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江苏省海门中学2012届高三下学期数学阶段测试 2012.04.29


江苏省海门中学 2012 届高三下学期数学阶段测试 数学Ⅰ

2012.04.29

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上 . ......... 1.若复数 z 满足 z ? (2 ? z )i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x ? Z ? x2 ? 5x ? 0 , B ? ?x x ? 4 ? 0? ,则 (?U A) ? B 中最大 的元素是 ▲ . 3.若函数 f ( x) ? lg

?

?



.

4.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? S6 ? S9 ,则数列 ?an ? 的公比 q 是 ▲ . 5.如图,沿田字型的路线从 A 往 N 走,且只能向右或向下走,随机地选一 种走法,则经过点 C 的概率是 ▲ . 6.将函数 y ? sin(2 x ?

4x ? a 为偶函数,则实数 a = ▲ . 2x

?
3

) 的图像沿坐标轴右移,使图像的对称轴与函数

y ? cos(2x ? ) 的对称轴重合,则平移的最小单位是= ▲ . 3
7.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直 线 l2 的距离之和的最小值 ▲ . .

?

8.程序框图如下,若恰好经过 次 循环输出结果,则 a = ▲ ....6 . .

i ? i ?1
开始

N

T ? 0, i ? 1

T ? T ? ai (a ? 1且a ? Z )

T ? 200
Y

输出 T

结束

9 .对于数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, ▲ .

a2k a ? 2, 2 k ?1 ? 3 k ? N ? ,则其前 100 项的和 S100 ? a2 k ?1 a2k

?

?

10. 在正三棱锥 S—ABC 中, M、 N 分别是棱 SC、 BC 的中点, 且 MN⊥AM, 若侧棱 SA ? 2 3 , 则此正三棱锥 S—ABC 的外接球的表面积是 ▲ . 11.已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于 ?1,0 ? 对称. 若对任意的 x, y ? R ,不等式 f x2 ? 6x ? 21 ? f y2 ? 8 y ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时,
x ? y 的取值范围是 ▲ .
2 2

?

?

?

?

12.已知 a, b ? R ,⊙ C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? a2 ? 5 ? 0 与⊙ C 2 : x2 ? y 2 ? (2b ? 10) x ? 2by ? x ?x y ? y 2b2 ? 1 b 0 ? 1? 6 交于不同两点 0 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 且 1 2 ? 1 2 ?0, 则实数 b 的值 y1 ? y2 x1 ? x2 为 ▲ . 13.已知 ?ABC 中, ?B ? 60? , O 为 ?ABC 的外心,若点 P 在 ?ABC 所在的平面上, ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? OP ? OA ? OB ? OC ,且 BP ? BC ? 8 ,则边 AC 上的高 h 的最大值为 ▲ . 14.各项为正数的数列 ?an ? ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn ? ( Sn?1 ? a1 )2 ? n ? 2? ,若 a a bn ? n ?1 ? n ,且数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn , ,则 Tn ? ▲ . an an ?1
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二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 .......
或演算步骤.

15. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ,其中 ? ? 0, ? ?

?

? 2? ,若 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 ,且图象 2 3 3
? . 4

的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是 (1)求函数 f ? x ? 的解析式;

(2)若 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,且 f ? A? ? ?1 ,求 sin B ? sin C 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 在所有棱长都相等的斜三棱柱 ABC ? DEF 中,已知 BF ? AE , BF ? CE ? O ,且

AB ? AE ,连接 AO .
(1)求证: AO ? 平面 FEBC ; (2)求证:四边形 BCFE 为正方形.

A

D

C

F

O

E
第 16 题图

B

17. (本小题满分 14 分) 如图 1, OA 、 OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段 CD 和曲线段 EF 分别 是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要,拟过栈桥 CD 上某点 P 分别修 建与 OA 、 OB 平行的栈桥 PM 、 PN ,且以 PM 、 PN 为边建一个跨越水面的三角形 观光平台 PMN .建立如图 2 所示的直角坐标系,测得线段 CD 的方程是 x ? 2 y ? 20

? 0 ? x ? 20? ,曲线段 EF 的方程是 xy ? 200 ? 4 ? x ? 50? ,设点 P 的坐标为 ( x, y) ,
记 z ? xy (题中所涉及的长度单位均为米,栈桥和防波堤都不计宽度) . (1)求 z 的取值范围;
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(2)试写出三角形观光平台 PMN 面积 S?PMN 关于 z 的函数解析式,并求出该面积的最 小值.

18. (本小题满分 16 分) 设 P ? a, b ?? a ? b ? 0? 、 R ? a,2? 为坐标平面 xoy 上的点,直线 OR ( O 为坐标原点)与 抛 物线 y ?
2

4 x 交于点 Q (异于 O ). ab

(1)若对任意 ab ? 0 ,点 Q 在抛物线 y ? mx2 ? 1? m ? 0? 上,试问当 m 为何值时,点

P 在某一圆上,并求出该圆方程 M ;
(2)若点 P(a, b) ? ab ? 0? 在椭圆 x ? 4 y ? 1 上,试问:点 Q 能否在某一双曲线上,
2 2

若能,求出该双曲线方程,若不能,说明理由; (3)对(1)中点 P 所在圆方程 M ,设 A 、 B 是圆 M 上两点,且满足 OA ? OB ? 1 , 试 问:是否存在一个定圆 S ,使直线 AB 恒与圆 S 相切.

19. (本小题满分 16 分) 都是正整数.

已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列,设 m, n, p, k

2 (1)求证:若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? 2a p , bmbn ? (bp ) ;

(2)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m, k ,使得 am ? am?1 ? ak ?请说明理由;

(3)求使命题 P : “若 bn ? aqn ( a 、 q 为常数,且 aq ? 0 )对任意 m ,都存在 k ,有

bmbm?1 ? bk ”成立的充要条件.

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20. (本小题满分 16 分) 函数的导数为 0 的点称为函数的驻点,若点(1,1)为函数 f(x)的驻点,则称 f(x)具有“1—1 驻点 性”. (1)设函数 f ( x) ? ?x ? 2 x ? a ln x ,其中 a≠0. ①求证:函数 f(x)不具有“1—1 驻点性”;②求函数 f(x)的单调区间; (2)已知函数 g(x)=bx3+3x2+cx+2 具有“1—1 驻点性”,给定 x1,x2?R,x1<x2,设 λ 为 实数, x1+λx2 x2+λx1 且 λ≠-1,α= ,β= ,若|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,求 λ 的取值范围. 1+λ 1+λ

数学Ⅱ(附加题)
请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........ 21.本题包括 A、B 两小题,考生都做 . ..

A 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)
已知矩阵 A ? ? 值 -1 的一个特征向量为 ? 2 ? ?

?a b ? ?1? ,若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,属于特征 ? ?1? ?c d ? ? 1? ? ,求矩阵 A . ? ?1?

B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)

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1 ? x? t ? 2 ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2 系 xOy 的 O 点为极点, Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极

坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 4 (1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB .

?

22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知焦点为 F 的抛物线 x 2 ? 4 y 上有两个动点 A 、 B ,且

AF ? ? FB , 过 A 、 B 两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M.
(1)求: OA ? OB 的值; (2)证明: FM ? AB 为定值.
?? ? ?? ?

23. (本小题满分 10 分) 若 n ? N , ?1 ? 2 ? ? 2an ? bn ( an 、 bn ? Z ).
*
n

(1)求 a5 ? b5 的值;

(2)求证:数列 ?bn ? 各项均为奇数.

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江苏省海门中学高三数学阶段测试 2012.04.29

参考答案
? 2 ; 6. ; 7.2; 8.2 ; 3 4 3 50 5 4n2 ? 6n 9. (6 ? 1) ; 10. 36? ; 11. ?13, 49 ? ; 12. ;13. 2 3 ;14. . 2n ? 1 5 3 ? 2? ? ? ? 15.解: (1)由条件, cos cos ? ? sin sin ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? cos( ? ? ) ? 0 3 3 3 3 3 ? ? ? 5? ? ? ? …………………………3 ? ? ? ,?? ? ? ? ? ,? ? ? ? ,?? ? , 2 6 3 6 3 2 6 分 ? 又图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是 ,所以周期为 ? ,? ? ? 2 , 4 ?? ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? . ……………………………6 6? ? 分 ?? ? (2)由 f ? A? ? ?1 ,知 sin ? 2 A ? ? ? ?1 , 6? ? ? ? 13? , ? A 是 ?ABC 的内角,? 0 ? A ? ? ,? ? 2 A ? ? 6 6 6 ? 3? 2? ? ,从而 B ? C ? . …………………………9 ?2 A ? ? ,? A ? 6 2 3 3 分 由 ?? ?? ? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin ? ? B ? ? sin ? B ? ? , …………………………12 3? ?3 ? ? 分 ? ? ? 2? , ? 0 ? B ? ,? ? B ? ? 3 3 3 3 ? 3 ? 3 ?? ? ? ? sin ? B ? ? ? 1 ,即 sin B ? ………………………14 sin C ? ? ,1 ? . ? 2 2 3? ? ? ?
1. 1 ? i ; 2.3; 3.1; 4.1 或-1 ; 5. 分
第 6 页 共 11 页

16. (1)证明:因为 BCFE 是菱形,所以 BF ? EC 又 BF ? AE , AE ? EC ? E ,所以 BF ? 平面AEC 因为 AO ? 平面AEC ,所以 BF ? AO …………………………4 分 因为 AE ? AB ? AC , OE ? OC ,所以 AO ? EC 由 BF ? EC ? O ,所以 AO ? 平面BCFE ………………………8 分 (2)证明:因为 AO ? 平面BCFE ,所以 AO ? OE , AO ? OB , ………………………10 分 又因为 AE ? AB ,所以 OE ? OB , 所以 EC ? BF 所以四边形 BCFE 为正方形 ……………………14 分 x 17.解: (1) x ? 2 y ? 20 ? y ? 10 ? , ……………………………2 分 2 200 200 , y ), N ( x, ) 在曲线段 EF 上, 由题知, M ( y x x ∴ x ? 4 且 y ? 4 ? 10 ? ? 4 ? x ? 12 ,∴ x ? ? 4,12? , ……………………4 分 2 1 1 ……………………7 分 ? z ? xy ? ? x2 ? 10x ? ? ( x ? 10)2 ? 50 ? ?32,50? 2 2 1 1 200 200 1 ? 40000 ? ? y )( ? x) ? ? ? z ? 400 ? ……………10 分 (2) S?PMN ? PM ? PN ? ( 2 2 x y 2? z ? 1 ? 40000 ? 1 ? z ? 200 ?? z ? 200 ? ?0 z ? ?32,50? 时, S ? ? ? ? 2 ? 1? ? ? , 2? z z2 ? 2 ∴ S ( z ) 在 ?32,50? 上单调递减,∴ S ( z )min ? S ? 50 ? ? 225 . ………………………14 分

2 ? y? x ? ? ?a 2? a ? Q ? , ? ,-------2 分 18.解: (1)? ? ?b b? ? y2 ? 4 x ? ab ?

2 ?a? 2 2 代入 y ? mx ? 1? ? m ? ? ? 1 ? ma ? b ? 2b ? 0 ----- 4 分 b ?b?
2
2 当 m ? 1 时,点 P (a, b) 在圆 M : x ? ? y ? 1? ? 1 上-----5 分 2 2 (2)? P ? a, b ? 在椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 上,即 a ? ? 2b ? ? 1 2

2

1 ? 可设 a ? cos ? , b ? sin ? ------7 分 2 a ? xQ ? 2 2 2 2 ? ? ?a 2? ? 2? ?a? ? 4 ? ? 2cos ? ? b 2 2 又? Q ? , ? , 于是? ? ? yQ ? mxQ ? ? ? ? m ? ? ? ? ? ? m? ? ?b b? ?b? ? b ? ? sin ? ? ? sin ? ? ?y ? 2 Q ? b ? 2 16 4m cos ? ? ? ? 16 (令 m ? 4 )? 点 Q 在双曲线 y 2 ? 4x2 ? 16 上----10 分 2 sin ? sin 2 ? 2 2 (3)? 圆 M 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 1 设 AB : x ? ky ? ?, A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
由 OA ? OB ? 1 得:
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2 2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? y1 ? 1? ? y12 ? 1 ? ? y2 ? 1? ? y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 1 2 2

? y1 y2 ?

1 4

----12 分

2 2 ? ? x ? ? y ? 1? ? 1 ? ? k 2 ? 1? y 2 ? 2 ? k ? ? 1? y ? ? 2 ? 0 , 又? ? ? ? x ? ky ? 1

? y1 y2 ?

?2
k 2 ?1

?

? 1 1 ? ? -----14 分 2 4 k ?1 2
?
2

1? k 1 ? 直线 AB 恒与圆 S : x 2 ? y 2 ? 相切。---------16 分 4 am ? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d , an ? a1 ? (n ? 1)d , 19. (1) ∵ ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ∴ am ? a1 ? (m ? 1)d ,
又 m ? n ? 2 p ,∴ am ? an ? 2a1 ? 2( p ? 1)d , ∵ a1 ? ( p ? 1)d ? a p ,∴ am ? an ? 2a p . ???3 分 ∵ ?bn ? 是公比为 q 的等比数列,∴ bm

又原点 O 到直线 AB 距离 d ?

?d ?

1 1 ,即原点 O 到直线 AB 的距离恒为 2 2

? b1qm?1 , bn ? b1q n?1 , bmbn ? b12 qm?n?2 ,
???????6 分

∵ m ? n ? 2 p ,∴ bmbn ? b12 q2 p?2 ? b1q p?1 ? b1q p?1 ? bp ? bp ? bp2 . (2)假设存在 m, k ,使得 am ? am?1 ? ak 即 k ? 2m ? ,

由 am ? am?1 ? ak , 得 6m ? 6 ? 3k ? 1 ,

4 , 3

?m 、 k ? N * ,∴ k ? 2m 为整数,矛盾.∴不存在 m 、 k ? N ? ,使等式成立.10 分 (3) “若 bn ? aq n( a 、q 为常数, 且 aq ? 0 ) 对任意 m , 都存在 k , 有 bmbm?1 ? bk ” 成立, 取 m ? 1,
得 b1b2 ? bk ,∴ a 2 q3 ? aq k 分 反之,当 a ? q ( c 是大于等于 ?2 的整数)时,有 bn ? qn?c ,
c

∴ a ? qk ?3 ,即 a ? qc ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数.13 ,

显然 bm ? bm?1 ? qm?c ? qm?1?c ? q2m?1?2c ? bk ,其中 k ? 2m ? 1 ? c . ∴所求的充要条件是 a ? q ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数.???????????16 分 1 a 20.解: (Ⅰ)① f ?( x ) =-1+ + ∵ f ?(1) =-1+1+a≠0, x x ∴函数 f(x)不具有“1—1 驻点性”.…………………………………………2 分 1 1 -( x- )2+a+ 2 4 -x+ x+a ②由 f ?( x ) = = x x 1 1 (ⅰ)当 a+ <0,即 a<- 时, f ?( x ) <0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数; 4 4 1 1 (ⅱ)当 a+ =0,即 a=- 时,显然 f ?( x ) ≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数;………………4 分 4 4 1 1 1 1 (ⅲ)当 a+ >0,即 a>- 时,由 f ?( x ) =0 得 x= ± a+ …………………………6 分 4 4 2 4 1 1 1 1 1 当- <a<0 时, - a+ >0∴x?(0, a+ - a+ )时, f ?( x ) <0; 4 2 4 2 4 1 1 1 1 1 1 x?( a+ - a+ , a+ + a+ )时, f ?( x ) >0; x?( a+ + a+ , +∞)时, f ?( x ) <0; 2 4 2 4 2 4
c

第 8 页 共 11 页

1 1 1 1 当 a>0 时, - a+ <0 ∴x?(0, a+ + a+ )时, f ?( x ) >0; 2 4 2 4 1 1 x?( a+ + a+ ,+∞)时, f ?( x ) <0; 2 4 1 综上所述:当 a≤- 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,+∞); 4 1 1 1 1 1 当- <a<0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0, a+ - a+ )和( a+ + a+ ,+∞), 4 2 4 2 4 1 1 1 1 函数 f(x)的单调递增区间为( a+ - a+ , a+ + a+ ); 2 4 2 4 1 1 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0, a+ + a+ ), 2 4 1 1 函数 f(x)的单调递减区间为( a+ + a+ , +∞);………………………………9 分 2 4 2 (Ⅱ)由题设得: g ?( x ) =3bx +6x+c,∵g(x)具有“1—1 驻点性”∴ g (1) ? 1 且 g ?(1) ? 0 ?b+3+c+2=1 ?b=-1 即?3b+6+c=0 解得?c=-3 ∴ g ?( x ) =-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0,故 g(x)在定义域 R 上单调递减. ? ? x1+λx2 x1+λx1 x1+λx2 x2+λx2 ①当 λ≥0 时,α= ≥ =x1,α= < =x2,即 α?[x1,x2),同理 β?(x1,x2] 11 分 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 由 g(x)的单调性可知:g(α),g(β)?[ g(x2),g(x1)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)-g(β)|> |g(x1)-g(x2)|不符. x1+λx2 x1+λx1 x2+λx1 x2+λx2 ②当-1<λ<0 时,α= < =x1,β= > =x2…………………13 分 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 即 α<x1<x2<β∴g(β)<g(x2)<g(x1)<g(α)∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,符合题设 x1+λx2 x2+λx2 x2+λx1 x1+λx1 ③当 λ<-1 时,α= > =x2, β= < =x1,即 β<x1<x2<α 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ ∴g(α)<g(x2)<g(x1)<g(β)∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|也符合题设……… ……15 分 由此,综合①②③得所求的 λ 的取值范围是 λ<0 且 λ≠-1…… …………………16 分 21.本题包括 A、B 两小题,考生都做 . ..

?1? ? a b ? ?1? ?1? A 解:由矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? 可得 ? =3 ? ? , ? ? ? ?1? ?c d ? ?1? ?1? ?a ? b ? 3 即? ; ?????????????4 分 ?c ? d ? 3 ? 1? ? a b ? ? 1? ? 1? 由矩阵 A 属于特征值 2 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? ,可得 ? =(-1) ? ? , ? ? ? ?c d ? ? ?1? ? ?1? ? ?1? ?a ? b ? ?1 即? ?????6 分 ?c ? d ? 1 ?a ? 1 ?b ? 2 ?1 2 ? ? 解得 ? 即矩阵 A ? ? ??????10 分 ? 2 1 c ? 2 ? ? ? ? ?d ? 1
1 ? cos ? ? ? 2 ? B 解: (1)设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 ? 且 ? ? [0, ? ) , ?sin ? ? 3 ? ? 2

?? ?

?

3

,即直线 l 的倾斜角为

? 3

…………………5 分

第 9 页 共 11 页

(2) l 的直角坐标方程为 y ? 3 x ?

2 , 2 2 2 2 2 ? ) ? (y ? ) ?1, ? ? 2 cos( ? ? ) 的直角坐标方程为 ( x ? 2 2 4

? 2 2? 6 10 l d? 所以圆心 ? ,? AB ? ? 2 , 2 ? ? 到直线 的距离 4 2 ? ?

………………………10 分

2 2 x12 x2 x12 x2 22. 解: 设 A( x1 , ), B( x 2 , ) ? 焦点 F (0,1) ? AF ? (? x1 ,1 ? ), FB ? ( x2 , ? 1) 4 4 4 4 ? x1 ? ?x 2 ? 2 x2 x12 ? 2 2 ? 1) ? x 2 (1 ? ) ? 0 消 ? 得 x1 ( ? AF ? ? FB ? ? x1 x 1? ? ? ( 2 ? 1) 4 4 ? 4 4 ? 2 x1 x 2 x12 x 2 ( x ? x )( ? 1 ) ? 0 ? ?1 化简整理得 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? ?4 ? y1 y 2 ? 2 4 4 4

? OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 (定值) 1 2 1 (2)抛物线方程为 y ? x ? y ? ? x 4 2
2 x12 x2 1 1 ? 过抛物线 A、B 两点的切线方程分别为 y ? x1 ( x ? x1 ) ? 和 y ? x2 ( x ? x2 ) ? 2 4 2 4 2 2 x x 1 1 即 y ? x1 x ? 1 和 y ? x 2 x ? 2 2 4 2 4 ? x ? x2 ? 联立解出两切线交点 M 的坐标为 ? 1 ,?1? ? 2 ? 2 2 2 ? x12 x 2 ? x12 x2 ? x12 ? x2 ? x ? x2 ?? ? ? ? 0 (定值) = ? FM ? AB ? ? 1 . ? 2 ?? x ? x , 1 ? 2 2 2 4 ? ? 2 ?? ?

23. (本小题满分 10 分) 解: (1)当 n ? 5 时, 1 ? 2
? ?C50 ? C52 ? ?

?

?

5

0 1 ? C5 ? C5 2 ? C52
1 5 3 2 ? C5 3 5 5

? 2?
5

2

5 ? ? ? C5

? 2?
2

5

? 2?

2

? C54

? ?C ? 2? ? ? ? ? ?
4

? 41 ? 29 ? 2? ?C ? 2? ? ? ?

故 a5 ? 29 , b5 ? 41,所以 a5 ? b5 ? 70 . (2)证:由数学归纳法 (i)当 n ? 1 时,易知 b1 ? 1 ,为奇数; (ii)假设当 n ? k 时, 1 ? 2 则当 n ? k ? 1 时,

?

?

k

? 2ak ? bk ,其中 bk 为奇数;
2ak ? bk ? 1 ? 2 ?

?1 ? 2 ?

k ?1

? 1? 2 ? 1? 2 ?

?

? ?
k

? ?

??

?

2 ? ak ? bk ? ? ? bk ? 2ak ?

所以 bk ?1 ? bk ? 2ak ,又 ak 、 bk ? Z ,所以 2ak 是偶数, 而由归纳假设知 bk 是奇数,故 bk ?1 也是奇数. 综上(i) 、 (ii)可知, bn 的值一定是奇数.
1 2 证法二:因为 ?1 ? 2 ? ? Cn0 ? Cn 2 ? Cn ? 2 ? ??? Cnn ? 2 ? n 2 n

当 n 为奇数时, bn ? Cn0 ? Cn2
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? 2?

2

4 ? Cn

? 2?

4

n ?1 ? ? ? Cn

? 2?

n ?1

则当 n ? 1 时, b1 ? 1 是奇数;当 n ? 3 时,
2 因为其中 Cn

? 2?
2

2

4 ? Cn
4 ? Cn

? 2?
4

4

n ?1 ? ? ? Cn

? 2?
n ?1

n ?1

中必能被 2 整除,所以为偶数,

0 2 于是, bn ? Cn ? Cn

? 2?

2

? 2?
4

n ?1 ? ? ? Cn

? 2?
4 n

必为奇数;
n n n

0 2 当 n 为偶数时, bn ? Cn ? Cn 2 其中 Cn

综上可知, ?bn ? 各项均为奇数.

? 2?

4 ? Cn

? 2 ? ? C ? 2 ? ??? C ? 2 ? ? 2 ? ?? ? C ? 2 ? 均能被 2 整除,于是 b 必为奇数.
2 4 n n n

n

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