新高考数学二轮(文理)专题训练7：三角恒等变换与解三角形(含答案解析)

高考专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形 A 级——基础巩固组 一、选择题 π 24 － ，0?，则 sinα＋cosα＝( 1．已知 sin2α＝－ ，α∈? ? 4 ? 25 1 A．－ 5 解析 24 1 1－ ＝ . 25 5 答案 B π ? 1 ?π ? 2．若 sin? ?4＋α?＝3，则 cos?2－2α?等于( 4 2 A. 9 4 2 B．－ 9 7 C. 9 ) 7 D．－ 9 1 B. 5 7 C．－ 5 ) 7 D. 5 π ? ∵α∈? ?－4，0?，∴cosα>0>sinα 且 cosα>|sinα|，则 sinα＋cosα＝ 1＋sin2α＝ π ? 解析 据已知可得 cos? ?2－2α?＝sin2α π ? 7 2?π ? ?? ＝－cos2? ?4＋α?＝－?1－2sin ?4＋α??＝－9. 答案 D π? 2π 4 3 π α＋ ?等( 3． (2014· 河北衡水一模)已知 sin? － <α<0， 则 cos? 3? ?α＋3?＋sinα＝－ 5 ， ? 2 4 A．－ 5 3 B．－ 5 4 C. 5 3 D. 5 ) π? 4 3 π 解析 ∵sin? ?α＋3?＋sinα＝－ 5 ，－2<α<0， 3 3 4 3 ∴ sinα＋ cosα＝－ ， 2 2 5 ∴ 3 1 4 sinα＋ cosα＝－ . 2 2 5 2π? 2π 2π 1 3 4 ∴cos? ?α＋ 3 ?＝cosαcos 3 －sinαsin 3 ＝－2cosα－ 2 sinα＝5. 答案 C 4．(2014· 江西卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2＝(a－b)2 π ＋6，C＝ ，则△ABC 的面积是( 3 ) A．3 9 3 B. 2 3 3 C. 2 D．3 3 解析 ∵c2＝(a－b)2＋6， ∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① π π ∵C＝ ，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 3 3 由①②得－ab＋6＝0，即 ab＝6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC＝ absinC＝ × 6× ＝ . 2 2 2 2 答案 C 5．(2014· 江西七校联考)在△ABC 中，若 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ ABC 的形状一定是( A．等边三角形 C．钝角三角形 解析 ) B．不含 60° 的等腰三角形 D．直角三角形 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosA· sinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即 sin(A＋B)＝1， π 则有 A＋B＝ ，故三角形为直角三角形． 2 答案 D 6．(2014· 东北三省二模)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinA ＝ ，则 B＝( sinC＋sinB π A. 6 ) π B. 4 π C. 3 3π D. 4 c－b c－a c－b a b c a 解析 由 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ，代入整理得 ＝ ? c2－b2＝ac－a2， 2R 2R 2R c－a c＋b 1 π 所以 a2＋c2－b2＝ac，即 cosB＝ ，所以 B＝ ，故答案为 C. 2 3 答案 C 二、填空题 π? 1 7．设 θ 为第二象限角，若 tan? ?θ＋4?＝2，则 sinθ＋cosθ＝________. 解析 π 1＋tanθ 1 1 10 θ＋ ?＝ tan? ＝ ，解得 tanθ ＝－ ，又 θ 为第二象限角，得 sinθ ＝ ， ? 4? 1－tanθ 2 3 10 3 10 10 cosθ＝－ ，所以 sinθ＋cosθ＝－ . 10 5 答案 － 10 5 8．(2014· 天津卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 b－c 1 ＝ a,2sinB＝3sinC，则 cosA 的值为________． 4 解析 由正弦定理得到边 b，c 的关系，代入余弦定理的变式求解即可． 3 由 2sinB＝3sinC 及正弦定理得 2b＝3c，即 b＝ c. 2 1 1 1 又 b－c＝ a，∴ c＝ a，即 a＝2c. 4 2 4 9 2 2 3 c ＋c －4c2 － c2 4 b2＋c2－a2 4 1 由余弦定理得 cosA＝ ＝ ＝ 2 ＝－ . 2bc 3 2 3c 4 2× c 2 1 答案 － 4 9． (2014· 四川卷)如图， 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 67° ， 30° ，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于________m．(用四舍五入法将结果精 确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 3≈1.73) 解析 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解． 根据已知的图形可得 AB＝ 46 .在△ABC 中，∠BCA＝30° ，∠BAC＝37° ，由正弦 sin67° AB BC 46 定理，得 ＝ ，所以 BC≈2× × 0.60＝60(m)． sin30° sin37° 0.92 答案 60 三、解答题 π? ?5 ? 3 10．(2014· 广东卷)已知函数 f(x)＝Asin? ?x＋4?，x∈R，且 f?12π?＝2. (1)求 A 的值； π 3 3 0， ?，求 f? π－θ?. (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝ ，θ∈? ? 2? ?4 ? 2 解 5π? 2π 3 ?5π π? (1)f? ?12?＝Asin?12＋4?＝Asin 3 ＝2， 3 2 ∴A＝ · ＝ 3. 2 3 π? (2)由(1)得：f(x)＝ 3sin? ?x＋4?， π? π? ? ∴f(θ)＋