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三角函数的性质恒等变形


高三复习专题:三角函数的性质及三角恒等变形 概述:三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆,但研究的方法是采用代数中函数的研 究方法和代数运算的方法, 于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁, 使它在几何和代数 中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。 【考点梳理】 一、考试内容 1.角的概念的推广,弧度制。 2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的 诱导公式。 3.两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切。 4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像、正切函 数的图像和性质、已知三角函数值求角。 5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。 二、考试要求 1.理解任意角的概念、弧度制的意义,并能正确地进行弧度和角度的换算。 2.掌握任意角的三角函数的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的 基本关系,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,了解奇函数、 偶函数的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确地运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.了解正 弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和 函数 y= Asin(ω x+ ? )的简图,理解 A、ω 、 ? 的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsin x,arccos x,arctan x 表示。 7.掌握余弦定理、正弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。 (2005 年考纲删减知识点:“能利用计算器解决三角形的计算问题”) 三、知识网络: 【命题研究】 分析近五年的全国高考试题,有关三角函数的内容平均每年有 25 分,约占 17%,浙江 省 2004 年高考试题这部分内容有 17 分,占总分 11.3%。试题的内容主要有两方面;其一是 考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期,题型多为选择 题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求植,解决简单的综合问 题,除了在填空题和选择题中出现外,解答题的中档题也经常出现这方面的内容,是高考命 题的一个常考的基础性的题型。 其命题热点是章节内部的三角函数求值问题, 命题新趋势是 跨章节的学科综合问题。 数学试题的走势,体现了新课标的理念,突出了对创新能力的考查。 如:福建卷的第 17 题设函数 f ? x ? ? a? b , 其中向量a ? ? 2cos x,1? , ? ? ? ? ? ? ?? b ? cos x, 3 sin 2 x , x ? R. ?1? 若f ? x ? ? 1 ? 3且x ? ?? , ? , 求x ; ? 3 3? ? ? (2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c ? ? m, n ? ? m ? ? ? ? ?? ? 平移后得到函数 y=f ? x? 的 2? 图象,求实数 m、n 的值。此题“重视知识拓宽,开辟新领域” ,将三角与向量知识交汇。 高考试题联系现行新教材,如全国(2)卷中的第 17 题:已知锐角三角形 ABC 中, sin ? A ? B ? ? 3 1 , sin ? A ? B ? ? , (1)求证:tan A ? 2 tan B ; (2)设 AB ? 3 ,求 AB 边 5 5 2 1 tan? ,

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