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2011年高考数学北京卷(理)精品试题解析-word


2011 年高考数学北京卷(理)精品解析 年高考数学北京卷( 精品解析
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 第一部分 小题, 在每小题列出的四个选项中, 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 在每小题列出的四个选项中 项. (1)已知集合 P = x x 2 ≤ 1 , M = {a} .若 P ∪ M = P ,则 a 的取值范围 (A) (?∞, ?1] ( 【正确答案】 D) 正确答案】 【试题解析】 P=[-1,1], 试题解析】 P∪M=P?a∈[-1,1]. ∪ ? ∈ , (B) [1, +∞) (C) [?1,1] (D) (?∞, ?1] ∪ [1, +∞)

{

}

【命题意图】本题主要考查并集的概念,属于保分题. 命题意图】本题主要考查并集的概念,属于保分题 主要考查并集的概念 i?2 (2)复数 = 1 + 2i (A) i (A) 【正确答案】 正确答案】
(B) ?i 4 3i (C) ? ? 5 5 4 3i (D) ? + 5 5

i ? 2 ( i ? 2 )(1 ? 2i) 5i = = = i. 【试题解析】 解法一: 试题解析】 1 + 2i (1 + 2i )(1 ? 2i ) 5
i ? 2 i + 2i i (1 + 2i ) 解法二: = = = i. 1 + 2i 1 + 2i 1 + 2i

【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. (3)在极坐标系中,圆 ρ = ?2sin θ 圆心的极坐标是 (A) (1, ) 2 正确答案】 (B) 【正确答案】

π

(B) (1, ? ) 2

π

(C) (1, 0)

(D) (1, π )

【试题解析】 ρ = ?2sin θ ? ρ 2 = ?2 ρ sin θ ? x 2 + y 2 = ?2 y, 试题解析】

π? ? ∴圆心直角坐标为 ( 0,1) , 极坐标为 ?1, ? ? . 2? ?
【命题意图】本小题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化的基础知识,属于保分题. 命题意图】本小题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化的基础知识,属于保分题.

1

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 (A) ?3 (B) ? (C)

开始
i = 0, s = 2
s= s ?1 s +1

1 2

1 3

(D) 2

i<4

i = i +1

输出s

结束

(D) 【正确答案】 , 正确答案】 【试题解析】 i : 0 → 1 → 2 → 3 → 4; 试题解析】
1 1 → ? → 2. 3 2 命题意图】本小题考查的是程序框图的基础知识 是保分题. 考查的是程序框图的基础知识, 【命题意图】本小题考查的是程序框图的基础知识,是保分题

s:2→

(5)如图, AD , AE , BC 分别与圆 O 切于 D , E , F ,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G . 给出下列三个结论: ① AD + AE = AB + BC + CA ② AF ? AG = AD ? AE ③ ?AFB ∽ ?ADG 其中正确结论的序号是 (A)①② (C) ①③ (B) ②③ (D) ①②③

E C F A B D O G

(A) 【正确答案】 正确答案】 【试题解析】.①正确,∵ BC = BF + FC = BD + CE 试题解析】 ①正确, ②正确,∵ AF ? AG = AD 2 = AD ? AE 正确, ③错误,若△AFB∽△ADG ,则
AG AF = , AB AD

即. AF ? AG = AB ? AD, 这与AF ? AG = AD 2矛盾 . 命题意图】本题主要考查了圆的切线长定理 切割线定理以及相似三角形性质的运用 了圆的切线长定理、 性质的运用, 【命题意图】本题主要考查了圆的切线长定理、切割线定理以及相似三角形性质的运用,属于中 档题. 档题

2

? ? ? (6)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ( x) = ? ? ? ?

c ,x < A x ( A, c c ,x ≥ A A

为常数).已知工人组装 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的 值分别是 (A)75,25 正确答案】 (D) 【正确答案】 (B) 75,16 (C)60,25 (D) 60,16 c c = 30, = 15, c = 60, A = 16. 4 A

【试题解析】当 x < A时 f ( x ) 单 减 , x ≥ A时 f ( x ) 恒 为 常 数 , 故 试题解析】

【命题意图】本题主要考查对分段函数实际意义的理解与运算,属于中档题. 命题意图】本题主要考查对分段函数实际意义的理解与运算,属于中档题 对分段函数实际意义的理解与运算
(7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面得面积中最大的是 (A) 8 (B) 6 (C) 10
4 3 侧( 左)俯俯 4

(D) 8 2

正(主) 俯俯

俯俯 俯

(C) 【正确答案】 正确答案】 试题解析】该四面体如图所示, 【试题解析】该四面体如图所示,其中 BC⊥CD,BC=4,CD=3, C AB⊥ BCD,AB=4,于是 AB⊥面 BCD,AB=4,于是 AC= 4 2 , BD=5,

A D

4

S?BCD = 6, S?ABC = 8, S?ACD = 6 2, S?ABD = 10.

B 命题意图】本题以三视图为载体, 能力,属于中档题. 【命题意图】本题以三视图为载体,主要考查考生空间想象力及基础运算能力,属于中档题

4

3 C

(8)设 A(0, 0) , B(4, 0) , C (t + 4, 4) , D(t , 4)(t ∈ R) .记 N (t ) 为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的 整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N (t ) 的值域为 (A )

{9,10,11}

(B)

{9,10,12}

(C)

{9,11,12}

(D) {10,11,12}

(C) 【正确答案】 正确答案】 【试题解析】 画出ABCD的图象, 是一个一边在x轴上的平行四边形, 试题解析】 设y = (k = 1, 3)与AD边的交点为Ak , 与BC边的交点为Bk , k 2, 则四边形内部(不含边界)的整点都在线段Ak Bk 上,

3

∵ Ak Bk = AB = 4,

∴线段Ak Bk 上的整点有3个或4个,所以3 × 3 ≤ N (t ) ≤ 3 × 4 = 12 .

t t 3t 不难求得A1 ( ,1), A2 ( , 2), A3 ( ,3), 4 2 4 4 ① 当t不是整数(t = )时,只有A3是整点,此时,N ( t ) = 11; 3

② 当t是4k型整数时,A1 , A2,A3都是整点,此时N (t ) = 9; ③ 当t是4k + 2型整数时,只有A2是整点,此时N (t ) = 11; ④ 当t是4k + 1或4k + 3型整数时,A1 , A2,A3都不是整点,此时N (t ) = 12.
D A3 A2 A1 C B3 B2 B1 A3 A2 A1 B1 B2 A1 D C B3 D A3 A2 B1 C B3 B2 D A3 A2 A1 C B3 B2 B1

A

B

A

B

A

B

A

B

上面 4 中情形涵盖了 t 的所有可能取值,所以,N(t)的值域是{9,11,12}. 【命题意图】本题属于解析几何方面的创新题,意在考查考生分析和解决问题的综合创新 命题意图】 本题属于解析几何方面的创新题, 能力, 能力,是选拔优秀人才的标志性题目. 小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: (9)在 ?ABC 中,若 b = 5 , ∠B = 【正确答案】 正确答案】
2 5 5; 2 1 0 .

π
4

, tan A = 2 ,则 sin A =

,a=

.

【试题解析】 ta n A = 2 ? s in A = 试题解析】

b 2 ;正 弦 定 理 ? a = s in A = 2 1 0 . s in B 5

【命题意图】本题主要考察的是用正弦定理解三角形的基本运算,属于保分题. 命题意图】本题主要考察的是用正弦定理解三角形的基本运算, (10)已知向量 a = ( 3,1) , b = (0, ?1) , c = (k , 3) .若 a ? 2b 与 c 共线,则 k = 【正确答案】1 正确答案】 .

【试题解析】 试题解析】 命题意图】本题以向量共线为切入点,考察了坐标形势下向量的加减及乘法运算 加减及乘法运算, 【命题意图】本题以向量共线为切入点,考察了坐标形势下向量的加减及乘法运算,属 于保分题.

4

(11)在等比数列 {an } 中, a1 =

1 , a4 = ?4 ,则公比 q = 2

; a1 + a2 + ??? + an =



【正确答案】 ? 2 ; 2 正确答案】

n +1

?

1 . 2

1 ? 1 n?1 n?1 n?2 ? a1 = 3 2 ? a1q = ?4 ? q = ?2,∴an = ( ?2) = ( ?1) 2 , 试题解析】 【试题解析】 ? 2 ?a4 = ?4 ?

1 n ( 2 ?1) n+1 1 n?2 ∴ an = 2 , a1 + a2 + a3 +???+ an = 2 =2 ? . 2 ?1 2
【命题意图】本题主要考察等比数列的定义,通项公式及前 n 项和公式的运用和 命题意图】本题主要考察等比数列的定义, 基础运算,属于中档题 基础运算,属于中档题. (12)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有 个. 【正确答案】 14. 正确答案】
1 【试题解析】 解法一(直接法)分三类:C4 + C42 + C43 = 24 ? 2 = 14; 试题解析】

解 法 二 (间 接 法 ) 分 四 步 : 2 4 ? 2 = 14 .

【命题意图】本题考查的是排列组合中两个原理的简单运用,属于保分题. 命题意图】本题考查的是排列组合中两个原理的简单运用,属于保分题
? 2 , x ≥ 2, (13)已知函数 f ( x) = ? x 若关于 x 的方程 f ( x) = k 有两个不同的实数根,则 ? ?( x ? 1)3 , x < 2. ?

实数 k 的取值范围是 【正确答案】 ( 0, . 正确答案】 1)

.

2 【试题解析】 画出y = ( x ≥ 2)和y = ( x ? 1)(x < 2)的图象, 试题解析】 解析

2 x

由图可知0<k < 1.

5

【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质,着重考查了数形结合的数学思想. 命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质,着重考查了数形结合的数学思想
(14)曲线 C 是平面内与两个定点 F1 ( ?1, 0)和F2 (1, 0) 的距离乘积为等于常数 a (a > 1) 的点的轨迹。给出下
2

列三个结论: ①曲线 C 经过原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称 ③若点 P 在曲线 C 上,则 ?F1 PF2 的面积不大于 其中,所有正确结论的序号是 .

1 2 a 。 2

【正确答案】 ②③ 正确答案】 【试题解析】 设点P( x, y )是曲线C上的任意一点,则 PF1 PF2 = a 2 (a > 1), 试题解析】



( x + 1)

2

+ y2 ?

( x ? 1)

2

+ y 2 = a 2 (a > 1).

对于①,若C过原点,则a 2 = 1与a > 1矛盾,故①错误; 对于②,将点(-x, ? y )代入曲线C,方程不变,故②正确;
对于③,直接使用三角形面积公式有S ?PF1F2
1 a2 = PF1 PF2 sin ∠F1 PF2 ≤ , 故③正确. 2 2

【命题意图】本题以轨迹问题为切入点,综合考察考生解题的灵活性和创新意识,属于创新题. 命题意图】 本题以轨迹问题为切入点,综合考察考生解题的灵活性和创新意识, 属于创新题 以轨迹问题为切入点 小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 www. 解答题: 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程. (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = 4 cos x sin( x + ) ? 1 . 6 (I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 在区间 [?

π

π π

, ] 上的最大值和最小值. . 6 4

6

(Ⅰ)因为 f ( x) = 4 cos x sin( x + ) ? 1 【试题解析】 试题解析】 6
? 3 ? 1 = 4 cos x ? sin x + cos x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? = 3 sin 2 x + 2 cos 2 x ? 1 = 3 sin 2 x + cos 2 x = 2 sin(2 x + ) 6

π

π

所以f ( x)的最小正周期为π .
(Ⅱ)因为 ?

π
6

≤x≤

π
4

, 所以 ?

π
6

≤ 2x +

π
6



于是,当2 x + 当2 x +

π
6

=

π
2

时, 即x =

π
6

2π , 3

时, f ( x)取得最大值2;

时, f ( x)取得最小值-1. 6 6 6 命题意图】本小题主要考查三角恒等变形,以及正弦 余弦函数的最小正周期和最值的求法. 正弦、 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形,以及正弦、余弦函数的最小正周期和最值的求法.

π

=?

π

时, 即x = ?

π

(16) (本小题共 13 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥ 平面 ABCD , 底面 ABCD 是菱形,AB = 2 ,∠BAD = 60o . (Ⅰ)求证 BD ⊥ 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA = AB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长. 【试题解析】 试题解析】 (Ⅰ)∵ABCD是菱形,∴BD ⊥ AC ,

P

D A B
P

∵PA ⊥ 面ABCD,∴PA ⊥ BD,
又PA ∩ AC = A,∴BD ⊥ 面PAC . (Ⅱ)设AC与BD的交点为O,如图所示, 以OB为x轴,OC为y轴,

C

z
D

AP方向为z轴,建立空间直角坐标系O ? xyz;
A

∵PA = AB = 2, 且?ABC是正三角形,

o x
B

C

y

7

∴ B (1, 0, 0), A(0, ? 3, 0), C (0, 3, 0), P (0, ? 3, 2),

→ → 则PB = (1, 3, ?2), AC = (0, 2 3, 0)

∴ PB与 AC 所成角的余弦值为
(Ⅲ) 设 P A的 长 为 m , 则 P 0 , ?
C P = (0, ? 2 3 , m ) , C B = (1, ?

6 . 4

(

3 , m , C (0,

)

3 , 0 ) , B (1, 0 , 0 ) , D ( ? 1, 0 , 0 ),
3 , 0 ).

3 , 0 ) , C D = ( ? 1, ?

设 面 P B C 的 法 向 量 为 n1 = ( x1 , y 1 , z 1 ), 面 P D C 的 法 向 量 为 n 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 );
? n ? C P = 2 3 y1 + m y1 = 0 ? ? n 1 =( 1 , 由 ? 1 3 y1 = 0 n1 ? C B = x1 ? ? ?
1 3 , 2 ), m

?n ?C P = ?2 3 y2 + m z2 = 0 1 2 ? 由 ? 2 ? n 2 = -1, ( , ), 3 m 3 y2 = 0 ? n2 ?C D = ? x2 ? ? 又 面 P B C ⊥ 面 P D C , 故 n 1 ⊥ n 2, 即 n 1 ? n 2 = - 1 +
1 2 + = 0 ? m = m2 3 6. 6,

所 以 , 当 平 面 P B C 与 平 面 P D C 垂 直 时 , P A的 长 为

命题意图】本题是立体几何的常规题型,考查的是线面垂直、线线夹角, 【命题意图】本题是立体几何的常规题型,考查的是线面垂直、线线夹角,面面垂直的有关推理 论证和计算,突出考查了用向量解决立体几何问题的常规方法和基本能力. 论证和计算,突出考查了用向量解决立体几何问题的常规方法和基本能力 (17) (本小题共 14 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法 确认,在图中以 X 表示.
甲组 乙组

9
1

9
1

0
1

X

8

9

(I)如果 X = 8 ,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (II)如果 X = 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的 布列和数学期望. 1 (注:方差 s 2 = [( x1 ? x)2 + ( x2 ? x) 2 + ??? + ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 , x3 ??? xn 的平均数) 注 n

0

8

【试题解析】( Ⅰ ) 当 X = 8 时 , 平 均 数 为 x = 试题解析】
2 2 2

8 + 8 + 9 + 10 35 = , 4 4
2 2

1 ?? 35 ? ? 35 ? ? 35 ? ? 35 ? 方差为s = ?? 8 ? ? + ? 8 ? ? + ? 9 ? ? + ?10 ? ? 4 ?? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ?

? 11 ?= . ? 16 ?

(Ⅱ )当 X=9时 , 设 甲 中 随 机 选 取 的 同 学 植 树 棵 数 为 ξ, 乙 中 随 机 选 取 的 同 学 植 树 棵 数 为 η, Y = ξ + η , 则
1 ; 2 1 1 η 的 分 布 为 : P (η = 8) = P (η = 10) = , P (η = 9) = ; 4 2 1 1 1 P ( Y = 1 7 ) = P ( ξ = 9 ) ? P (η = 8 ) = × = , 2 4 8 1 1 1 P ( Y = 1 8 ) = P ( ξ = 9 ) ? P (η = 9 ) = × = , 2 2 4

ξ 的 分 布 为 : P (ξ = 9 ) = P (ξ = 1 1) =

P ( Y = 1 9 ) = P ( ξ = 9 ) ? P (η = 1 0 ) + P ( ξ = 1 1) ? P (η = 8 ) = 1 1 1 × = , 2 2 4 1 1 1 P ( Y = 2 1) = P ( ξ = 1 1) ? P (η = 1 0 ) = × = . 2 4 8 P ( Y = 2 0 ) = P ( ξ = 1 1) ? P (η = 9 ) =
∴Y的分布列为

1 1 1 1 1 × + × = , 2 4 2 4 4

Y
P
E (Y ) = 1 7 ×

17
1 8

18
1 4

19
1 4

20
1 4

21
1 8

1 1 1 1 1 + 18 × + 19 × + 20 × + 21× = 19. 8 4 4 4 8 命题意图】本题以茎叶图为线索,考查平均数及方差的简单运算, 【命题意图】本题以茎叶图为线索,考查平均数及方差的简单运算,重点考查的是运用概率知 识,求解随机变量的分布列及数学期望的基础运算能力. (18) (本小题共 13 分)

f ( x) = ( x ? k ) 2 e k (k ≠ 0) .
(I)求 f ( x) 的单调区间; ; (II)若对于任意的 x ∈ (0, +∞) ,都有 f ( x) ≤
2

x

1 ,求 k 的取值范围. e

x x 1 k k 试题解析】 Ⅰ 【试题解析】 ( ) f ′( x) = ( x ? k ) ? e + 2( x ? k )e , k
x 1 k = ( x + k )( x ? k ) e k

.

9

①当k > 0时, f ( x)在(?∞, ?k )和(k , +∞)上单增,在(?k , k )上单减;
①当k > 0时, f ( x )在( ?∞, ? k )和( k , +∞ )上单增,在( ? k , k )上单减;
( Ⅱ ) 若 k > 0, 因 f ( x ) 在 ( 0 , k ) 上 单 减 , 在 ( k , + ∞ ) 上 单 增 ,
x → +∞ 时 , f (x) → +∞ , 所 以 f (x) ≤ 1 不可能恒成立; e

若k < 0时,因f ( x)在(0, ?k )上单增,在(?k , +∞)上单减, 所以f ( x) max = f (? k ) = 4k 2 e ?1 ,

要 使 f (x) ≤

1 1 ? 1 ? 恒 成 立 , 只 需 4 k 2 e ?1 ≤ , 即 k ∈ ? ? , ? , 0 e e 2 ? ?

? 1 ? ∴ k的 取 值 范 围 是 ? ? , ? . 0 ? 2 ? 单调性问题、 【命题意图】本小题主要考查函数、导数等知识,通过运用导数知识解决函数单调性问题、不 命题意图】本小题主要考查函数、导数等知识 通过运用导数知识解决函数单调性问题 等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力. (19) (本小题共 14 分)

x2 已知椭圆 G : + y 2 = 1 ,过点 (m, 0) 作圆 x 2 + y 2 = 1 的切线 l 交椭圆 G 于点 A, B 两点. 4
(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值.
? a2 = 4 ? ? a=2 c 3 ? 试题解析】 【试题解析】 (Ⅰ)由已知得 ? b 2 = 1 ? ? 0),离心率e = = . ? 焦点为( ± 3, 2 a ?c = 3 ? ? 2 2 ?c = a ? b

(Ⅱ )依 题 意 , 切 线 斜 率 不 可 能 为 0, 故 可 设 切 线 方 程 为 ty = x ? m ;

由圆心到切线的距离为1可得,

m 1+ t
2

= 1,即 m 2 = t 2 + 1,

? ty = x ? m ? 解之 ? x 2 ,消去 x 可得:t 2 + 4 ) y 2 + 2tmy + ( m 2 ? 4 ) = 0; ( + y2 = 1 ? ?4
于是, ? = 4t 2 m 2 ? 4 ( t 2 + 4 )( m 2 ? 4 ) = 16t 2 ? 16 m 2 + 64 = 48;
由 弦 长 公 式 可 得 AB = 1+ 1 y1 ? y 2 = k2 1+ t2 ? 48 = t2 + 4 48 ? m m2 + 3 ,

10

由 弦 长 公 式 可 得 AB = 1 +

1 48 y1 ? y 2 = 1 + t 2 ? 2 = 2 k t +4

48 ?

m , m2 + 3

由于点( m,0) 必定不在圆内, m ≥ 1; ∴
∴ AB = 48 3 m + m ≤ 48 = 2, 当 且 仅 当 m = 2 3 3时 等 号 成 立 。

命题意图】本题由椭圆的标准方程求其焦点坐标和离心率是基础性考查, 【命题意图】本题由椭圆的标准方程求其焦点坐标和离心率是基础性考查,突出考查的是考生 灵活运用直线方程、弦长公式、均值不等式等知识 分析问题和解决问题的综合能力. 等知识, 灵活运用直线方程、弦长公式、均值不等式等知识,分析问题和解决问题的综合能力

(20) (本小题共 13 分) 若数列 An :a1 , a2 , a3 ??? an( n ≥ 2 )满足 | ak +1 ? ak |= 1( k = 1, 2,3, ???, n ? 1 ) ,则称 An 为 E 数列.记
S ( An ) = a1 + a2 + a3 + ??? + an .

(I)写出一个满足 a1 = a5 = 0 ,且 S ( A5 ) > 0 的 E 数列 A5 ; (II)若 a1 = 12 , n = 2000 .证明: E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an = 2011 ; (III)对任意给定的整数 n ( n ≥ 2 ) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ( An ) = 0 ?如果存在, 写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由.

【试题解析】 ( ) A 5 : 0 ,1, 2 ,1, 0 或 0, 1 , 0 , 1 , 0 均 满 足 要 求 . 试题解析】 Ⅰ

.

(Ⅱ) 必要性:若 {an } 是递增,则 ak +1 ? ak

= a k +1 ? ak = 1,1 ≤ k ≤ n ? 1;

a k +1 ? a k 于 是 {a n } 是 以12 为 首 项 , 公 差 的 等 差 数 列 , 1为

∴ a 2000 = 12 + 1999 = 2011.

充分性: 若 a 2000 = 2 011, 则 a 2000 ? a1 = 1999;

而 a 2 ? a1 ≤ a 2 ? a1 = 1,

a3 ? a2 ≤ a3 ? a2 = 1,

……………………
a2000 ? a1999 ≤ a2000 ? a1999 = 1.

将上列各式两边相加得:a2000 ? a1 ≤ 1999,
11

等号成立说明上面各式的所有等号都要成立,
故 a 2 ? a1 = a 3 ? a 2 = … … a 20 0 0 ? a1 99 9 = 1,
于是

{a n } 为 公 差 为 1的 等 差 数 列 且 递 增 .
+ c c c
1 1

( Ⅲ ) 令ck = ak +1 ? ak (k = 1, 2, 3,…, n ? 1), 则ck = ±1.
∵ a a … a
n 3 4

a =

2

= a a a
1 1

a + +

1

c + + +

1

c c … c

2 2

= … =

+ …

c

3


1

… +


1

… c
n ? 1

2

+ ? ? ? +

∴S ( An ) = na1 + (n ? 1)c1 + ( n ? 2)c2 + (n ? 3)c3 + ??? + cn ?1 = (n ? 1)c1 + (n ? 2)c2 + (n ? 3)c3 + ??? + cn ?1 = (n ? 1) + (n ? 2) + (n ? 3) + ??? + 1 ? ?(1 ? c1 )( n ? 1) + (1 ? c2 )( n ? 2 ) + ??? + (1 ? cn ?1 ) ? ? ? = n ( n ? 1) ? ?(1 ? c1 )( n ? 1) + (1 ? c2 )( n ? 2 ) + ??? + (1 ? cn ?1 ) ? ? ? 2
, n ? 1)

∴ (1 ? c k ) 为 偶 数 , ( k = 1, 2, 3,

∵ c k = ± 1,

∴ (1 ? c1 )( n ? 1 ) + (1 ? c 2 )( n ? 2 ) + ? ? ? + (1 ? c n ?1 ) 为 偶 数 , ∴ 要 使 S ( An ) = 0, 必 须 使 为偶数, 2 即 4 整 除 n ( n ? 1 ), 亦 即 n = 4 m 或 n = 4 m + 1( n ∈ N ? ); n ( n ? 1)

∴要使 S ( An ) = 0,必须使

为偶数, 2 即4整除 n ( n ? 1),亦即 n = 4 m或 n = 4m + 1( n ∈ N ? ); 当 n = 4m或 n = 4 m + 1( n ∈ N ? )时, An:1, ? 1,1, ? 1, 0,0, 0,0, 0…就是一个满足条件 a1 = 0, S ( An ) = 0的 E 数列,
当 n = 4 m + 2 或 n = 4 m + 3( n ∈ N ? )时 , n ( n ? 1 ) 不 能 被 4 整 除 , 此 时 不 存 在 E 数 列 An, 使 a1 = 0, S ( An ) = 0.

n ( n ? 1)

【命题意图】与数列结合的拔高题,考查的是综合创新解题能力,是选拔优秀人才 命题意图】与数列结合的拔高题,考查的是综合创新解题能力, 的标志性考题. 的标志性考题
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