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2015年全国新课标I卷高考理科数学模拟试卷及答案

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2015 年高考理科数学押题密卷(全国新课标Ⅰ卷) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且
只有一项符合题目要求.
(1)已知集合 A={ (x ,y)|x,y 为实数,且 x 2+ y2=4} ,集合 B={(x ,y) |x,y 为实数,且 y=x

- 2} , 则 A ∩ B 的元素个数为(



(A)0

(B)1 (C)2

(D)3

(2)复数 =

z

1- 1+

32ii ,则

( A ) |z|= 2 (B) z 的实部为 1( C) z 的虚部为- i

( D) z 的共轭复数为- 1+ i

2),若 P (X≤ 2=) 0.72, (3)已知随机变量 X 服从正态 分布N (1,σ
开始 则 P (X≤ 0=)

( A ) 0.22 ( C) 0.36

( B) 0.28 ( D) 0.64

输入x

k= 0 (4)执行右面的程序框图,若输出的 k= 2,则输入x 的取值



围是

( A )(21, 41)

( B) [21, 41]

( C) (21,41]

( D) [21, 41)

k= k+ 1 x=2x-1

(5)已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, a1 + a3=

5 2

,且

a2+

5 a4 =
4

Sn ,则
= a

n

n-1

n

-1

(A 4 )

(B

n-1

4) n

- 1

(C 2 )

(D

22

2)

(6)过双曲 线

x 2- a

y 2= 1 b

的一个焦点

F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O 为原

点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为

(A) 2

(B)2

( C) 5

(D) 3

x≤ 81? 否
输出 k
结束

(7)已知函数 f (x)= cos(2x+ π 2π

3 ),g (x)= sin(2x+ 3 )

,将 f (x)的图象经过下列哪种变换可以与

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g (x)的图象重合

( A )向左平 移

π 12 π

( B )向 右平移

π 12 π

( C )向 6 左平移

( D)向右平 6 移

(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

11 3

6 (A)

(C )

53 3

(B) 3

(D )

4 3
3

2

1 正视图1

3 侧视图

(9)已知向量 a=( 1, 2),b=( 2,3)若( c+a)∥b,c⊥(b+a),则 俯视图

c= ( A )(7 ,
9

7 3 )( B )(

7, 3

7

7,

9)

( C)( 3

7 9)

( D)(-

7 9

,- 7 3)

可编辑

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(10) 4 名研究生到三家单位应聘,每名研究生至多被一家单位录用,则每家单位至少录用

一名研究生的情况有

( A ) 24 种 ( B) 36 种

( C) 48 种

2

(11)函 f ( 2 cos ( x 1) x



x

,其图像的对称中心是

( D) 60 种

) x1

( A )(- 1, 1) ( C)( 0, 1)

(B )( 1,- 1) (D )( 0,- 1)

11 (12)关于曲线 C: x 2 = 1,给出下列四个命
2 + 题: y

①曲线 C 有且仅有一条对称轴;

②曲线 C 的长度l 满足l> 2;

③曲线 C 上的点到原点距离的最小 值为

2 4



④曲线 积是

C 与两坐标轴所围成图形的面

1 6

上述命题中,真命题的个数是

(A )4 (C)2 二、填空题:本大题共

(B)3 (D)1 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上.

(13)在

(1+ x2)(1 2

5的展开式中,常数项为 __________.



x)

(14)四棱锥P-ABCD 的底面是边长为 4 2 的正方形,侧棱长都等于

个顶点的球面面积为 _________.

C

4 5,则经过该棱锥五

(15)点 P 在 △ABC 内部(包含边界) , |AC|=3, |AB|=4, |BC|=5,

点 P 到三边的距离分别是 值范围

d1, d2 , d3 ,则 d1+d2+d3 的取

d1

d
3

P

是 _________. (16)△ABC 的顶点 A 在 y

d2 2=4x A

B

上, B, C 两点在直线 x- 2y+5=0

2=4x 上, B, C 两点在直线 x-

2y+5=0

上,若| AB - AC |= 2 5 ,则△ABC 面积的最小值为 _____.

三、解答题:本大题共 70 分,其中( 17) — ( 21)题为必考题, ( 22),(23),(24)题为选

考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分 12 分)

在△ABC 中,角 A,B, C 的对边分别为 a,b, c,且 a≥b, sin A+ 3cos A= 2sin B. (Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ) 求

a+b 的最大 值.
c

(18)(本小题满分 12 分)

某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下:





97078

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633 1 1 0 579 8 3 2 1 3 (Ⅰ)比较这两名队员在比赛 中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 .. 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名 队员在同一场比赛中得分多少互不影响, 预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、 乙两名队员得 分 均.超.过. 15 分次数 X 的分布列和均值.
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(19)(本小题满分 12 分)

如图,三棱柱ABC-A1B1C1 的侧面 AB1B1A 为

C

C

正方形,侧面 BB1C1C 为菱形,∠ CBB1= 60 ,

1

AB⊥B1C. (Ⅰ)求证:平面 AB1B1A⊥BB1C1C; B
(Ⅱ)求二面角 B-AC -A1 的余弦值. B 1 B

(20)(本小题满分2 122 分)

A

xy

已知椭圆 C :

2+

2= 1( a> b> 0)经过点

ab

M (- 2,-1),离心 率为

2 .过点 M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 的

另外两点 P、 Q. 2

(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)证明:直线PQ 的斜率为定值,并求这个 定值;

(Ⅲ)∠PMQ 能否为直角?证明你的结论.

A 1 A C 交于异于 M

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 x 轴是函数图象的一 条切线.(Ⅰ)求 a; (Ⅱ)已知;
(Ⅲ)已知:

请考生在第( 22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

(22)(本小题满分 10 分)选修4-1:几何证明选讲

B D

︵ 如图所示, AC 为⊙O 的直径, D 为 BC 的中点, E 为

E BC 的中点.

(Ⅰ)求证: DE∥AB; (Ⅱ)求证: AC·BC=2AD·CD.

A

O

C

(23)(本小题满分 10 分)选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中,直线C1 的极坐标方程为 ρsin θ= 2,M 是 C1 上任意一点,点
线OM 上,且满足|OP| ·|OM |= 4,记点 P 的轨迹为 C2. (Ⅰ)求曲线C2 的极坐标方程;

P 在射

(Ⅱ)求曲线C2 上的点到直线ρcos(θ+

4) = 2 距离的最大 值.

(24)(本小题满分 10 分)选修4-5:不等式选讲 设f (x)= |x- 3|+ |x- 4|.
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(Ⅰ)解不等式 f (x) ≤ ;2 (Ⅱ)若存在实数 x 满足f (x) ≤ax- 1,试求实数 a 的取值范围.
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参考答案

2015 年高考理科数学押题密卷( 全国新课标Ⅰ卷)

一、选择题: CDBCD ABCDD BA
二、填空题:

( 13)41;
(15) [ 三、解答题:
( 17)解:(Ⅰ)

( 14)100 ;

12 5 , 4];

(16) 1.

sin A+ 3cos A= 2sin B 即 2sin 3 )=2sin B,则sin (A+ (A+

3)

= sin B.

?

3分

因为 0< A, B< ,又 a≥ b 进而A≥ B,

所以 A+ + B=



- B,故

A

2 3

, =

C

3

. ?

?

?

? 6

?? 分

?

??

??

3

(Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得

a+ b sin A+ sin B 2

= c

sin C = 3[sin A+ sin (A+

3 )]

6)

= 3sin A+ cos A= 2sin (A

.? 10





当 A= 时 ,
3

a+ b 取最大值 2. ? ? ? 12 分
c

????????

( 18)解:

(Ⅰ)x甲=
甲 =

1 8 (7+ 9+ 11+ 13+ 13+ 16+ 23+ 28)= 15,

x乙 =

1 8 (7+ 8+ 10+15+ 17+19+ 21+ 23)= 15,

2 s甲 =

1

2+ (- 6)2+ (- 4)2+ (- 2)2+(-2)2+ 12+82+ 132]

8

= 44.75,

[( - 8)

2 s 乙 =

1

2+ (- 7)2+ (- 5)2+ 02+ 22+ 42+ 62+ 82]

8

= 32.25.

[( - 8)

甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小)

.?

(Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过15 分的概率分别为 p1=

3 8

, p2

1

3

=2

,两人得分均超过15

分的概率分别为 k

p1p22-=k16



4分

依题意, X~ B (2, 3 16)

3 13
2k(16)(16)
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, k=0, 1,2,

?

7分

, P (X= k)=C

X 的分布列为

X

0

1

2

P

169 78

9

256 256 256

? 10 分

X 的均值 =

3 E (X)=2×

3 8

. ?

?

?

12 分

????????

16

( 19)解: (Ⅰ)由侧面 AB1B1A 为正方形,知AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C,
又 AB 平面 AB1B1A,所以平面 AB1B1A⊥BB1C1C. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4分

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z

C

C

1

B

O

B1

y

B

A (Ⅱ)建立如图所示的坐标系 O- xyz.

x

A 1

A

其中 O 是 BB1 的中点, Ox∥AB, OB1 为 y 轴, OC 为 z 轴.

设 AB= 2,则 A (2,- 1, 0), B (0,- 1, 0), C (0, 0,

→ → = (- 2, 0, 0), AC = (- 2, 1, 3), AA AB



= (0, 2,0). 16 分

3), A1(2, 1,0). ?

设 n1= (x1, y1, z1)为面 ABC 的法向量,则 n1·→AB = 0,n1·→AC = 0,



- -

2x1= 2x1+

0, y1+

3z1

取 z1=- 1,得 n1= (0, 3,-

1).

? 8分

= 0.

设 n2= (x2, y2, z2)为面 ACA1 的法向量,则 n2·→AA1= =

0,n

0,



2· A

C



2y2= 0, - 2x2+ y2+

3z2

取 x2= 3,得 n2= ( 3, 0, 2). ? ? ? ? 10 分

?

?

?

= 0.

所以

cos

n 1, n 2

n1·n2 =

=-

7 . 7

|n1||n2|

因此二面角 为-

B-AC -A1 的余弦值

7 .

??

?

???????? 12 分

7

( 20)解:

(Ⅰ)由题设, 得

41 2+
2 = 1,



ab

2- b2

a



=2,



a

2

由①、②解得 a

2=6, b2= 3, x2+y 2

椭圆C 的方程为

=1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3



63

(Ⅱ)记P (x1, y1)、 Q (x2, y2).

设直线M2P 的方程为 y+ 1= k(x+2),与椭 圆C 的方程联立,得

2+(8 k2-4k) x+ 8k2- 8k- 4= 0,

(1+ 2k )x

2- 8k- 4

-4k2+ 4k

+ 2 8k

- 2, x1 是该方程的两根,则- 2x1=

2 , x1=

1+ 2k

1+ 2k

2.

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设直线MQ 的方程为 y+1=- k(x+ 2),

- 4k

2- 4k+ 2

同? 理6得 x2=分

2 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1+ 2k

因 y1+ 1=k(x1+ 2), y2+1=- k(x2+ 2),

故 =

kPQ

y1-y2 k (x1+ 2)+ k(x2

+=x1-2)x2=

x1- x2

k(x1+

x2+

4)

8k 2 1+ 2k

x1 - x2





1,

8k 2

1+2k

因此直线PQ 的斜率为定值. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分

(Ⅲ)设直线MP 的斜率为 k,则直线MQ 的斜率为- k,

假设∠PMQ 为直角,则 k·(- k)=- 1, k=±1.

若 k=1,则直线MQ 方程 y+ 1=- (x+2),

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与椭圆 C 方程联立,得 x 2+ 4x+ 4= 0,
该方程有两个相等的实数根- 2,不合题意; 同理,若 k=- 1 也不合题意. 故∠PMQ 不可能为直角. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

( 21)解:(Ⅰ)f (x) = 当 x∈(0, a)时, f ( x)< 0, f (x)单调递减,

当 x∈(a,+ ∞)时, f (x)> 0, f (x)单调递增.

∵ x 轴是函数图象的一条切线,∴ 切点为( a, 0).

f (a)=lna +1=0,可知 a=1.

???????????4 分

(Ⅱ)令 1+ ,由 x> 0 得知 t> 1,,于是原不等式等价于:

.

取,由 (Ⅰ)知:

当 t∈(0, 1)时, g ( t)< 0, g (t)单调递减,

当 t∈(1,+ ∞)时, g (t)>0, g (t)单调递增.

∴ g (t )> g (1)=0,也就是 .

∴.

???????????8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ )知: x 是正整数时,不等式 也成立,可以令:

x=1,2, 3, ? , n-1,将所得各不等式两边相加,得:

即.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

(22)证明:



(Ⅰ)连接OE,因为 D 为 BC 的中点, E 为 BC 的中点,所以 OED 三点共线.

B

D 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点,所以

OE∥AB





DE∥AB.

?????

? ? ? ? ? ? 5分



A

(Ⅱ)因为 D 为 BC 的中点,所以∠BAD=

∠DAC ,

E C
O

又∠BAD DCB DAC DCB





∠ =∠ .

又因为 AD DC DE CE

⊥ , ⊥ △ ∽△

AC AD CD CE


AD·CD= AC·CE

DAC .

ECD

2AD·CD=AC·2CE

2AD·CD=AC·BC.

???????????

1 分0

( 23)解:

(Ⅰ)设P ( ρ,θ),M (ρ1,θ ),依题意有

ρ1sin θ=2,ρ ρ 1= 4.

???????????3 分

消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 分

(Ⅱ)将 C2, C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得

2+ (y- 1)2= 1,C3: x- y=2.

???????????7 分

C2: x

C2 是以点 (0, 1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 的距离 d=

C

3

3 2

2



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故曲线 C2 上的点到直线 1+

C3 距离的最大值为

32 2



????????

(24) 解 :

? ? ? 10 分

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7-2x, x< 3,

(Ⅰ)f ( x)= |x-3|+ |x- 4|= 1, 3≤x≤ 4, ???????????2 分

2x-7, x> 4.

作函数 y= f ( x)的图象,它与直线 坐标为

y=2

5 交点的横



9 2

,由图象 知

2

[ 不等式 f (x) ≤ 2 的解集为5

,9

2 2]



????????

???5 分

y

a=- 2

y= f (x)

y=

ax-1

y= 2

a =

1 2

O - 1

y=ax-1

5 2

3 4

9 2

x

(Ⅱ)函数 y= ax- 1 的图象是过点 (0,- 1)的直线. 当且仅当函数 y= f (x)与直线 y= ax- 1 有公共点时,存在题设的 x.

由图象知, a 取值范围为(- ∞,-

,+ ∞). ? ? ? ? ? ? ?

2)∪[ 1

? ? 10 分 2

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