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人教版2017高中(必修一)数学3.1.2__用二分法求方程的近似解ppt课件_图文

3.1.1 用二分法求方程的近似解 提出问题 1.函数 f (x) ? x 2 ? 4x ? 3有零点吗?你怎样求其零点? 2.对于高次多项式方程,在十六世纪已找到了三次和四次 方程的求根公式,但对于高于4次的方程,类似的努力却 一直没有成功. 到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽 罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于4次的代数方程 不存在求根公式,即不存在用四则运算及根号表示的一般 的公式解.同时,即使对于3次和4次的代数方程,其公式 解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因 此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其 零点的近似解的方法. 知识探究(一):二分法的概念 思考1:有12个大小相同的小球,其中有11个小球质量 相等,另有一个小球稍重,用天平称几次就可以找出 这个稍重的球? 思考2:已知函数 f (x) ? lnx ? 2x ? 6在区间(2,3) 内有零点,你有什么方法求出这个零点的近似值? 思考3:怎样计算函数 f (x) ? lnx ? 2x ? 6 在区间(2,3) 内精确到0.01的零点近似值? 区间(a,b) 中点值m f(m)的近 精确度|a-b| 似值 (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) 2.5 2.75 2.625 -0.084 0.512 0.215 1 0.5 0.25 (2.5,2.625) (2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) 2.562 5 2.531 25 2.546 875 0.066 -0.009 0.029 0.125 0.0625 0.03125 (2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 (2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25 0.01 0.001 0.015625 0.007813 思考4:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法, 那么二分法的基本思想是什么? 提示:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的 区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. 知识探究(二):用二分法求函数零点近似值的步骤 思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么? 提示:确定区间[a,b],使 f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围,接下来应做什么? 提示:求区间的中点c,并计算f(c)的值 思考3:若f(c)=0说明什么? 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ,则分别说明什么? 提示: 若f(c)=0 ,则c就是函数的零点; 若f(a)·f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c); 若f(c)·f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b). 思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值? 提示:当|m—n|<ε 时,区间[m,n]内的任意一 个值都是函数零点的近似值. 思考5:对下列图象中的函数,能否用二分法求函数零 点的近似值?为什么? y y o x o x 理论迁移 考点一: 二分法的概念 [例1]下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分 法求图中函数零点的是 ( ) [精解详析] 利用二分法求函数零点,必须满足零点 两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)· f(b)<0,不能 用二分法求零点.因为A、C、D中零点两侧函数值异号, 故可采用二分法求零点. [答案] B 1.函数f(x)的图象如图所示,函数 f(x)的变号零点个数为 ( ) A.0 C.4 B.1 D.3 解析:由图可知,图象与x轴有4个公共点,有3个穿过 x轴,所以共有4个零点,其中有3个变号零点. 答案:D 2.下面关于二分法的叙述,正确的是 A.用二分法可求所有函数零点的近似值 ( ) B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数 点后的任一位 C.二分法无规律可循 D.只有在求函数零点时才用二分法 答案:B 3.用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条 件是 ( ) ①f(x)的图像在区间[a,b]上是连续不断的;②f(a)· f(b)<0; ③f(a)· f(b)>0;④f(a)· f(b)≥0. A.①② C.①④ 答案:A B.①③ D.①②③ 考点二: 用二分法求函数零点的近似值 [例2]用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内 的一个零点(精确度0.01). [精解详析] 经计算f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数在 [1,1.5]内存在零点x0. 取(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0.因为 f(1.5)· f(1.25)<0,所以x0∈(1.25,1.5). 如此继续下去,如下表: 区间 (1,1.5) 中点值 1.25 中点函数近似值 -0.30 (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) (1.312 5,1.343 75) 1.375 1.312 5 1.343 75 1.328 125 0.22 -0.05 0.08 0.01 -0.02 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01, 所以函数f(x)=x3-x-1精确度为0.01的一个近似 零点可取为1.328 125. [一点通]1.用二分法求函数的零点应遵循的原则 首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求 的零点,又要使其长度尽量小;其次要根据给定的精确度, 及时检验所得区间端点的差的绝对值是否小于精确度(精 确到给定的精确度),以决定是停止还是继续计算. 2.用二分法求函数的零点的近似值,可借助于计 算器完成计算.在计算时可用表格