形ABCD ? A ' B ' C ' D '的棱AA ', AB和AD的长 . 分别为3cm, 4cm,5cm. (1)求点A和点C '的距离; (2)求点A和棱B ' C '的距离; (3)求棱AB和平面A ' B ' C ' D '的距离; (4)求异面直线AD和A ' B '的距离.
A'
A
D B
C

D'

C'
B'

(3)连接AC ', AB '. AA ' ? A ' B ', AA ' ? A ' D ' ? AA ' ? 平面A ' B ' C ' D ' ? ? AB // 平面A ' B ' C ' D '? ? 棱AB和平面A ' B ' C ' D '的距离为AA ' ? AA ' ? 3(cm) (4) AA ' ? AD, AA ' ? A ' B ' ? AA ' 是异面直线

AD与A ' B '的公垂线. AA ' ? 3(cm)

思考:过一点能作几条与已知直线垂直的直线?
m
M

O
a b

A d

c

所作的垂线是在同一平面内吗?



直线m与此平面给我们什么印象? 直线垂直平面的形象

回顾:直线a与平面α相交,a与平面α内 的直线有几种位置关系? a

c
?
d

o

b

a与c是异面直线

a? b

如果平面内的直线d 平行于b,那么d与a

垂直

若直线d不在平面 ? 内,上述结论还成立吗? 仍成立


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