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2015高考真题汇编文科数学-数列(试题和答案)


专题六 数列
等差数列定义、通项公式及前 n 项和公式、求和方法(分组求和) 1.【2015 高考新课标 1,文 7】已知

{an } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4 S 4 ,则

a10 ? ()
17 19 (A) 2 (B) 2 (C) 10 (D) 12
1 an ? an ?1 ? { a } {a } 2 (n ? 2) 7.【2015 高考安徽,文 13】已知数列 n 中, a1 ? 1 , ,则数列 n 的前 9 项和
等于. 8.【2015 高考福建,文 17】等差数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 .

?an ? 的通项公式;

bn ? 2an ? 2 ? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

等差数列的性质. 2.【2015 高考陕西,文 13】中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为 ________ 等比数列定义与前 n 项和公式 6.【2015 高考新课标 1, 文 13】 数列 等比中项 3.【2015 高考广东,文 13】若三个正数 a ,b ,c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 ,c ? 5 ? 2 6 ,则 b ? . 等差中项和等比中项 4. 【2015 高考福建, 文 16】 若 a, b 是函数

?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, S ? 126 , 若 n 则n ?.

f ? x ? ? x 2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0 ?

的两个不同的零点, 且 a, b, ?2

这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于________. 5. 【2015 高考浙江, 文 10】 已知 则

a a a 2a ? a2 ? 1 ?an ? 是等差数列, 公差 d 不为零. 若 2 , 3 , 7 成等比数列, 且 1 ,

a1 ? , d ? .

等差数列、等比数列的通项公式 9.【2015 高考北京,文 16】 (本小题满分 13 分)已知等差数列

?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 .

(I)求

?an ? 的通项公式; ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?
3

(II)设等比数列

a2 ? ?a ? S n ? ?? . a ? 1, 2, 11. 【2015 高考广东, 文 19( 】本小题满分 14 分) 设数列 n 的前 n 项和为 n , 已知 1 a3 ? 5 4 ,且当 n ? 2 时, 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 .

(1)求

a4 的值;

1 ? ? ?an ?1 ? an ? 2 ? 为等比数列; (2)证明: ?
(3)求数列

?an ? 的通项公式.

等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和等基础知识 17.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且 a1,a2+1,a3 成等差数列.

1 { } a (Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列 n 的前 n 项和为 T ,求 T .
n n

?a ? a S 20.【2015 高考重庆,文 16】已知等差数列 n 满足 3 =2,前 3 项和 3 = 2 .
(Ⅰ)求

9

?an ? 的通项公式, ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn .

(Ⅱ)设等比数列

等比数列的通项公式、性质,等比数列的前 n 项和,以及利用求和(裂项相消法) 10.【2015 高考安徽,文 18】已知数列 (Ⅰ)求数列

?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8.

?an ? 的通项公式; ?an ? 的前 n 项和,
bn ? an ?1 Sn Sn ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

(Ⅱ)设

Sn

为数列

等差、等比数列与求和方法(错位相减法) 12.【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的公比为 q.已

知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记
cn ? an bn

,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

? 1 ? n ? ? an ? a ? a ? n ?1 ? 的前 n 项和为 2n ? 1 . 15. 【2015 高考山东, 文 19】 已知数列 是首项为正数的等差数列, 数列 ? n
(I)求数列 (II)设

?an ? 的通项公式;
,求数列

bn ? ? an ? 1? ? 2an

?bn ? 的前 n 项和 Tn . {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,

18.【2015 高考天津,文 18】 (本小题满分 13 分)已知 且

a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 .

(I)求

{an } 和 {bn } 的通项公式;
cn = anbn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

(II)设

19. 【2015 高考浙江, 文 17】 (本题满分 15 分) 已知数列

{an } 和 {bn } 满足,a1 ? 2, b1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N* ),

1 1 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) 2 3 n .
(1)求

an 与 bn ;

(2)记数列

{anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

综合问题之“奇偶项” 13.【2015 高考湖南,文 19】 (本小题满分 13 分)设数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且

an ?1 ? 3Sn ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) ,
(I)证明: (II)求

an ? 2 ? 3an ;

Sn 。
2

数列与函数的综合(难题)

x 14。 【2015 高考湖南,文 21】 (本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? ae cos x( x ? [0, ??) ,记 n 为 f ( x) 的从

小到大的第 n(n ? N ) 个极值点。
*

(I)证明:数列 (II)若对一切

{ f ( xn )} 是等比数列;
恒成立,求 a 的取值范围。

n ? N * , xn ? f ( x n )

16.【2015 高考陕西,文 21】设 (I)求

f n ( x ) ? x ? x 2 ? ? ? x n ? 1, n ? N , n ? 2.

f n?(2) ;
n

1 1?2? ? 2? 0 ? an ? ? ? ? 0, ? ? f ( x ) 在 ? 3 ? 内有且仅有一个零点(记为 an ) 2 3? 3? . (II)证明: n ,且

21.【2015 高考上海,文 23】(本题满分 16 分)本题共 3 小题.第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 已知数列 (1)若 (2)设 (3)设

{an } 与 {bn } 满足 an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) , n ? N ? .
的通项公式;

bn ? 3n ? 5 ,且 a1 ? 1 ,求数列
的第

? n0 项是最大项,即 an0 ? an (n ? N ) ,求证:数列 {bn } 的第 n0 项是最大项;

a1 ? 3? ? 0 , bn ? ?n

,求 ? 的取值范围,使得对任意 m , n ? N ,
?

an ? 0 ,且

am 1 ? ( , 6) an 6 .

答案

1 1 1 8a1 ? ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) S ? 4 S a 4 ,∴ 2 2 1.【答案】B【解析】∵公差 d ? 1 , 8 ,解得 1 = 2 ,∴ a10 ? a1 ? 9d ? 1 19 ?9 ? 2 2 ,故选 B.

【考点定位】等差数列通项公式及前 n 项和公式 【小结】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前 n 项和公式,利用方程思想和 公式列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,利用等差数列性质可以简化计算.

a ? 1010 , a2 n ?1 ? 2015 , a ? a2 n ?1 ? 2an ?1 , a ?5; 2. 【答案】 5 【解析】 若这组数有 2n ? 1 个, 则 n ?1 又 1 所以 1
若这组数有 2n 个,则 答案为 5 【考点定位】等差数列的性质. 【小结】1.本题考查等差数列的性质,这组数字有可能是偶数个,也有可能是奇数个.然后利用等差数列性 质

an ? an ?1 ? 1010 ? 2 ? 2020 , a2 n ? 2015 ,又 a1 ? a2 n ? an ? an ?1 ,所以 a1 ? 5 ;故

m ? n ? p ? q ? am ? a n ? a p ? a q

.2.本题属于基础题,注意运算的准确性.

3.【答案】1 【解析】因为三个正数 a , b , c 成等比数列,所以
为 b ? 0 ,所以 b ? 1 ,所以答案应填: 1 . 【考点定位】等比中项.

b 2 ? ac ? 5 ? 2 6 5 ? 2 6 ? 1

?

??

?

,因

【小结】本题主要考查的是等比中项,属于容易题.解题时要抓住关键字眼“正数” ,否则很容易出现错 误.解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念,即若 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中 项,即 G ? ab .
2

4.【答案】9【解析】由韦达定理得 a ? b ? p , a ? b ? q ,则 a ? 0, b ? 0 ,当 a, b, ?2 适当排序后成等比
数列时, ?2 必为等比中项,故 a ? b ? q ? 4 ,

b?

4 a .当适当排序后成等差数列时, ?2 必不是等差中项,

当 a 是等差中项时,

2a ?

4 4 8 ?2 ? a?2 a , 解得 a ? 1 ,b ? 4 ; 当 a 是等差中项时,a , 解得 a ? 4 ,b ? 1 ,

综上所述, a ? b ? p ? 5 ,所以 p ? q ? 9 . 【考点定位】等差中项和等比中项. 【小结】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项,其中分类讨论和逻辑推理是解题核心.三个数成等

差数列或等比数列,项与项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是唯一的,故可以利用中项进行讨 论,属于难题.

2 , ?1 (a ? 2d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 6d ) , 3a ? 2d ? 0 , 2a ? a2 ? 1 , 3 【解析】 5. 【答案】 由题可得, 1 故有 1 又因为 1 2 d ? ?1, a1 ? 3 a ? d ? 1 3. 即 1 ,所以
【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式;2.等比中项. 【小结】 本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质, 建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题,主要考查学生正确运算的能力.

a 6.【答案】6【解析】∵ a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,∴数列 ? n ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
2(1 ? 2n ) Sn ? ? 126 n 1? 2 ∴ ,∴ 2 ? 64 ,∴n=6.
考点:等比数列定义与前 n 项和公式 【小结】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前 n 项和公式,利用方程思想和 公式列出关于首项与公比的方程,解出首项与公比,利用等比数列性质可以简化计算.

1 1 an ? an ?1 ? , 且a2 ? a1 ? 2 2 7.【答案】27【解析】∵ n ? 2 时,

?a ?是以a1 为首项, 2 为公差的等差数列 ∴ n


1

S9 ? 9 ? 1 ?

9?8 1 ? ? 9 ? 18 ? 27 2 2

【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前 n 项和公式的应用. 【小结】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键,这需要考生平时多加积累, 同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用,考查了考生的基本运算能力.

a ? n?2 8.【答案】 (Ⅰ) n ; (Ⅱ) 2101 .
? ?a1 ? d ? 4 ? ?a ? ?? a ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15 , 【解析】 (I)设等差数列 n 的公差为 d .由已知得 ? 1

?a1 ? 3 ? a ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 2 d ?1 解得 ? .所以 n .
(II)由(I)可得

bn ? 2n ? n .

所以

b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 1? ? ? 22 ? 2 ? ? ? 23 ? 3? ? ??? ? ? 210 ? 10 ?

? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 210 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 ? ?
? ? 211 ? 2 ? ? 55 ? 211 ? 53 ? 2101


2 ?1 ? 210 ? 1? 2

?

?1 ? 10 ? ?10
2

【考点定位】1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 【小结】确定等差数列的基本量是

a1 , d .所以确定等差数列需要两个独立条件,求数列前 n 项和常用的方

法有四种: (1)裂项相消法(通过将通项公式裂成两项的差或和,在前 n 项相加的过程中相互抵消) ; (2)错位相减法(适合于等差数列乘以等比数列型) ; (3)分组求和法(根据数列通项公式的特点,将其分 解为等差数列求和以及等比数列求和); (4)奇偶项分析法(适合于整个数列特征不明显,但是奇数项之间 以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征) .

?a ? a ? 2n ? 2 ; b 9.【答案】 (I) n (II) 6 与数列 n 的第 63 项相等.
【解析】试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决 问题的能力、转化能力、计算能力.(I)利用等差数列的通项公式,将 程得到

a1 , a2 , a3 , a4 转化成 a1 和 d ,解方

a1 和 d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可; b b (II)先利用第一问的结论得到 2 和 3 的值,再 b2 和 b3 转化为 b1 和 q ,解出 b1 和 q 的值,得到 b6 的值,再代入到上一问等

利用等比数列的通项公式,将

差数列的通项公式中,解出 n 的值,即项数. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 又因为

?an ? 的公差为 d .因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 .

a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 .所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 (n ? 1, 2, ?) .

(Ⅱ)设等比数列 所以

?bn ? 的公比为 q .因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 ,所以 q ? 2 , b1 ? 4 .

b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 .由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 .所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等.

考点:等差数列、等比数列的通项公式. 【小结】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式,属于中档题.本题通过求等差数 列和等比数列的基本量,利用通项公式求解.解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列 的通项公式,即等差数列的通项公式:

an ? a1 ? ? n ? 1? d

,等比数列的通项公式:

an ? a1q n ?1 .

a ?2 10.【答案】 (Ⅰ) n

n ?1

2n ?1 ? 2 n ?1 (Ⅱ) 2 ? 1

?a1 ? 1 ?a1 ? 8 ? ? a4 ? 8 ? a 4 ? 1 a ? a ? a ? a ? 8 a ? a ? 9 ? 1 4 2 3 1 4 【解析】 (Ⅰ)由题设可知 ,又 ,可解的 或 (舍去)
3 a ? a1 q 由 a 4 ? a1 q 得公比 q ? 2 ,故 n
n ?1

? 2 n ?1 .

a S ? Sn 1 1 a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n bn ? n ?1 ? n ?1 ? ? Sn ? ? ? 2n ? 1 S n S n ?1 S n S n ?1 S n S n ?1 1? q 1? 2 (Ⅱ) ,又

? 1 ?1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ? ?S ? S ? ??? ?S ? S ? ? ? ... ? ? ?S ? S ? ? ? S ? S ? 1 ? n ?1 2 ? 3 ? n ?1 ? 1 n ?1 ? 1 ? 2 ? n 2 ?1 . 所以
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、 性质,等比数列的前 n 项和,以及利用裂项相消法求和.

a a ? a p aq 【小结】本题利用“若 m ? n ? p ? q ,则 m n ”,是解决本题的关键,同时考生发现

bn ?

an ?1 S ? Sn 1 1 ? n ?1 ? ? S n S n ?1 S n S n ?1 S n S n ?1 是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.
n ?1

?1? 7 an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? 11.【答案】 (1) 8 ; (2)证明见解析; (3)
【解析】试题分析: ( 1 )令 n ? 2 可得



a4 的值; 4 S ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 ( n ? 2 )转化为 ( 2 )先将 n ? 2

1 ? ? an ?1 ? an ? ? 4an ? 2 ? an ? 4an ?1 ,再利用等比数列的定义可证 ? 2 ? 是等比数列; ( 3 )先由( 2 )可得数列

? ? ? ? ? an ? ? n ? 1 ? 1 ? ?1? ? ? ? ? ?an ?1 ? an ? ?an ?1 ? an ? ? ? 2 ? 的通项公式,再将数列 ? 2 ? 的通项公式转化为数列 ? ? ?? 2 ? ? ? 是等差数列,进而可
得数列

?an ? 的通项公式.

? 3 5 ? ? 3? ? 3 5? 4 ?1 ? ? ? a4 ? ? 5 ?1 ? ? ? 8 ?1 ? ? ? ? 1 4 S ? 5S 2 ? 8S3 ? S1 ,即 ? 2 4 ? ? 2? ? 2 4? , 试题解析: (1)当 n ? 2 时, 4

解得:

a4 ?

7 8

(2)因为

4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 ( n ? 2 ) 4 S ? 4 S n ?1 ? S n ? S n ?1 ? 4S n ?1 ? 4S n ( n ? 2 ) ,所以 n ? 2 ,即

5 4a3 ? a1 ? 4 ? ? 1 ? 6 ? 4a2 4an ? 2 ? an ? 4an ?1 ( n ? 2 ) 4an ? 2 ? an ? 4an ?1 , 因 为 4 ,因为 ,所以

1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2a 4a ? a ? 2an ?1 2an ?1 ? an 1 n ?1 2 ? n?2 ? n ?1 n ? ? 1 4an ?1 ? 2an 4an ?1 ? 2an 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an 2 ,所以数列
1 1 a2 ? a1 ? 1 2 为首项,公比为 2 的等比数列

1 ? ? ?an ?1 ? an ? 2 ? 是以 ?

1 ? ? 1 1 a2 ? a1 ? 1 ?an ?1 ? an ? 2 ? 是以 2 (3)由(2)知:数列 ? 为首项,公比为 2 的等比数列,所以

1 ?1? an ?1 ? an ? ? ? 2 ?2?

n ?1

an ?1 ?1? ? ? 即 ?2? an ?1? ? ? ?2?
n

n ?1

? ? ? ? ? an ? an a1 ? ?4 ? n ? n ?2 1 ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ?? 2 ? ? ?2? , 所 以 数 列 ?? ? ? 是 以 2 为首项,公差为 4 的等差数列,所以
?1? ?1? an ? ? 4n ? 2 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? ?2? ,即
n n ?1

? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2

,所以数列

?an ? 的通项公式

?1? an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? 是

n ?1

考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式. 【小结】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式,属于难题. 本题通过将

S n 的递推关系式转化为 an 的递推关系式, 利用等比数列的定义进行证明, 进而可得通项公式,

根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解.解题时一定要注意关键条件“ n ? 2 ” ,否则很容易出现错 误.解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式,即等比数

an ?1 ?q a ? a1 ? ? n ? 1? d a ? a1q n ?1 a n 列的定义: (常数) , 等比数列的通项公式: n , 等差数列的通项公式: n .
1 ? an ? (2n ? 79), ? ? 9 ? ?an ? 2n ? 1, ? 2n ? 3 ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . ? n ?1 Tn ? 6 ? n ?1 n b ? 2 . ? ? 9 2 12.【答案】 (Ⅰ) ? n 或? ; (Ⅱ) .

【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和,属中档题. 【小结】这是一道简单综合试题,其解题思路:第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行 求解,第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主,以教材为蓝本,注重计算能 力培养的基本方向.
n?2 ?3 2 (5 ? 3 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 Sn ? ? n ? 3 (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2 13.【答案】 (I)略;(II)
* a ? 3S n ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) , an ?1 ? 3Sn ?1 【 解析 】试 题分 析 : ( I ) 当 n ? N , n ? 2 时 ,由 题可 得 n ? 2

? S n ? 3, (n ? N * ) ,两式子相减可得 an ? 2 ? an ?1 ? 3an ? an ?1 ,即 an ? 2 ? 3an , (n ? 2) ,然后验证当 n=1 时,
命题成立即可; (II)通过求解数列

{an } 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前 n 项和的通项公式.
*

试题解析: (I)由条件,对任意 n ? N ,有

an ? 2 ? 3S n ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) ,

* a ? 3Sn ?1 ? S n ? 3, (n ? N * ) , 因而对任意 n ? N , n ? 2 ,有 n ?1

两式相减,得 又

an ? 2 ? an ?1 ? 3an ? an ?1 ,即 an ? 2 ? 3an , (n ? 2) ,

a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 a3 ? 3S1 ? S 2 ? 3 ? 3a1 ? (a1 ? a2 ) ? 3 ? 3a1 ,
*

故对一切 n ? N ,

an ? 2 ? 3an 。

an ? 2 ?3 a ? 0 ,所以 an {a } a ? 1 ,公比为 3 的等比数列,数列 {a2 n } (II) 由(I) 知, n ,于是数列 2 n ?1 是首项 1
是首项 于是

a1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,所以 a2 n ?1 ? 3n ?1 , a2 n ? 2 ? 3n ?1 ,

S 2 n ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 n )
3(3n ? 1) 2

? (1 ? 3 ? ? 3n ?1 ) ? 2(1 ? 3 ? ? 3n ?1 ) ? 3(1 ? 3 ? ? 3n ?1 ) ?

从而

S 2 n ?1 ? S 2 n ? a2 n ?

3(3n ? 1) 3 ? 2 ? 3n ?1 ? (5 ? 3n ? 2 ? 1) 2 2 ,

n?2 ?3 (5 ? 3 2 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 Sn ? ? n ? 3 (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2 综上所述, 。

【考点定位】数列递推关系、数列求和 【小结】已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步: (1)先利用 a1=S1 求出 a1;(2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出 当 n≥2 时 an 的表达式;(3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的表达式,如果符合,则可 以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写.数列求和的常用方法有倒序相 加法,错位相减法,裂项相消法,分组求和法,并项求和法等,可根据通项特点进行选用.

14.【答案】 (I)略;(II)

[

2? ? ? e 2 , ??) 4

f ?( x) ? 2ae x cos( x ? ) 4 ,令 f ?( x) ? 0 ,求出函数的极值点,根据等比数 【解析】试题分析: (I)由题

?

2 e 4 ? et 3? a g (t ) ? (t ? 0) n? ? 4 恒成立问题,设 t 列定义即可得到结果;(II)由题意问题等价于 ,然后运用

n? ?

3?

? 5? ? 4 ? 2 4 ? [ g ( xn )]min ? min[ g ( x1 ), g ( x2 )] ? min[ g ( ), g ( )] ? g ( ) ? e 2 ? e2 4 4 4 ? a ? ,求 导数知识得到 ,所以
2? ? ? a? e 2 4 得 ,得到 a 的取值范围;
f ?( x) ? ae x cos x ? ae x sin x ? 2ae x cos( x ? ) 4 试题解析: (I)

?

? 令 f ( x) ? 0 ,由 x ? 0 ,得

x?

?
4

? m? ?

?
2 ,即

x ? m? ?

3? ,m? N* 4 ,

cos( x ? ) 4 ,当 k ? Z 时, 而对于 2 k? ?


?

?
2

? x?

?
4

? 2 k? ?

?
2 ,即

2 k? ?

3? ? ? ? x ? 2 k? ? cos( x ? ) ? 0 4 4 ,则 4 ;

2 k? ?


?
2

? x?

?
4

? 2 k? ?

3? ? 5? ? 2 k? ? ? x ? 2 k? ? cos( x ? ) ? 0 2 ,即 4 4 ,则 4 ; 3? 3? ? ) (m? ? , m? ? ) 4 与 4 4 上 , f ?( x) 的 符 号 总 相 反 , 于 是 当

((m ? 1)? , m? ?
因此,在区间

x ? m? ?

3? 3? ,m? N* xn ? n? ? ,n? N* f ( x ) 4 4 时, 取得极值,所以 ,此时,
n? ? 3? 4

f ( xn ) ? ae

? 3? 2 n? ? 34 n ?1 cos(n? ? ) ? (?1) ae f ( xn ) ? 0 ,而 4 2 ,易知

? 2 ( n ?1)? ? 34 ae f ( xn ?1 ) 2 ? ? ?e? 3? f ( xn ) 2 n? ? 4 (?1) n ?1 ae 2 是常数,

(?1) n ? 2

2 ? f ( x1 ) ? ae 4 ? { f ( x )} n 2 故数列 是首项为 ,公比为 ?e 的等比数列。

(II)对一切

n ? N , xn ? f ( x n )
*
n? ? 3?

n? ?
恒成立,即

? 3? 2 n? ? 34 ? ae 4 2 恒成立,亦即

2 e 4 ? 3? a n? ? 4 恒成立,
et et (t ? 1) g (t ) ? (t ? 0) g ?(t ) ? t t 2 ,令 g ?(t ) ? 0 得 t ? 1 , 设 ,则
? 当 0 ? t ? 1 时, g (t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减; ? 当 t ? 1 时, g (t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在区间 (1, ??) 上单调递增;
因为

xn ? (0,1) ,且当 n ? 2 时, xn ? (1, ??), xn ? xn ?1 , 所以

[ g ( xn )]min

5? ? 4 ? ? min[ g ( x1 ), g ( x2 )] ? min[ g ( ), g ( )] ? g ( ) ? e 2 4 4 4 ?

?

2 4 ? 2? ? ? 2 ? e a ? e 2 n ? N , xn ? f ( x n ) a ? 4 因此, 恒成立,当且仅当 ,解得 ,
*

2? ? ? [ e 2 , ??) a 4 故实数 的取值范围是 。
【考点定位】恒成立问题;等比数列的性质 【小结】解决数列与函数的综合问题时,如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向,如果是不 等式恒成立问题,要使用不等式恒成立的各种不同解法,如变量分离法、最值法、因式分解法等,总之解 决这类问题把数列看做特殊函数,并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.

4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 . a ? 2n ? 1. (II) Tn ? 9 15.【答案】 (I) n
【解析】 (I)设数列

?an ? 的公差为 d ,

1 1 ? aa 3 ,所以 a1a2 ? 3 . 令 n ? 1, 得 1 2 1 1 2 ? ? a a a2 a3 5 ,所以 a2 a3 ? 15 . 令 n ? 2, 得 1 2
解得

a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1.
bn ? 2n ? 22 n ? 4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4n ,

(II)由(I)知 所以

4Tn ? 1 ? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? ( n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1 , ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4n ? n ? 4n ?1

两式相减,得

?

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n ?1 4 ? n ? 4n ?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3

3n ? 1 n ?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 Tn ? ?4 ? ? . 9 9 9 所以
【考点定位】1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、“错位相减法”. 【小结】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、 “错位相减法”等,解答本题的关键,首先 是注意运用从一般到特殊的处理方法,准确确定等差数列的通项公式;其次就是能对所得数学式子准确地 变形,本题易错点在于错位相减后求和时,弄错数列的项数,或忘记从

?3Tn 化简到 Tn .

本题是一道能力题,属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时,考查考生的计算能力.本 题是教科书及教辅材料常见题型,能使考生心理更稳定,利于正常发挥.
n 16.【答案】(I) f n?(2) ? (n ? 1)2 ? 1 ;(II)证明略,详见解析.

试题解析:(I)由题设 所以 由

f n?( x ) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx n ?1 ,

f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? n 2 n ?1 ①

2 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n 2 n ② ? f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n 2 n

① ? ②得

?

1 ? 22 ? n ? 2n ? (1 ? n )2 n ? 1 1? 2 ,
f n?(2) ? ( n ? 1)2 n ? 1

所以

(II)因为 f (0) ? ?1 ? 0

2? ?2? ?1 ? ? ? 3? ? 3? 2 fn ( ) ? ? 2 3 1? 3

n

? ? n 2 ? ? ?1 ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? 3? ? 3?


2 (0, ) f ( x ) 3 内至少存在一个零点, 所以 n 在


f n?( x ) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx n ?1 ? 0

2 (0, ) f ( x ) 3 内单调递增, 所以 n 在 2 (0, ) f ( x ) 3 内有且只有一个零点 an , 因此, n 在

1 ? xn fn ( x) ? ?1 1? x 由于 ,
0 ? f n ( an ) ?
所以

1 ? an n ?1 1 ? an

由此可得

an ?

1 1 n ?1 1 ? an ? 2 2 2

1 2 ? an ? 3 故2

0 ? an ?
所以

1 1 n ?1 1 ? 2 ? ? an ? ? ? ? 2 2 2 ? 3?

n ?1

1 ?2? ? ?? ? 3 ? 3?

n

【考点定位】1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列. 【小结】 (1)在函数出现多项求和形式,可以类比数列求和的方法进行求和; (2)证明零点的唯一可以从 两点出发:先使用零点存在性定理证明零点的存在性,再利用函数的单调性证明零点的唯一性; ( 2) 有关函数中的不等式证明,一般是先构造函数,再求出函数在定义域范围内的值域即可; (4)本题属 于中档题,要求有较高逻辑思维能力和计算能力.

17.【解析】(Ⅰ)

由已知 Sn=2an-a1,有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)

即 an=2an-1(n≥2),从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1,又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列 即 a1+a3=2(a2+1),所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列。故 an=2n.

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 2 ? 1? 1 ? 2 ? ...... ? n ? 1 1 1 2 2 2 2n ? n 1? a 2 所以 T = 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 n n
【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和等基础知识,考查运算 求解能力. 【小结】数列问题放在解答题第一题,通常就考查基本概念和基本运算,对于已知条件是 Sn 与 an 关系式 的问题,基本处理方法是“变更序号作差” ,这种方法中一定要注意首项 a1 是否满足一般规律(代入检验即

可,或者根据变换过程中 n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时,一定要注意首项、公比和项 数都不能出错.同时注意,对于较为简单的试题,解析步骤一定要详细具体,不可随意跳步.属于简单题.
n a ? 2n ?1 , n ? N? , bn ? 2n ? 1, n ? N? ;(II) S n ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 18.【答案】 (I) n

【解析】 (I)列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项;(II)用错位相减法求和.

?2q 2 ? 3d ? 2, ? 4 {a } {b } q ? 3d ? 10, 消去 d 得 试题解析 :( I)设 n 的公比为 q, n 的公差为 d, 由题意 q ? 0 , 由已知 , 有 ?
n ?1 ? q 4 ? 2q 2 ? 8 ? 0, 解 得 q ? 2, d ? 2 , 所 以 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 2 , n ? N ,

{bn } 的 通 项 公 式 为

bn ? 2n ? 1, n ? N? .
(II)由(I)有

cn ? ? 2n ? 1? 2n ?1

,设

{cn } 的前 n 项和为 Sn

,则

S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 , 2 S n ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ,
两式相减得 所以

? S n ? 1 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ? ? 2n ? 3? ? 2 n ? 3,
.

S n ? ? 2n ? 3 ? 2 n ? 3

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力. 【小结】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类 问题,运算失误较多,应引起考生重视.
n n ?1 * 19.【答案】(1) an ? 2 ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ? 1)2 ? 2(n ? N )

【解析】(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的数列的通 项公式,利用错位相减法进行数列求和。试题解析:(1)由 当 n ? 1 时,

a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,得 an ? 2n .

b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2 .

bn ?1 n ? 1 1 ? bn ? bn ?1 ? bn b n ,所以 bn ? n . n ? 2 n n 当 时, ,整理得
(2)由(1)知,

anbn ? n ? 2n

。所以

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1
所以

Tn ? 2Tn ? ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n)2n ?1 ? 2

。所以

Tn ? (n ? 1)2n ?1 ? 2

.

【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和.

【小结】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列 的性质和特点, 以此得到数列的通项公式, 利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题, 主要考查学生基本的运算能力.

20.【答案】 (Ⅰ)

an =

n +1 T = 2n - 1 . 2 , (Ⅱ) n

【解析】试题分析: (Ⅰ)由已知及等差数列的通项公式和前 n 项和公式可得关于数列的首项 a1 和公式 d 的二元一次方程组,解此方程组可求得首项及公差的值,从而可写出此数列的通项公式, (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可求出 b1 和 b4 的值,进而就可求出等比数列的公比,再由等比数列的前 n 项和公

Tn =


b1 (1 - q n ) 1 - q 即可求得数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn .
3? 2 9 d= , 2 2

a1 + 2d = 2,3a1 + {a } 试题解析: (1)设 n 的公差为 d ,则由已知条件得

3 1 n- 1 n +1 a1 + 2d = 2, a1 + d = , a1 =1,d = , an =1+ an = 2 ,解得 2 。 2 ,即 2 . 化简得 ,故通项公式
b1 =1,b4 =a15 =

(2)由(1)得 故

b 15+1 q3 = 4 = 8 =8 b { } b1 2 。设 n 的公比为 q,则 ,从而 q = 2 .

{bn } 的前 n 项和
Tn = b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) = = 2n - 1 1- q 1- 2 .

【考点定位】1. 等差数列,2. 等比数列. 【小结】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前 n 项的求和公式,利用方程组思想求解. 本题属于基础题,注意运算的准确性.

1 (? ,0) a ? 6 n ? 5 21.【答案】 (1) n ; (2)详见解析; (3) 4 .
【解析】 (1)因为 , ,所以

? 2(3n ? 8 ? 3n ? 5) ? 6 ,
所以 (2)由 所以

a ? 6n ? 5 . 是等差数列,首项为 a1 ? 1 ,公差为 6,即 n
an ?1 ? an ? 2(bn ?1 ? bn ) ,得 an ?1 ? 2bn ?1 ? an ? 2bn ,

{an ? 2bn } 为常数列, an ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,即 an ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,

因为 所以

an0 ? an

, n ? N ,所以

?

2bn0 ? a1 ? 2b1 ? 2bn ? a1 ? 2b1

,即

bn0 ? bn



{bn } 的第 n0 项是最大项.
bn ? ?n ,所以 an ?1 ? an ? 2(?n ?1 ? ?n ) ,

(3)因为

当 n ? 2 时,

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2(?n ? ?n ?1 ) ? 2(?n ?1 ? ?n ? 2 ? ? ? ? ? 2(?2 ? ? ) ? 3?
? 2?n ? ? ,

a ? 2? ? ? , 当 n ? 1 时, a1 ? 3? ,符合上式,所以 n
n

a1 1 ? ( ,6 ) ? a 6 , 因为 a1 ? 3? ? 0 ,且对任意 n ? N , n



an ? 0 ,特别地 a2 ? 2? ? ? ? 0 ,于是
2
?

? ? (? ,0)


1 2

此时对任意 n ? N ,

an ? 0 ,

1 ???0 a ? 2 | ? |2 n ?? ? ? , a2 n ?1 ? ?2 | ? |2 n ?1 ?? ? ? , 当 2 时, 2 n ?
由指数函数的单调性知,

{an } 的最大值为 a2 ? 2?2 ? ? ? 0 ,最小值为 a1 ? 3? ,

am a1 3 a2 2? ? 1 ? ? a a 2 ? ? 1 a 3 , n 2 1 由题意, 的最大值及最小值分别是 及

2? ? 1 1 3 1 1 ? ?6 ? ???0 (? ,0) 6 及 2? ? 1 由 3 ,解得 4 。综上所述, ? 的取值范围是 4 .
【考点定位】数列的递推公式,等差数列的性质,常数列,数列的最大项,指数函数的单调性. 【小结】 数列是高中数学的重要内容之一, 是衔接初等数学与高等数学的桥梁, 在高考中的地位举足轻重, 近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查,并且创意不断,常考常新.


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