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haokan77:高一数学二项式定理_图文

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二项式定理
(第一课时)

§10.5 二项式定理
理解二项式定理,会利用二项式定理求 二项展开式。 掌握二项展开式的通项公式,会应用通 项公式求指定的某一项。 会正确区分二项式系数与项的系数,会 求指定项的二项式系数和系数。

问题1:

C0n+C1n+ C2n+C3n+ … + C nr+… + Cnn=?

问题2:

你能否判断(3 数项?

x2-

1 x

)10的展开式中是否包含常

它研究的就是 (a+b)n 的展开式 的一般情形。

(a+b)2 =a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)2 = ( a + (ba+) (ba)4=+(ba+) =b)3a2(+a+2abb) +b2

=( a3+3a2b+3ab2+b3 )(a+b)

(a+b)3=(

a2 a+b

)(

=aa+b ba)b(

b2 a+b

)

=a3+3a2b+3ab2+b3

C03a3 C13a2b C23ab2 C33 b3

共有四项

a3 : 每个括号都不取b的情况有一种,即 C03 种,所以a3的系数是 C03 a2b: 相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种,所以a2b的系数是 C13
同理,ab2 有 C23 个; b3 有 C33 个;

(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =C03 a3+ C13a2b+ C23ab2+C33b3
(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
=C04a4+C14 a3b+C24a2b2+C34 ab3+C44 b4 一般地,(a+b)n=(a+b) (a+b) (a+b) …… (a+b)
C =C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+ C3nan-3b3+…+ Crnrna b nn--rr rr+…+ Cnn bn
该公式称为二项式定理。其右端的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,
共有n+1项。其中
1)每一项的系数 Crn(r=0,1,2,…,n)叫做该项的二项式系数。
2)Crnan-rb r叫做二项展开式的通项,表示第r+1项,记作Tr+1。
3)若取a=1,b=x则得一个重要公式:
(1+x)n=1+ C1n x+ C2nx2+…+ Crn xr +…+ Cnnxn

二项式定理:
(a+b ) n = C n0an+C n 1an-1b+C n 2an-2b2+…+C n ran-rbr+…+ C n nbn
通项公式(第r+1项):
Tr+1=C n ran-rbr ;其中 C n r称为第r +1项的二项式系数。

例1:展开(a+b)5

解:(a ? b)5 ? C50a5 ? C15a4b ? C52a3b2 ? C35a2b3

?

C

4 5

a

1b4

?

C

5 5

b5

? a5 ? 5a4b ? 10a3b2 ? 10a2b3 ? 5ab4 ? b5

例2:展开(1-x)n

解:(1-x)n=Cn0-Cn1X+Cn2X2-…+(-1)nCnnXn

二项式定理:
(a+b ) n = C n0an+C n 1an-1b+C n 2an-2b2+…+C n ran-rbr+…+ C n nbn
通项公式(第r+1项):
Tr+1=C n ran-rbr ;其中 C n r称为第r+1项的二项式系数。

例3、求(x-2)10的展开式中的第五项,并求出它的 二项式系数。

解:∵a=x,b=-2,n=10

问题1,2

根据通项公式Tr+1= Cnr an-r b r 得

T5= T4 +1 = C140 ·x10-4· (-2)4

= 10? 9?8? 7 ·x6 ·16
4?3? 2?1

=3360x6

小结

它的二项式系数是 C140 =210

二项式定理:
(a+b ) n = C n0an+C n 1an-1b+C n 2an-2b2+…+C n ran-rbr+…+ C n nbn
通项公式(第r+1项):
Tr+1=C n ran-rbr ; 其中 C n r称为第r+1项的二项式系数。

例4、求(x-2)10的展开式中x6项的系数。

解: (x-2)10的展开式的通项是

Tr+1=C1r0 x10-r(-2)r =(-1)r 2r C1r0 x10-r
由题意知 10-r= 6 ∴ r=4

于是x6项的系数是

(-1)4

24

C140=16×

10 ? 9 ? 8 ? 7 4?3? 2?1

=3360

问题1: C0n+C1n+ C2n+C3n+ … + C nr+…+ Cnn=?
解:根据二项式定理,取a=1,b=1 (1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn ∴Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n

问题2:

你能否判断(3 数项?

x2-

1 x

)10的展开式中是否包含常

解:根据二项式定理,取

a=3x2,b=-

1 x

∴ (3 x2- 1 )10 的通项公式是

x

Tr+1=

C

r 10

(3x2)10-r(-

1
x )r




C

r 10

·310-

r·x20-

2r·(-1)r

·x

r 2



(-1)r

·310-

r·Cr10

·x20-

5r 2



20-

5r 2

=0

∴r=8 r∈N

∴ (3 x2- 1 )10 的展开式中第9项为常数项。
x

二项式定理展开式中a与b是用“+”连接的,即
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Cnr an-rbr+…+ Cnn bn,
在实际运用时注意正确选择a、b。 通项公式Tr+1=C n ran-rbr 是指第r+1项,其中 C n r称为第 r+1项的二项式系数。 (见例3)
注意正确区分二项式系数与项的系数。(见例3)

P110 习题10.4:2,4

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