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等比数列教案设计

《等比数列》教学设计
一、教学内容概述
本节课属于人教版教材高中数学必修 5 第 2 章第四节“等比数列”的内容,该内容分二 个课时,本节课是第一课时,内容是“等比数列”. 本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念, 再由教师引 导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式, 并将等比数列的通项公式与指数函数进行 联系, 体会等比数列与指数函数的关系, 既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的 数列模型,也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程. 学生已在前几节课程中学习过了数列的概念, 等差数列和等差数列的求和, 有了这些基 础更便于学生理解和学习等比数列的内容。 在学生以往所做的习题数与数之间的关系的填空, 也有利于引出等比数列知识, 使得本 节课的内容更加通俗易懂。 等比数列在生活中应用十分广泛,体现在生物科学、经济、金融数学等中,应用等比数 列的数学模型, 可以更好地刻画现实世界中的数量关系, 借此可培养学生数学建模的思想和 数学应用的意识.

二、学生学情分析
1、从高二学生的学习特点来看 (1) 知识基础方面.之前已经学习过“等差数列”的内容, 对数列已经有了初步的认识, 在此基础上研究讨论等比数列对后继学习产生积极影响.学生可以将等比数列相类比到等差 数列中, 理解等比数列的通项和其性质, , 为学生探索等比数列的性质提供了思维活动空间, 进而掌握研究数列性质的一般方法,提升分析问题、解决问题的能力.但在如何求复杂等比 数列或者隐含等比数列的通项有一定挑战难度。 (2)思维水平方面.学生已经学习了高中数学必修 1-4,具有一定水平的思维,空间想 象能力, 对数字特征特点性质具有一定的观察概括能力, 对于知识点之间的类比推理也有一 定程度学习, 对于学习等比数列的内容会比较容易。 但在学习如何转变各种复杂公式求出通 项的问题还是得具有一定的知识积累。 (3)心理特点方面.。高中学生善于控制自己,学习意志力较高。能够控制和约束自己

的行动,控制不需要的想法和情绪,使思想集中到学习上来。 (4) 学习态度方面.要使学生积极而高效的掌握知识, 必须在教学过程中关注学生的兴 趣、动机、情感、气质、意志、品德等非智力因素所形成的学习态度.它们比学生的智力水 平和知识本身更重要.适当的给予鼓励和评价,培养乐于探索、勇于探索的精神.

三、教学目标设计
1.知识与技能

(1)使学生掌握等比数列的定义及通项公式,发现等比数列的一些简单性质,并
能运用定义及通项公式解决一些实际问题。

(2)正确认识使用的表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公比、项数及指定的项
2.过程与方法 (1) 培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。 (2)采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学 (3)发挥学生的主体作用,作好探究性活动 (4)密切联系实际,激发学生学习的积极性.. 3.情感、态度与价值观

(1)培养积极动脑的学习作风,在数学观念上增强应用意识,在个性品质上培养
学习兴趣。
(2)通过生活中的大量实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认 真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力; (3)通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴 趣.

四、教学重难点设计
1.教学重点:教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用。 【设计依据】与等差数列一样,也是特殊的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显 的区别,可根据定义与通项公式得出的特性,这些是教学的重点. 2.教学难点:教学难点 在于通项公式的推导和运用. 【设计依据】 虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法, 但对学生来说仍然不熟 悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,

所以通项公式的推导是难点.对等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活 运用既是重点又是难点.

五、教学策略设计
1、教学传递策略 教学传递策略涉及要使用的教学媒体、 教学方法和学生的分组, 具体说就是教学媒体教 学方法的选择和教学组织形式的合理选用。 采用 PPT 形式先给学生展示几个生活中有关等比 数列的实列,比如细胞分裂,和银行的利息计算等,将本节课的主要学习内容传递给学生, 引入内容。 2、弹性预设和动态生成的教学策略的应用 重视课堂教学“弹性预设和动态生成”的过程,使教育活动过程焕发生命的活力.设计 中体现“学情预设”环节,给整个教学留下弹性的空间,对学生可能出现的反应作出预测. 一个开放性强的设问,让学生发散思维大胆猜想,提升能力.对于不同的公比,等比数列的 形式,以及等比数列运用到方程,不等式上的形式,以及等比数列的多种表达形式。

六、教学过程设计
问题 1:给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.

①-2,1,4,7,10,13,16,19,?

②8,16,32,64,128,256,?

③1,1,1,1,1,1,1,?

④243,81,27,9,3,1, , ,?

⑤31,29,27,25,23,21,19,?

⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,?

⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,?

⑧0,0,0,0,0,0,0,?

(由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆 动数列,也可能分为等差、等比两类) ,统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一 类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列) 【设计意图】通过分类归纳的过程,引入等比数列的内容,使得学生对等比数列有初步 的理解。 问题 2:细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律, 将每次分裂后细胞的个数写成一个数列,你能写出这个数列吗? (教师观察学生写的内容,看其是否能正确写对数列,并展示) 【设计意图】在写这个等比数列的过程,使学生感受到等比数列的现实生活意义。 问题 3:计算机病毒传播问题. 一种计算机病毒,可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播.如果把病毒制造者 发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算 机都感染 20 台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的 数列呢? (通过两个问题,助于学生理解) 【设计意图】在写这个等比数列的过程,使学生理解等比数列的结构性质。 问题 4:回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面问题 2,3 的数列,说说它 们有什么共同特点? 【设计意图】。引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系. 问题 5:我们已经学习过等差数列的通项公式,那么你们现在尝试一下写出等比数列的 通项公式 (教师观察学生写的内容,并且指出错误,更正学生理解) 【设计意图】强化学生自主学习和归纳推理能力。 问题 6:请同学就所学知识尝试填以下表格

等差数列 定义 首项,公差(公比)有无限 制 通项公式 相应图像特点 (教师让学生先自主填表,最后统一讲解) 【设计意图】强化学生探索类比所学知识的能力。

等比数列

问题 7:设 ak,al,am,an 是等比数列中的第 k、l、m、n 项,若 k+l=m+n,求证: ak*al=am*an 【设计意图】这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到。它说明等 比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积 问题 8:已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q=( 【设计意图】巩固学生对公比等基础知识的理解 问题 9:已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 的值是( ) )

【设计意图】考察学生是否已经理解了等比数列的性质,并进行运用

问题 10:等比数列{an}中 a4,a8 是方程 x +3x+2=0 的两根,则 a5a6a7=(

2



【设计意图】等比数列与方程的运用结合,加深理解

问题 11:在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个成为等比数列,后三个成等差数列, 则这两个正数之和是_______.

【设计意图】加强学生对等差数列等比数列的混合运用 问题 12:等比数列{an}的首项 a1=﹣1,前 n 项和为 Sn,若 _________ ,则公比 q 等于

【设计意图】等比数列通项公式的多方面运用,助于学生理解其性质

作业

课本第 60 页习题 2.4 A 组第 1、2 题.


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