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2017优化方案高考总复习·数学(理)山东专用第五章第2讲知能训练轻松闯关

1.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a1=4,则公差 d 等于( ) A.1 B.-1 C.-2 D.3 解析:选 C.由题意可得 S3=3a1+3d=12+3d=6,解得 d=-2,故选 C. 2.已知等差数列{an},且 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列{an}的前 13 项之和为 ( ) A.24 B.39 C.104 D.52 解析:选 D.因为{an}是等差数列,所以 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48,所以 13(a1+a13) 13(a4+a10) 13×8 a4+a10=8,其前 13 项的和为 = = =52,故选 D. 2 2 2 3.(2016· 陕西省五校模拟)等差数列{an}中,如果 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则 数列{an}前 9 项的和为( ) A.297 B.144 C.99 D.66 解析:选 C.由等差数列的性质可知,2(a2+a5+a8)=(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=39+27 =66, 所以 a2+a5+a8=33, 所以数列{an}前 9 项的和为 66+33=99. 5 4.已知数列{an}满足 an+1=an- ,且 a1=5,设{an}的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 取得最 7 大值的序号 n 的值为( ) A.7 B.8 C.7 或 8 D.8 或 9 5 5 解析:选 C.由题意可知数列{an}是首项为 5,公差为- 的等差数列,所以 an=5- (n- 7 7 40-5n 1)= ,该数列前 7 项是正数项,第 8 项是 0,从第 9 项开始是负数项,所以 Sn 取得最 7 大值时,n=7 或 8,故选 C. 5.(2016· 杭州重点中学联考)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a4<0,a5>|a4|,则使 Sn>0 成立的最小正整数 n 为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选 C.在等差数列{an}中 ,因为 a4<0,a5>|a4|,所以 a5>0,a5+a4>0,S7= 7(a1+a7) 7×2a4 8(a1+a8) 8(a4+a5) = =7a4<0,S8= = =4(a4+a5)>0. 2 2 2 2 所以使 Sn>0 成立的最小正整数 n 为 8,故选 C. 6.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S10>0 并且 S11=0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立, 则正整数 k 构成的集合为( ) A.{5} B.{6} C.{5,6} D.{7} 解析:选 C.在等差数列{an}中,由 S10>0,S11=0,得 10(a1+a10) >0?a1+a10>0?a5+a6>0, 2 11(a1+a11) S11= =0?a1+a11=2a6=0,故可知等差数列{an}是递减数列且 a6=0,所 2 以 S5=S6≥Sn,其中 n∈N*,所以 k=5 或 6. 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=__________. 6×5 ? ?2a1+d=6a1+ d, 2 解析:由题意知? S10= ? ?a1+3d=1, ? ?a1=7, 解得? 所以 a5=a4+d=1+(-2)=-1. ?d=-2, ? 答案:-1 8.(2016· 福州模拟)若数列{an}满足 a1=15,且 3an+1=3an-4,则 an=________. 4 解析:由 3an+1=3an-4,得 an+1-an=- , 3 4 所以{an}是等差数列,首项 a1=15,公差 d=- , 3 49-4n 4 所以 an=15- (n-1)= . 3 3 49-4n 答案: 3 an an 9.(2016· 东北三校联考)已知正项数列{an}满足 a1=2,a2=1,且 + =2,则 a12 an+1 an-1 =________. an an 1 1 2 ?1? 1 1 解析:因为 + =2,所以 + = ,所以?a ?为等差数列,且首项为 = , a1 2 ? n? an+1 an-1 an+1 an-1 an 1 1 1 1 1 1 n 2 1 公差为 - = ,所以 = +(n-1)× = ,所以 an= ,所以 a12= . a2 a1 2 an 2 2 2 n 6 1 答案: 6 1+an 10.已知数列{an}是首项为 a,公差为 1 的等差数列,bn= ,若对任意的 n∈N*, an 都有 bn≥b8 成立,则实数 a 的取值范围为________. 1 解析:依题意得 bn=1+ ,对任意的 n∈N*,都有 bn≥b8,即数列{bn}的最小项是第 8 an ?a8<0, ? ?a+7<0, ? 1 1 项, 于是有 ≥ .又数列{an}是公差为 1 的等差数列, 因此有? 即? 由此解得 an a8 ?a9>0, ? ?a+8>0, ? -8<a<-7,即实数 a 的取值范围是(-8,-7). 答案:(-8,-7) 11.(2016· 无锡质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且 a1=-2,a2=2, S3=6. (1)求 Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列. 解:(1)设 Sn=An2+Bn+C(A≠0), ?-2=A+B+C, 则?0=4A+2B+C,解得 A=2,B=-4,C=0, 故 Sn=2n2-4n. (2)证明:当 n=1 时,a1=S1=-2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6,a1=-2 也满足.故 ? ? ?6=9A+3B+C, an=4n-6(n∈N*). 因为 an+1-an=4,所以数列{an}成等差数列. * 12.各项均为正数的数列{an}满足 a2 n=4Sn-2an-1(n∈N ),其中 Sn 为{an

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