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必修2__圆与方程知识点归纳总结

必修 2

圆与方程
1. 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 .

2. 点与圆的位置关系: (1). 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: a.点在圆内 d<r; b.点在圆上 d=r; c.点在圆外 d>r

(2). 给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2 (3)涉及最值: ① 圆外一点 B ,圆上一动点 P ,讨论 PB 的最值

PB min ? BN ? BC ? r PB max ? BM ? BC ? r
② 圆内一点 A ,圆上一动点 P ,讨论 PA 的最值

PA min ? AN ? r ? AC PA max ? AM ? r ? AC
思考:过此 A 点作最短的弦?(此弦垂直 AC ) 3. 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . (1) 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时, 方程表示一个圆, 其中圆心 C ? ?
? D E? ,? ? , 半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2
1

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(2) 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?

? D E? ,? ? . 2? ? 2

(3) 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程不表示任何图形. 注 : 方 程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 : B ? 0 且 A ? C ? 0 且
D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 .

4. 直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 圆心到直线的距离 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

1) d ? r ? 直线与圆相离? 无交点; 2) d ? r ? 直线与圆相切? 只有一个交点; 3) d ? r ? 直线与圆相交? 有两个交点;弦长|AB|=2 r 2 ? d 2

r

d

d=r

r

d

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ? 的个数来判断:

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解,通过解

(1)当 ? ? 0 时,直线与圆有 2 个交点, ,直线与圆相交; (2)当 ? ? 0 时,直线与圆只有 1 个交点,直线与圆相切; (3)当 ? ? 0 时,直线与圆没有交点,直线与圆相离; 5. 两圆的位置关系
2 2 (1)设两圆 C1 : ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r 1 与圆 C2 : ( x ? a2 ) ? ( y ? b2 ) ? r2 , 2 2

圆心距 d ? ① ② ③

( a1 ? a2 ) 2 ? (b1 ? b2 ) 2

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;
d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;
r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

2

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④ ⑤

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;
0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离 (2)两圆公共弦所在直线方程

外切

相交

内切

圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ?0, 圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 , 则 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? ? F 1 ?F 2 ? ? 0 为两相交圆公共弦方程. 补充说明: ① 若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程; ② 若 C1 与 C2 相离,则表示连心线的中垂线方程. (3)圆系问题
2 2 过两圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? 0 和 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ? 0 交点的圆系
2 2 2 2 方程为 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ( ? ? ?1 )

?

?

补充: ① 上述圆系不包括 C2 ; ② 2)当 ? ? ?1 时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)

? C?0 与 圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 交 点 的 圆 系 方 程 为 ③ 过 直 线 A x? B y

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0

6. 过一点作圆的切线的方程: (1) 过圆外一点的切线: ①k 不存在,验证是否成立 ②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即

3

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? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ? ?R ? R 2 ?1 ?

求解 k,得到切线方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1,—2)点作圆(x+1) +(y—2) =4 的切线,则切线方程为
2 2



(2) 过圆上一点的切线方程:圆(x—a) +(y—b) =r ,圆上一点为(x0,y0), 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r
2

2

2

2

特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 . 例 2.经过点 P(—4,—8)点作圆(x+7) +(y+8) =9 的切线,则切线方程为
2 2



7.切点弦 (1)过⊙C:( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 外一点 P( x0 , y0 ) 作⊙C 的两条切线, 切点分别为 A、B , 则切点弦 AB 所在直线方程为: ( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 8. 切线长: 2 若 圆 的 方 程 为 (x?a)

(y?b) = r , 则 过 圆 外 一 点 P(x0,y0) 的 切 线 长 为
2 2

d= ( x0 ? a) 2 + ( y 0 ? b) 2 ? r 2 .

9. 圆心的三个重要几何性质: ① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ② 圆心在某一条弦的中垂线上; ③ 两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆 C1:x +y —2x =0 和圆 C2:x +y +4 y=0,试判断圆和位置关系, 若相交,则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。
2 2 2 2

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