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【步步高】(全国通用)版高考数学 考前三个月复习冲刺 中档大题规范练1 三角函数 理

【步步高】 (全国通用)2016 版高考数学复习 考前三个月 中档大题 规范练 1 三角函数 理 ? π? 中档大题规范练 1.设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2? ? (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的值域. π π α 1 5 2.已知 0<α < , <β <π 且 tan = ,sin(α +β )= . 2 2 2 2 13 (1)分别求 cos α 与 cos β 的值; (2)求 tan α -β 的值. 2 1 ? π? 3.(2015·潍坊模拟)已知函数 f(x)=4cos xsin?x+ ?+a 的最大值为 2. 6? ? (1)求实数 a 的值及 f(x)的最小正周期; (2)在坐标纸上作出 f(x)在[0,π ]上的图象. 1 1 ?π ? ?π ? 4.(2015·苏州二模)已知函数 f(x)=cos? +x?· cos? -x?,g(x)= sin 2x- . 2 4 ?3 ? ?3 ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合. 2 5.(2015·盐城二模)如图所示,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟 在两条公路之间的区域内建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M,N(异于村庄 A), 要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工 厂与村庄的距离最远)? ? π? ? 4π ? 6.设 f(x)=sin x+sin?x+ ?-cos?x+ ?,x∈[0,2π ]. 6? 3 ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调区间; (2)在锐角△ABC 中,若 f(A)= 2,a=2,b= 6,求∠C 及边 c. 3 答案精析 中档大题规范练 中档大题规范练 1 1.解 (1)由于|a|= |b|= 3sin x 2 + x 2 =2|sin x|, x 2 + x 2 =1, 而|a|=|b|,则有 2|sin x|=1, 1 π ? π? 又 x∈?0, ?,则有 sin x= ,所以 x= . 2 2 6 ? ? (2)由于 f(x)=a·b= 3sin xcos x+sin x = 3 1 1 sin 2x- cos 2x+ 2 2 2 2 π? 1 ? =sin?2x- ?+ , 6? 2 ? π ? π 5π ? ? π? 又 x∈?0, ?,则有 2x- ∈?- , ?, 2? 6 ? 6 ? 6 ? π? π π π 3 ? 所以当 2x- = ,即 x= 时,sin?2x- ?取得最大值 1,此时 f(x)取得最大值 ;当 6? 6 2 3 2 ? π? π π 1 ? 2x- =- ,即 x=0 时,sin?2x- ?取得最小值- ,此时 f(x)取得最小值 0. 6? 6 6 2 ? ? 3? 故 f(x)的值域为?0, ?. ? 2? 2.解 (1)cos α =cos 2α 2α cos -sin 2 2 = 2α 2α cos +sin 2 2 2α 1-tan 2 3 = = , 5 2α 1+tan 2 2 α 2α -sin 2 2 π 4 ∵0<α < ,∴sin α = . 2 5 ∵α +β ∈? ?π ,3π ?,sin(α +β )= 5 , 2 ? 13 ?2 ? 12 ∴cos(α +β )=- . 13 4 ∴cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α 16 ? 12? 3 5 4 =?- ?· + · =- . 65 ? 13? 5 13 5 (2)∵2cos ∴cos 2 β 16 β ?π π ? -1=cos β =- 且 ∈? , ?, 2 65 2 ? 4 2 ? β 7 = , 2 130 β 9 = . 2 130 β 9 = . 2 7 tan ∴sin ∴tan α β -tan 2 2 α -β 11 ∴tan = =- . 2 α β 23 1+tan tan 2 2 ? 3.解 (1)f(x)=4cos x?sin xcos ? = 3sin 2x+cos 2x+1+a π? ? =2sin?2x+ ?+a+1, 6? ? π π +cos xsin ? ?+a 6 6? 2π 最大值为 3+a=2,∴a=-1.T= =π . 2 (2)列表如下: π 2x+ 6 π 6 0 1 π 2 π 6 2 π 5π 12 0 3π 2 2π 3 -2 2π 11π 12 0 13π 6 π 1 x f(x) 画图如下: 4.解 (1)f(x)=cos? ?π +x?cos?π -x? ? ?3 ? ?3 ? ? ? 5 3 3 ?1 ? ?1 ? =? cos x- sin x?? cos x+ sin x? 2 2 ?2 ? ?2 ? 1 3 2 2 = cos x- sin x 4 4 1+cos 2x 3-3cos 2x 1 1 = - = cos 2x- , 8 8 2 4 2π ∴f(x)的最小正周期为 =π . 2 1 1 (2)h(x)=f(x)-g(x)= cos 2x- sin 2x 2 2 = π? 2 ? cos?2x+ ?, 4? 2 ? π 2 当 2x+ =2kπ (k∈Z)时,h(x)取得最大值 . 4 2 h(x)取得最大值时,对应的 x 的集合为{x|x=kπ - ,k∈Z}. 5.解 设∠AMN=θ , 在△AMN 中, = sin 60° π 8 MN AM -θ . 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin

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