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高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)


高等代数(下)期末考试试卷及答案(B 卷)
一.填空题(每小题 3 分,共 21 分)
1. 在P[ x]3中, x2 - 2 x -3 在基 1, ( x -1), ( x -1) 2 下的坐标为 2. 设 n 阶矩阵 A 的全体特征值为 ?1 , ?2 , 全体特征值为 则 f ( A) 的 , ?n , f ( x ) 为任一多项式, .

3. 在数域P上的线性空间P[x]n中,定义线性变换A:A(f ( x )) ? f ?( x ) ,则 A 的值域

A ? P[x]n ? =

, A的核A ?1(0)=

?1 0 0 ? ? ? 0 ? ,则 A(λ )的不变 4.已知 3 阶λ -矩阵 A(λ )的标准形为 ? 0 ? ?0 0 ?2 ? ? ? ? ?

因子________________________; 3 阶行列式因子 D3 =_______________. 5. 若 4 阶方阵 A 的初等因子是(λ -1)2, (λ -2) , (λ -3) ,则 A 的若当标准形 J=

6. 在 n 维 欧 氏 空 间 V 中 , 向 量 ? 在 标 准 正 交 基 ?1 ,?2 ,

,?n 下 的 坐 标 是

( x1 , x2 ,

, xn ) ,那么 (? ,?i ) =


7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是

二. 选择题( 每小题 2 分,共 10 分)
1.( ) 已知 V ? {(a ? bi , c ? di ) a, b, c, d ? R} 为 R 上的线性空间, (C) 3; (D) 4

则 dim(V)为 (A) 1; (B) 2; 2. (

) 下列哪个条件不是 n 阶复系数矩阵 A 可对角化的充要条件 (B) A 的初等因子全是 1 次的; (D) A 有 n 个不同的特征根;

(A) A 有 n 个线性无关的特征向量; (C) A 的不变因子都没有重根; 3.(

) 设三阶方阵 A 的特征多项式为 f (? ) ? ?3 ? 2?2 ? 2? ? 3 ,则 | A |?
1

(A) 1; 4.(

(B) 2;

(C) 3;

(D) -3

)设 ?1 ? (0,?1,1),? 2 ? (2,1,?2), ? ? k?1 ? ? 2 ,若 ? 与 ? 2 正交,则 (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2

(A) k=1; 5.(

)下列子集哪个不是 R3 的子空间 (B) w2 ? {( x1 , x2 , x3 ) ? R3 | x3 ? 0} (D) w4 ? {( x1 , x2 , x3 ) ? R3 | x1 ? x2 ? x3 }

(A) w1 ? {( x1 , x2 , x3 ) ? R3 | x2 ? 1} (C) w3 ? {( x1 , x2 , x3 ) ? R3 | x1 ? x2 ? x3 }

三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每小题 2 分,共 12 分)
1.( 2.( )设 V ? P n?n ,则 W ? { A A ? P n?n , A ? 0} 是 V 的子空间. ) ?1 , ? 2 ,

, ? n 是 n 维 欧 氏 空 间 的 一 组 基 , 矩 阵 A ? aij

? ?

n? n

,其中

ai j ? (? i,? j),则 A 是正定矩阵.
3.( ) 若 n 维向量空间 Pn 含有一个非零向量,则它必含有无穷多个向量.

4. ( )在线性空间 R2 中定义变换σ : ? ( x, y ) ? (1 ? x, y ) ,则σ 是 R2 的一个 线性变换. 5.( 6. ( )设 V 是一个欧氏空间, ? , ? ? V ,并且 ? ? ? ,则 ? ? ? 与 ? ? ? 正交。 )λ -矩阵 A(λ )可逆的充要条件是 A(? ) ? 0.

四.计算题(3 小题,共 30 分)
1.已知 ? 关于基 ?1 , ? 2 , ?3 的坐标为(1,0,2) ,由基 ?1 , ? 2 , ?3 到基 ?1 , ? 2 , ?3 的
? 3 2 4? ? ? 过渡矩阵为 ? 1 0 0 ? , 求 ? 关于基 ?1 , ?2 , ?3 的坐标. (8 分) ? 2 1 0? ? ?

2

2. 设 V 是数域 P 上一个二维线性空间, ?1 , ? 2 和?1 , ?2 是 V 的两组基, V 的线性

? 2 1? 变换 Α 在基 ?1 , ? 2 下的矩阵为 ? ? ,又从基 ?1 , ? 2 到基 ?1 , ?2 的过渡矩 ? ?1 0 ? ? 1 ?1? 阵为 ? ? , 求 Α 在基 ?1 , ?2 下的矩阵. (8 分) ? 1 2 ? ?

3. 用正交线性替换X ? TY 化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵T:
2 2 f ( x) ? x12 ? 2x2 ? 2x3 ? 4x1x2 ? 4x1x3 ? 8x2 x3

(14 分)

3

五. 证明题 (每题 9 分,共 27 分)
1. 设 V 为数域 P 上的 n 维线性空间, ?1 , ? 2 ,

, ? n 为 V 的一组基, 证明

V= L( ?1, ?1 ? ?2 , , ?1 ? ?2 ? ? ?n ) .

?)和 2. 设 ? , ? 都是数域 P 上线性空间 V 的线性变换, 且 ?? ? ?? , 证明 Im(
Ker(? ) 都是 ? 的不变子空间.

4

2006 高等代数(下)试题解答
一、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 1、在 P[ x]3 中, x 下的坐标为
2

2

? 2x ? 3 在基 1, ( x ?1), ( x ?1)2


(- 4, 0, 1)

x ? 2 x ? 3 ? ?4 ? ( x ? 1)2
2、设 n 阶矩阵 A 的全体特征值为 ?1 , ?2 ,

, ?n .

f ( x ) 为任一多项式,则 f ( A) 的全体特征值为

f (?1 ),..., f( ?n)

片 2

一、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 3、在数域P上的线性空间P[x]n中,定义线性变换

A:A(f ( x )) ? f ?( x ) ,则 A 的值域 A ? P[x] n ?=

P[x]n-1

,

A 的核A (0)=

?1

P

?1 0 0 ? ? ? 0 ? 0 4、已知 3 阶 λ -矩阵A(λ )的标准形为 ? ? ?0 0 ?2 ? ? ? ? ?

1,λ ,λ (λ +1) ; 则A(λ )的不变因子________________________ λ (λ +1) 3 阶行列式因子 D3 =_______________.
2

一、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 5、若 4 阶方阵 A 的初等因子是 (λ -1)2, (λ -2), (λ -3), 则 A 的若当标准形 J=

?1 ? ?1 1 ? ? ?

? ? ? ? 2 ? 3?

6、在 n 维欧氏空间 V 中,向量 ? 在标准正交基

?1 ,?2 , , ?n 下的坐标是 ( x1, x2 , , xn)
那么 (? ,?i ) ?

xi

?? ,?i ? ? x1 ??1,?i ? ? ... ? xi ??i ,?i ? ? ... ? xn ??n ,?i ?
5

? ? x1?1 ? ... ? xi?i ? ... ? xn?n

一、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 7、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 这两个欧氏空间有相同的维数 二、 选择题( 每小题 2 分,共 10 分) 1、(

D

) 已知

V ? {(a ? bi, c ? di) a, b, c, d ? R}

为 R 上的线性空间,则 dim(V) 为 ( A) 1; ( B)2; ( C)3; ( D) 4 2、(

D ) 下列哪个条件不是 n 阶复系数矩阵 A

可对角化的充要条件: (A) A有 n个线性无关的特征向量; (B) A的初等因子全是1次的; (C) A的不变因子都没有重根; (D) A有 n个不同的特征根。

二、 选择题( 每小题 2 分,共 10 分) 3、( ,则 | A |? f (? ) ? ? 3 ? 2? 2 ? 2? ? 3

D ) 设三阶方阵 A 的特征多项式为
(A)1;(B)2;(C) 3;(D)-3

? ?1 ?1 13 ? ? ? 13 ? ? f (? ) ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ?2 ? ?? ? 2 ? 2 ? ? ??? ? ?? ? ?1 13 ? ? 1 13 ? ? A ? 1? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?3 ? 2 ? ?2 2 ? ?2 ?
或由: ? E ? (P296)

A ? ? n ? tr ? A ? ? n ?1 ? ... ? ? ? 1? A
n 3

? ? ?1? A ? 3 ? A ? ?3

二、 选择题( 每小题 2 分,共 10 分) 4、(

C )设 ?1 ? (0,?1,1),? 2 ? (2,1,?2), ? ? k?1 ? ? 2 若 ? 与 ? 2 正交,则 A
)下列子集哪个不是 R3 的子空间

( A) k=1;(B)k=4;(C) k= 3;(D) k=2 5、(

? A? w1 ? {? x1, x2 , x3 ? ? R3 | x2 ? 1}; ? B? w2 ? {? x1, x2 , x3 ? ? R3 | x3 ? 0}

?C ? w3 ? {? x1, x2 , x3 ? ? R3 | x1 ? x2 ? x3}; ? D? w4 ? {? x1, x2 , x3 ? ? R3 | x1 ? x2 ? x3}

6

三、判断题(对的打“√”,错的打“X”,每小题 2 分 ,共 12 分) 1、(

? )设 V ? P
? ?

n? n

,则 W ? { A A ? P n?n , A ? 0}

是 V 的子空间。

A ? 0, B ? 0 ? A ? B ? 0
2、( √ ) ? 1 , ? 2 ,

, ?n

是 n 维欧氏空间的一组基,矩阵

A ? aij

n? n

,其中 aij ? (? i , ? j ) ,则 A 是正定矩阵。

3、( √ ) 若 n 维向量空间 Pn 含有一个非零向量, 则它必含有无穷多个向量。

三、判断题(对的打“√”,错的打“X”,每小题 2 分 ,共 12 分) 4、(
2

则 ? 是 R2 的一个线性变换。

? )在线性空间 R 中定义变换 :? ( x, y) ? (1 ? x, y)

? ? 2( x, y)? ? (1 ? 2 x,2 y) ? 2(1 ? x, y) ? 2? ( x, y)
? , ? ?V,并且 ? ? ? 5、( √ )设 V 是一个欧氏空间,
则 ? ? ? 与 ? ? ? 正交。

?? ? ? ,? ? ? ? ? ?? ,? ? ? ?? , ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , ? ? ? 0
6、(

? )λ -矩阵 A(λ ) 可逆的充要条件是

A(? ) ? 0

四、计算题(3 小题,共 30 分) 1、已知 ? 关于基 ?1 , ? 2 , ? 3 的坐标为(1,0, 2),由基

?1,?2 ,?3 到基 ?1, ?2 , ?3
求 ? 关于基

的坐标。 (6 分) ? 3 2 4 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ,? ,? ? 1 0 0? ? 0 ? 解:? ? ? ?1 , ? 2 , ?3 ? ? 0 ? ? 1 2 3 ? ? ?? ? ? 2 1 0?? 2? ? 2? ? ?? ? ? ? ?11? ? ? ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? ? 1 ? ? 2? ? ? 得 ? 关于基

?1 , ?2 , ?3

? 3 2 4? ? ? 的过渡矩阵为 ? 1 0 0 ? ? 2 1 0? ? ?

?1 , ? 2 , ?3

的坐标是 ?11, 1, 2?

7

?1 , ? 2 和 ?1,?2 2、设 V 是数域 P上一个二维线性空间,
是 V 的两组基, V 的线性变换??在基

?1 , ? 2下的矩阵为

解: A ??1,?2 ? ? A

?2 A?? ? ?1 ?1 P?? ? ?1

1? ? ,又从基 ?1 , ? 2 到基 ?1 ,?2 的过渡矩阵为 0? ?1? ? ,求??在基 ?1 ,?2下的矩阵。(8 分) 2?

? ? ? , ? ? P ? ? ? A ?? , ? ? ? P
1 2 1 2 ?1

? ??1, ? 2 ? AP ? ??1,?2 ? P AP ?1 ? 1 ?1? ? 2 1 ? ? 1 ? 1? ? 1 1? ? ??1 ,? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ??1,? 2 ? ? ? ? 1 2 ? 1 0 ? 1 2 ? ? ? ?? ? ? 0 1?
即求??在基

?1 ,?2下的矩阵为

? 1 1? ? ? ? 0 1?

3、用正交线性替换X ? TY 化下列二次型为标准型,

并写出相应的正交矩阵T .(16 分)
2 2 f ( x) ? x12 ? 2x2 ? 2x3 ? 4x1x2 ? 4x1x3 ? 8x2 x3

? 1 ? 2 2? 解:二次型的矩阵 A ? ? ?2 ? 2 4 ? ? ? ? 2 4 ?2 ? ? ?


? E ? A ? 0,

对?1 ? ?7 , 由( ? 7 E ? A) X ? 0, 得一特征向量:

得 A 的特征值 ?1 ? ?7, ?2 ? ?3 ? 2

?1 =(-1,-2,2)? 对?2 ? ?3 ? 2 , 由(2E ? A) X ? 0, 得两线性无关特征向量:
? ,?3 =(2,0,1) ? ?2 =(-2,1,0)

五、证明题 (每题 9 分,共 27 分)

?1 , ? 2 , 1、设 V 为数域 P上的 n 维线性空间,

,?n 为 V 的一组基,证明 V ? L ??1, ?1 ? ?2 , , ?1 ? ?2 ? ? ?n ? 证明: 考虑 k1?1 ? k2 ( ?1 ? ?2 ) ? ? kn ( ?1 ? ?2 ? ? ?n) ? 0

? (k1 ? k2 ? ... ? k n) ?1 ? ( k2 ? ... ? k n) ?2 ? ? k n?n ? 0 因为 ?1 , ? 2 , , ? n 是 V 的一组基,故线性无关, ?k1 ? k2 ? ... ? kn ? 0 ? k2 ? ... ? kn ? 0 ? 于是只有 ? 而此方程组只有零解, ? ? kn ? 0 ? 故 n 个向量 ?1 , ?1 ? ?2 , , ?1 ? ?2 ? ? ? n 线性无关, 所以可作为 V 的一组基,即 V ? L ??1, ?1 ? ?2 , , ?1 ? ?2 ? ? ?n ?

8

五、证明题 (每题 9 分,共 27 分)

?1 , ? 2 , 1、设 V 为数域 P上的 n 维线性空间,
证法二: ?1 , ?1 ??2 ,

,?n 为 V 的一组基,证明 V ? L ??1, ?1 ? ?2 , , ?1 ? ?2 ? ? ?n ?

1? ?1 1 ? ? 0 1 1? 记作 ?? , ? , , ? ? A ? ??1 , ?2 , , ? n ? ? 1 2 n ? ? ? ? 1? ?0 0 因为 A 是可逆矩阵,而?1 , ? 2 , , ? n是线性无关组, 所以 n 个向量 ?1 , ?1 ? ?2 , , ?1 ? ?2 ? ? ? n 也是线性无关的, 从而可作为 V 的一组基,即 V ? L ??1, ?1 ? ?2 , , ?1 ? ?2 ? ? ?n ?

, ?1 ??2 ?

?? n

? ,? 都是数域 P 上线性空间 V 的线性变换,且 ?? ? ?? , 证明 :Im(? ) 和 Ker (? ) 都是? —子空间。 证明:( 1)?? ? Im ?? ? , ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 往证: ? ?? ?V使 ? ? ? ?? ?
3、设

? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? Im ?? ?
所以 Im ?? ? 是? —子空间。 ( 2) ?? ? Ker ?? ? , 因

? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? 0? ? 0

? ? ?? ?? ? ? ? 0 ? ?往证: ?

?? ?? ? ? Ker ?? ?
所以 Ker ?? ? 是 ? —子空间。

9


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