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高三数学三角函数经典练习题及答案精析


1.将函数 f ? x ? ? 2sin 2 x 的图象向右移动 ? ? 0 ? ? ? 象如右图所示,则 ? 的值为( )

? ?

??

? 个单位长度,所得的部分图 2?

A.

? 6

B.

? 3

C.

? 12
? ?

D.

2? 3

2. 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 图象( )

??

为了得到 g ? x ? ? sin 2x 的图象, 则只需将 f ? x ? 的 ?, 3?

? ? 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 3 6 ? ? C.向左平移 个长度单位 D.向左平移 个长度单位 6 3 1 1 ? ? 3 ,则 sin ? cos ? ? ( 3.若 ) sin ? cos ? 1 1 1 1 A. ? B. C. ? 或 1 D. 或-1 3 3 3 3 2014?
A.向右平移 4. cos(

3

) 的值为(



A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2
).

D. ?

3 2

5.记 cos(?80?) ? k , 那么 tan 80? = (

A.

1? k 2 k

B. ?

1? k 2 k

C.

k 1? k 2

D. ?

k 1? k2

6.若 sin a = -

4 ? ,a 是第三象限的角,则 sin( a ? ) =( ) 5 4
(B)

(A)-

7 2 10
cos 2?

7 2 10

(C) -

2 10

(D)

2 10


7.若

sin(? ?

?
4

?? )

2 5 ? ? ,且 ? ? ( , ) ,则 tan 2? 的值为( 4 2 5

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A. ?

4 3

B. ?

3 4

C.

3 4

D.

4 3

8.已知函数 f ( x) ? cos(sin x) ? sin(cosx) ,则下列结论正确的是( A. f ( x) 的周期为 ? C. f ( x) 的最大值为 2 B. f ( x) 在 (?



?
2

,0) 上单调递减

D. f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称
π 的图象,那么 2

9.如图是函数 y=2sin(ω x+φ ) ,φ <

A.ω ?= B.ω ?=

10 π ,φ = 6 11 11 π ,φ =6 10
π 6 π 6

C.ω ?=2,φ =

D.ω ?=2,φ =-

10.要得到函数 y ? sin(4 x ?

?
3

) 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图象(



? 个单位 3 ? B.向右平移 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 12 ? D.向右平移 个单位 12
A.向左平移

11.要得到 y ? cos 2 x ? 1 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( A.向右平移



? 个单位,再向上平移 1 个单位 4 ? B.向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位 4 ? C.向右平移 个单位,再向上平移 1 个单位 2 ? D.向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位 2 ? ? 12.将函数 f ( x) ? cos x 向右平移 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 g ( ) 等 2 6
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于( A.



3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

13.同时具有性质①最小正周期是 ? ;②图象关于直线 x ? 增函数的一个函数为( A. y ? sin( ? ) B. y ? cos(2 x ?

?
3

对称;③在 [ ?

? ?

, ] 上是 6 3

x 2

?
6

) )

?
3

)

C. y ? sin(2 x ?

?
6

D. y ? cos( ?

x ? ) 2 6


14.若 sin ? ? cos ? ? A. ?

5 ,? ? ?0, ? ? ,则 tan ? =( 5
C.-2 D.2

1 2

B.

1 2

=- cos ,那么 sin ? 15.已知 cos(? ? A) 1 2 1 2

1 2

?? ? ? A ? 的值是( ?2 ?



A. ?

B.

C. ?

3 2

D.

3 2
的值为( )

16.已知 tan(α ﹣ A. B.2 C.2

)= ,则 D.﹣2

17.

sin 2 500 的值等于( 1 ? sin100
B.



A.

1 2

1 4

C.1

D.2

18.已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin

2? 3

,cos

2? 3

) ,则角 α 值为

A.

5? 6

B.

2? 3
??

C.

5? 3

D.

11? 6


19.已知 cos ? ? ?

? ?

1 ?? ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? ? ? ? ? ( 6? 2 3? ?
B. ?

A.

1 2

1 2

C.

3 2


D. ?

3 2

20.已知

cos ? cos ? ? 3 ,则 的值为( 1 ? sin ? sin ? ? 1
B. ?

A.

3 3

3 3

C. 3

D. ? 3

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21.已知锐角 ? , ? 满足 cos ? ?

2 5 3 ,sin ?? ? ? ? ? ? ,则 sin ? 的值为( 5 5
B.



A.

2 5 5
5 25

5 5

C.

2 5 25

D.

22.已知 ? 为锐角,若 sin 2? ? cos 2? ? ? A.3 B.2 C.

1 ,则 tan ? ? ( 5



1 1 D. 2 3 2 ? 1 ? 23.已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 等于( 5 4 4 4 13 13 3 1 A. B. C. D. 18 22 22 6
24.若 ? ? [



? ?

3 7 , ] , sin 2? ? ,则 sin ? 等于( 4 2 8
4 5
C.



A.

3 5

B.

7 4

D.

3 4
) C.2

25.钝角三角形 ABC 的面积是 A.5 D.1

1 , AB ? 1, BC ? 2 ,则 AC ? ( 2
B. 5

26. 在 ? ABC 中, 记角 A, B, C 的对边为 a, b, c, 角 A 为锐角, 设向量 m ? (cos A,sin A)

??

? ?? ? 1 n(cos A,sin A) ,且 m ? n ? . 2 ?? ? (1)求角 A 的大小及向量 m 与 n 的夹角;
(2)若 a ?

5 ,求 ? ABC 面积的最大值.

27.已知函数 f ( x) ? 2sin x cos( x ?

?
3

)?

3 . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值及最小值.

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28.已知向量 m ? ? 3 sin

?

? ?

? ? x ? ? ? x x? n. ,1? , n ? ? cos ,cos 2 ? ,记 f ? x ? ? m? 4 ? 4 4? ?
? ?

(1)若 f ? x ? ? 1 ,求 cos ? x ?

??

? 的值; 3?

(2) 在锐角 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 且满足 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C , 求 f ? 2 A? 的取值范围. 29.在 ?ABC 中,角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,若 b cos A ? a cos B ? ?2a cos C . (1)求角 C 的大小; (2)若 a ? b ? 6 ,且 ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 c 的长.
2 30.在锐角△ ABC 中, sin A ? sin B ? sin(

?
4

? B) sin(

?
4

? B) .

(1)求角 A 的值; (2)若 AB ? AC ? 12 ,求△ ABC 的面积. 31.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (a ? b, sin A ? sin C) ,向 量 n ? (c, sin A ? sin B) ,且 m // n . (1)求角 B 的大小; (2)设 BC 的中点为 D ,且 AD ? 3 ,求 a ? 2c 的最大值.

??? ? ??? ?

f ( x) ? cos x ? cos( x ?
32.已知函数

?

) 3 .

f(
(1)求

2? ) 3 的值; f ( x) ? 1 4 成立的 x 的取值集合.

(2)求使

33.已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?
6

) ? 2sin 2 ( x ?

?
12

)( x ? R) .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 取得最大值的所有 x 组成的集合.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.A 【解析】 试 题















2sin 2(

5? 5? ? ? ? ? ) ? 2 ? 2( ? ? ) ? ? 2k? ( k ? Z ) ? ? ? ? k? ( k ? Z ) 12 12 2 6







0 ?? ?

?
2 ,所以

k ? 0, ? ?

?
6 ,选 A.

考点:三角函数求角 【思路点睛】在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选 函数在确定角的范围内为一对一函数。 ①已知正切函数值,选正切函数;

? π? ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0, ?,选正、余弦函数皆可; 2? ? ? π π? 若角的范围是(0,π ) ,选余弦函数较好;若角的范围为?- , ?,选正弦函数较好 ? 2 2?
2.B 【解析】

?? ? ? ? ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin ? 2( x ? ) ? f x 3? 6 ? ,所以只需将 ? ? 的图象向右平移 6 个 ? ? 试题分析:
长度单位得到

g ? x ? ? sin 2x

的图象,选 B.

考点:三角函数图像变换 【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常 出现在题目中, 所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形, 切记每一个变换总是对字母 x 而言. 函数 y=Asin(ω x+φ ) , x∈R 是奇函数?φ =kπ (k∈Z) ;函数 y=Asin(ω x+φ ) ,x∈R π π 是偶函数?φ =kπ + (k∈Z) ;函数 y=Acos(ω x+φ ) ,x∈R 是奇函数?φ =kπ + 2 2 (k∈Z) ;函数 y=Acos(ω x+φ ) ,x∈R 是偶函数?φ =kπ (k∈Z) ; 3.A 【解析】 试题分析:

1 1 sin α ? cos α ? ? ? 3 , sin α ? cos α ? 3 sin α cos α ,两边平方 sin α cos α sin α cos α

得 1 ? 2sin α cos α ? 3(sin α cos α)2 , (sin α cos α ? 1)(3sin α cos α ? 1) ? 0 , 因 为

sin α cos α ?

1 1 1 sin 2α ? ,所以 sin α cos α ? ? .故选 A. 2 2 3

考点:三角函数的同角关系. 4.C 【解析】

答案第 1 页,总 13 页

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试题分析: cos(

2014? ? ? ? 1 ) ? cos( 335 ? 2? ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? cos ? ? ,选 C. 3 3 3 3 2

考点:三角函数的诱导公式. 5.A. 【解析】 试题分析:由题意可知 k ? cos800 ,而 tan 80 ?
0

sin 800 1 ? cos 2 800 1? k 2 . ? ? cos800 cos800 k

考点:诱导公式,同角三角函数的基本关系(平方关系,商数关系). 6. A 【解析】 试题分析:由题 sin ? ? ? 则: sin(a ?

4 3 ,sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, 在第三象限的角; cos ? ? ? , 5 5

?
4

)?

2 2 7 2 sin ? ? cos ? ?? 2 2 10

考点:同角三角函数的平方关系及求值. 7.B 【解析】 试题分析:

cos 2?

sin(? ? ) 4
cos? ? sin ? ? ?
所以 cos 2? ? ?

?

?

(cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) 2 5 ,则 ? 2 (cos? ? sin ? ) ? ? 5 2 (cos? ? sin ? ) 2

? ? ? 10 3 ,两边平方,得 sin 2? ? ,由于 ? ? ( , ) ,可得 2? ? ( , ? ) , 5 4 2 2 5

3 4 ,则 tan 2? ? ? . 5 4

考点:三角函数求值. 8.D 【解析】 试题分析: f (0) ? 1 ? sin1, f (? ) ? 1 ? sin1 ,因此周期不是 ? ,A 错;

f '( x) ? ? sin(sin x) cos x ? cos(cos x)sin x ,当 x ? ( ?
B 错; 当 x ? (0,

?
2

, 0) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 递增,

?
2

) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 递减,显然 f (0) ? 2 ,C 错;

f (2? ? x) ? cos[sin(2? ? x)] ? sin[cos(2? ? x)] ? cos(? sin x) ? sin(cos x) ? cos(sin x) ? sin(cos x) ? f ( x) ,因此 f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,D 正确.

答案第 2 页,总 13 页

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故选 D. 考点:三角函数的性质. 【名师点睛】本题考查复合函数的性质,考查命题真假的判断,由于是选择题,我们可以利 用特值法说明一些选择支是错误的(排除法) ,如 A、C,而要说明命题是正确的只能通过证 明,如 D.对 B,可以象题中一样由导数证明单调性,也可由复合函数的单调性确定,正弦 函数与余弦函数在 ( ?

?
2

, 0) 上都是增函数,复合函数仍然是增函数,因此可知 f ( x) 是增不

是减.从而确定 B 错.选择题解法多样、灵活,掌握它的解法与技巧有利于我们快速、正确 地解答. 9.C 【解析】

1 ? ,? ? ? 2 2 ? ? 11? ?? ? ,故函数 y ? 2 sin(?x ? ) ,又因为函数图像过点( ,0) , 6 12 6 11? ? 11? ? ? 0 ? 2 sin(? ? ? ) ,由五点法作图的过程可知, ? ? ? ? 2? ,?? ? 2 , 12 6 12 6
试题分析:因为函数图像过(0,1) ,所以 1 ? 2 sin ? ,? sin ? ?

?? ?

?

6

? ? 2 ,所以选 C.

考点:三角函数图像;五点作图法. 10.D 【解析】 试题分析:由题; y ? sin(4( x ?

)) ? y ? sin(4 x ? ) ,即向右平移 个单位 . 12 3 12

?

?

?

考点:三角函数的图像变换规律. 11.B 【解析】 试题分析:函数 y ? cos 2 x ? 1 ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ,所以只需把函数 y ? sin 2 x 的图象,向 2?

左平移

? ?? ? 个长度单位, 再向下移动 1 各单位, 即可得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ? cos 2 x ? 1 4 2? ?

的图象. 考点:函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的图象变换. 【思路点睛】本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注 意诱导公式的合理运用. 先根据诱导公式进行化简, 再由左加右减上加下减的原则可确定函 数 y ? sin 2 x 到函数 y ? cos 2 x ? 1 的图像,即可得到选项. 【方法点睛】三角函数图象变换: (1)振幅变换
y ?s i x n, x ? R
点 的 纵 坐 (A 标 ?1) 伸 或长 缩 (0 短 ? A ?1)到 原 来A倍 的 ?所 ?有 ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?

答案第 3 页,总 13 页

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y ? A sin x, x ? R

( 2 ) 周 期 变 换 y ? s i ?n x, x ? R ( 3 ) 相 位 变 换
y ? s i( x n? ? ), x ? R

y ? s i xn , x?R

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

1 所 有 点 的 横 (坐 ? ?1) 标 或 缩 伸 (0 短 长 ?? ?1)到 原 来 倍 的

y ? s i xn , x?R

(? ?0)或向右 (? ?0)平移|? |个 单 位 长 ?所有点向左 ??? ???????? ??



( 4 ) 复 合 变 换
y ? s i( x n? ? ), x ? R

y ? s i xn , x?R

(? ?0)或向右 (? ?0)平移|? |个 单 位 长 ?所有点向左 ??? ???????? ??



? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? y ? sin(?x ? ? ), x ? R

所有点的横坐标缩短 (? ?1)或伸长 (0?? ?1)到原来的

1



?1)或缩短 (0? A ?1)到原来的 A倍 ?所有点的纵坐标伸长 ?????(A ? ?? ?? ?? ? ??

y ? A sin(?x ? ? ), x ? R .

12.C 【解析】 试题分析:由题意 g ( x ) ? cos( x ? 考点:三角函数图象的平移. 13.C 【解析】 试题分析: 周期是 ? 的只有 B, C ,y ? cos(2 x ? 当 x ? [?

?

? ? ? 1 ) , g ( ) ? cos( ? ) ? . 6 2 2 6 2

?

? ?

, ] 时, 2 x ? ? [ ? , ] ,因此 C 是增,B 是减,故选 C. 6 3 6 2 2

?

? ?

) ? cos[(2 x ? ) ? ] ? ? sin(2 x ? ) , 3 6 2 6

?

?

?

考点:三角函数的周期,单调性,对称性. 14.C 【解析】 试题分析: 因为 sin ? ? cos ? ?

5 2 5 ,? ? ?0, ? ? ,且 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,所以 sin ? ? , 5 5

cos ? ? ?

5 sin ? ? ?2 ,故选 C. ,所以 tan ? ? cos ? 5

考点:三角函数的基本关系式及其应用. 15.B 【解析】 试题分析:因为 cos(? ? A) ? ?

1 1 ? 1 ,? cos A ? ,? sin( ? A) ? cos A ? ,故选 B. 2 2 2 2

考点:三角函数的诱导公式. 【易错点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式.在对给定的式子进行化简或求值时,要 注意给定的角之间存在的特定关系, 充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化. 特 别要注意每一个角所在的象限, 防止符号及三角函数名称搞错. 诱导公式的应用是三角函数 中的基本知识,主要体现在化简或求值,本题难度不大.
答案第 4 页,总 13 页

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16.B 【解析】解:由 tan(α ﹣ 得 tanα =3. 则 = . )= = ,

故选:B. 【点评】本题考查了三角函数的化简求值,注意表达式的分子、分母同除以 cosα ,是解题 的关键,是基础题. 17.A 【解析】

1 ? cos80? 1 1 ? sin10? 1 sin 2 50? cos2 40? 2 ? ? ? . 试题分析: ? ? 1 ? sin10? 1 ? sin10? 1 ? sin10? 2 1 ? sin10? 2
考点:二倍角公式,诱导公式. 18.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 特 殊 角 的 三 角 函 数 和 诱 导 公 式 得 , sin

2? ? 3 ? sin ? , 3 3 2
? 3 1? ,则 ,? ? 2? ? 2 ?

cos

2? ? 2? ? cos ? ? 3 ? 3

1 ? ??? , 即 角 α 2 ?

的终边上一点的坐标为 ? ?

sin ? ?

3 1 ,cos ? ? ? ,即 ? 为第四象限角,故本题选 D . 2 2

考点:特殊角的三角函数;三角函数的符号. 19.C 【解析】 试 题 分





?? ? ? 3 3 ?? ? ? cos ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? cos ? cos ? sin ? sin ? cos ? ? sin ? ? 3 cos ? ? ? ? 3? 3 3 2 2 6? ? ?
3 . 2

?

考点:两角和与差的余弦公式. 20.B 【解析】

cos? cos? cos2 ? cos? 3 ? ? ? ?1 ,所以, 试题分析: : ,故选 B. ?? 2 1 ? sin ? sin ? ? 1 sin ? ? 1 sin ? ? 1 3
考点:同角三角函数基本关系
答案第 5 页,总 13 页

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21.A 【解析】 试 题 分 析 : 因

s ?i ? n 1? c

2

o ? ?s

5 ,c 5

? o ? ?s) ? (

4 5

,



sin ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? sin(? ? ? ) ?

2 5 ,应选 A. 5

考点:三角变换的思想及运用. 【易错点晴】三角变换是探寻角与角之间的关系的方法和技巧.能将一个未知的角看成两个 已 知 角 的 和 与 差 是 三 角 变 换 的 精 髓 之 所 在 . 解 答 本 题 时 能 否 看 出

sin ? ? 1 ? cos2 ? ?

5 4 , cos(? ? ? ) ? , 再 借 助 两 角 和 与 差 的 计 算 公 式 求 出 5 5

sin ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? s i n ?co s ?( ? ? ) ? c o ? s sin ?( ? ? ) ?

2 5 . 求解时能否看出 5

三个角 ? , ? , (? ? ? ) 之间的关系为 ? ? ? ? (? ? ? ) 是解答本题的关键和突破口.求解时先 运用同角之间的关系,再运用三角变换的思想,体现了三角变换的化归与转化思想灵活运用. 22.A 【解析】 试题分析:

sin 2? ? cos 2? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 2 tan ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? ? ?? , 2 2 2 2 2 sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

解得 tan ? ? 3 . 考点:三角恒等变换. 23.C 【解析】

2 1 ? ? ? ? 3 ? ? 试题分析: tan(? ? ) ? tan ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 ? . 4 4 ? ? 1 ? 2 ? 1 22 ? ? 5 4

?

考点:三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系. 【思路点晴】本题主要考查化归与转化的数学思想方法、考查学生观察能力、考查学生对字 母 的 敏 感 . 首 先 要 观 察 到 要 求 的 角 和 已 知 的 两 个 角 之 间 的 联 系

? ? ? ?? ? tan(? ? ) ? tan ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ,然后利用两角差的正切公式求可以求出结果.在观 4 4 ?? ? ?
察一个已知和求的过程中, 我们可以尝试用加法、 减法、 乘法或除法, 找到它们之间的联系, 利用这个联系来解题. 24.D 【解析】

答案第 6 页,总 13 页

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sin 2? ? 试题分析:

2sin ? cos ? 2 tan ? 3 7 3 3 ? ? , 解得 tan ? ? , 所以 sin ? ? . 2 2 2 4 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 8 7

考点:三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系. 【思路点晴】本题已知的是二倍角的正弦值,要求单倍角的正弦值,方法之一是先除以

sin 2 ? ? cos 2 ? ,化为齐次方程,然后转化为 tan ? ,由已知条件求出正切值后,利用直角
三角形,求出斜边,由此就可以求出其正弦值.本题也可以采用联立方程组的方法,联立

2sin ? cos ? ?
运算量较大. 25.B 【解析】

3 7 与 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,解这个方程组,也可以直接求出正弦值,但是 8

试 题 分 析 : 因

1 1 2 3? ? 1 ? 2 s iB n ? , 故 sin B ? ?B? 2 2 2 4

, 所 以

AC ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?

2 ? 5 ,应选 B. 2

考点:正弦定理余弦定理的运用. 26. (1) A ? 【解析】 试题分析: (1) 由数量积的坐标表示得 m ? n ? cos 2 A ? sin 2 A ? cos 2 A ? 求A; (2)三角形 ABC 中,知道一边 a ?

?
6

, ? m, n ??

?? ?

?
3

; (2)

5(2 ? 3) . 4
1 ? , 根据 0 ? A ? , 2 2

?? ?

5 和对角 A ?

?
6

,利用余弦定理得关于 b, c 的

等式,利用基本不等式和三角形面积公式 S ?

1 bc sin A 得 ?ABC 面积的最大值. 2

试题解析: (1) m ? n ? cos 2 A ? sin 2 A ? cos 2 A ? 根据 m ? n ?| m | ? | n | ? cos ? m,n ? ? (2)因为 a ? 5 , A ?

?? ?

?? ?

??

?? ?

?? ???? ?

?

1 ?? ? ? ? m, n ?? 2 3

1 ? ? 因为角 A 为锐角, 所以 2 A ? ,A ? 2 3 6

5 ? b ? c ? 2bc cos

2

2

2

?

6 6
得: bc ? 5(2 ? 3)

1 5(2 ? 3) S ? bc sin A ? 2 4
即 ?ABC 面积的最大值为

5(2 ? 3) 4
答案第 7 页,总 13 页

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考点:1、平面向量数量积运算;2、余弦定理和三角形面积公式. 27. (Ⅰ)[ 【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先将 cos? x ?

?

12

? k? ,

7? 3 ? k? ] , k ? Z ; (Ⅱ) f ( x ) 取得最大值 1 , f ( x ) 取得最小值 ? . 12 2

? ?

??

? 利用两角和余弦公式展开,在利用辅助角公式化简得 3?

? ? ?3 ?? ? k ?Z , 2 ?k ? , 由 ? 2k? ?2 x ? ? 可解得单调减区间; (Ⅱ) f ?x ? ? sin? 2 x ? ? , 2 3 2 3? ?
由0 ? x ? 最小值. 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? 2sin x cos( x ?

?
2



?
3

? 2x ?

?
2

?

4? 3 ? ,所以 ? ? sin(2x ? ) ? 1,故可得函数的最大值和 3 2 3

?
3

)?

3 2

1 3 3 ? 2sin x( cos x ? sin x) ? 2 2 2 ? sin x cos x ? 3 sin 2 x ? 3 2

1 3 3 3 ? sin 2 x ? ? cos x ? 2 2 2 2
? sin(2 x + ) . 3

?

3? ? 7? ? 2k? , k ? Z ,得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z . 2 3 2 12 12 ? 7? ? k? ] , k ? Z . 即 f ( x ) 的单调递减区间为 [ ? k? , 12 12


?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

(Ⅱ)由 0 ? x ?

?
2



?
3

? 2x ?

?
2

?

4? 3 ? ,所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1. 3 2 3

所以当 x ?

?
2

时, f ( x ) 取得最小值 ?

? 3 ;当 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 1. 12 2

考点: (1)降幂公式; (2)辅助角公式; (3)函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的性质. 【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简,以及函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的性质,属于基 础题, 强调基础的重要性, 是高考中的常考知识点; 对于三角函数解答题中, 当涉及到周期,
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单调性, 单调区间以及最值等都属于三角函数的性质, 首先都应把它化为三角函数的基本形 式即 y ? A sin ??x ? ? ? ,然后利用三角函数 y ? A sin u 的性质求解. 28. (1)

? 3 ?1 3 ? 1 ; (2) ? ? 2 , 2? . 2 ? ?

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用三角变换公式求解; (2)借助题设条件运用正弦定理和三 角变换公式求解. 试题解析:

n ? 3 sin (1) f ? x ? ? m?
因为 f ? x ? ? 1 ,所以 sin ?

? ?

x x x 3 x 1 x 1 ?x ?? 1 cos ? cos 2 ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? , 4 4 4 2 2 2 2 2 ?2 6? 2

?? ? ?x ?? 1 ?x ?? 1 ? ? ? ,所以 cos ? x ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? . 3? ? ?2 6? 2 ?2 6? 2

(2)因为 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C , 由正弦定理得 ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C , 所以 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ,所以 2sin A cos B ? sin ? B ? C ? , 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin ? B ? C ? ? sin A ,且 sin A ? 0 ,

1 ? ? 2 2 ? , 又0 ? B ? , 所以 B ? , 则 A?C ? ?, A ? ? ?C , 又0 ? C ? , 2 2 3 3 3 2 ? ? ? ? 2? 则 ? A ? ,得 ? A ? ? , 6 2 3 6 3
所以 cos B ? 所以

3 ?? ?? 1 ? ? ? sin ? A ? ? ? 1 ,又因为 f ? 2 A? ? sin ? A ? ? ? ,故函数 f ? 2 A? 的取值范围 6? 2 2 6? ? ?

是?

? 3 ?1 3 ? ? 2 , 2? . ? ?

考点:正弦定理和三角变换公式等有关知识的综合运用. 【易错点晴】本题的设置时将平面向量与正弦定理三角变换的知识有机地结合起来,有效地 检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和向量的数量

n ? 3 sin 积公式建立函数 f ? x ? ? m?

x x x cos ? cos 2 , 再运用三角变换公式将其化为 4 4 4

? ?x ?? 1 sin ? ? ? ? , 从而使得问题获解 . 第二问则借助正弦定理求出 B ? , 然后再确定 3 ?2 6? 2

?
6

? A?

?
2

,最后求出

3 ?? ? ? sin ? A ? ? ? 1 , 从 而 求 出 函 数 f ? 2 A? 的 取 值 范 围 是 2 6? ?
答案第 9 页,总 13 页

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? 3 ?1 3 ? ? ? 2 , 2? . ? ?
29. (1) ?C ? 1200 ; (2) c ? 2 7 . 【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用正弦定理求解; (2)借助题设条件运用余弦定理和三角形 面积公式求解. 试题解析: (1)由正弦定理得 sin B cos A ? sin A cos B ? ?2sin C cos C , ∴ sin ? A ? B? ? ?2sin C cos C ,化简得 sin C ? ?2sin C cos C . ∵ 0 ? ?C?? ,∴ sin C ? 0 ,∴ cos C ? ? (2)∵ a ? b ? 6 ,∴ a 2 ? b2 ? 2ab ? 36 ,

1 0 ,∴ ?C ? 120 ; 2

?C ? 1200 , 又∵ ?ABC 的面积为 2 3 , ∴

1 a bn i s C 2? 3 2

2 2 , ∴ ab ? 8 , ∴ a ? b ? 20 ,

由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 20 ? 2 ? 8 ? ? ? ∴c ? 2 7 .

? 1? ? ? 28 , ? 2?

考点:正弦定理余弦定理及三角形面积公式等有关知识的综合运用. 30. (1) A ? 【解析】
2 试题分析: (1)将等式 sin A ? sin B ? sin(

?
6

; (2) 2 3

?
4

? B) sin(

?
4

? B) 左边利用两角和与差的正弦 1 ? ,进而得 A ? ; ( 2 )由 2 6

公式展开后,再利用同角三角函数之间的关系可得定值

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? AB ? AC ?| AB|| AC| cos ? 12 ,可得 | AB || AC |? 8 3 ,进而可得△ ABC 的面积. 6
2 试题解析: (1)在△ ABC 中, sin A ? sin B ? sin(

?

4

? B) sin(

?

4

? B)

? sin 2 B ? (

2 2 2 2 cos B ? sin B)( cos B ? sin B) 2 2 2 2

1 ? sin 2 B ? (cos 2 B ? sin 2 B) 2 1 ? sin 2 B ? (1 ? 2sin 2 B) 2 1 ? 2
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又 A 为锐角,∴ A ?

?
6



(2) AB ? AC ?| AB || AC | cos ∴ | AB || AC |? 8 3 , ∴ S ?ABC ?

??? ? ????

??? ? ????

?
6

? 12 ,

??? ? ??? ?

? ???? 1 ??? ? 1 1 | AB || AC | sin ? ? 8 3 ? ? 2 3 2 6 2 2

考点:1、利用两角和与差的正弦公式;2、平面向量数量积公式. 31. (1) B ? 【解析】 试题分析: (1)由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得 cos B 的值,从

?
3

; (2) 4 3 .

a ( )2 ? c2 ? 3 1 而求得 B 的值; (2)在 ?ABD 中,由余弦定理可得 ? cos B ? 2 ,再利用基 a 2 2? ?c 2 本不等式,即可求解 a ? 2c 的最大值.
试题解析: (1)由 m // n 得: (a ? b)(sin A ? sin B) ? c(sin A ? sin C ) ,
2 2 2 结合正弦定理有: (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c) ,即 a ? c ? b ? ac ,

结合余弦定理有: cos B ?

? a 2 ? c2 ? b2 1 ? ,又 B ? (0, ? ) ,∴ B ? . 3 2ac 2

a ( )2 ? c2 ? 3 1 (2)在 ?ABD 中,由余弦定理可得 ? cos B ? 2 , a 2 2? ?c 2
即 (a ? 2c) 2 ? a 2 ? 4c 2 ? 4ac ? 6ac ? 12 ? 6 ? 6 ? 12 ? 48 ,当且仅当 a ? 2c 时取等号, ∴ a ? 2c ? 4 3 ,即 a ? 2c 的最大值 4 3 . 考点:正弦定理;余弦定理的应用. 【方法点晴】本题主要考查了两个向量共线的性质,正弦定理和余弦定理的应用、正弦函数 的定义域和值域,属于中档试题,解答中根据利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定 理可得 cos B 的值和在 ?ABD 中,由余弦定理可得 a , c 的关系式,再利用基本不等式,即可 求解 a ? 2c 的最大值, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及学生的推理与与运 算能力.

?
32. (1) 【解析】

5π 11π ? ? 1 ? x ? kπ ? , k ? Z? ? x | kπ ? 12 12 ?. 4; (2) ?

答案第 11 页,总 13 页

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试题分析: (1)直接代入解析式即可; (2)由两角差的余弦公式,及正余弦二倍角公式和辅

f ( x) ?
助角公式得

1 π? 1 π? ? ? cos? 2x ? ? ? cos ? 2x ? ? <0 2 3 ? 4 ,转化为 3 ? ,利用余弦函数图象得 ? ?

? ? 3? 2k?+ <2 x- <2k? + 2 3 2 , k ? Z ,从而求解.
试题解析:
2

2π π ? 2π ? π π ?? 1 ? ? ? 1 f ? ? ? cos ? cos ?cos ? cos ? ? 3 3= 4. 3 3 = ? 2? (1) ? 3 ?
?1 ? 1 3 π? π? 1 ? ? cos x ? sin x ? ? cos ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ?2 ? 2 3 ? =cos x· ? 3? 4. ?= 2 ? ? (2)f(x)=cos x·


1 π? 1 1 ? 1 cos ? 2 x ? ? ? ? c o s 2 3 4 4 ? ? 4 f (x) < 等价于 , 即

π? ? 2 0 ? x? < ? 3? ?

π π .于是 2kπ + 2 <2x- 3 <

3π 5π 11π 1 2kπ + 2 ,k∈Z. 解得 kπ + 12 <x<kπ + 12 ,k∈Z.故使 f(x)< 4 成立的 x 的取

5π 11π ? ? ? x ? kπ ? , k ? Z? ? x | kπ ? 12 12 ?. 值集合为 ?
考点:1、二倍角公式;2、辅助角公式;3、余弦函数图象与性质. 33. (1) ? ; (2) {x | x ? k? ? 【解析】 试题分析: (1) 利用降次公式, 和辅助角公式, 可将已知条件化简为 f ? x ? ? 2sin(2 x ? 故周期等于 ? ; (2) 当 2x ? 试题解析:

5? (k ? Z )} 12

?
3

) ?1 ,

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 即 x ? k? ?

5? (k ? Z ) 时, 函数取得最大值为 3 . 12

f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) ? 1 ? cos 2( x ? ) ? 3 sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 1 6 12 6 6

?

?

?

?

? 2[

3 ? 1 ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )] ? 1 ? 2sin[(2 x ? ) ? ] ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 2 6 2 6 6 6 3
2? ?? . 2 ) ? 1 ,此时有 2 x ?

(1)∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? (2)当 f ( x ) 取最大值时, sin(2 x ? 即 x ? k? ?

?
3

?
3

? 2 k? ?

?
2

.

5? 5? (k ? Z ) ,∴所求 x 的集合为 {x | x ? k? ? (k ? Z )} . 12 12
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考点:三角恒等变换.

答案第 13 页,总 13 页


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