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新高考数学二轮(文理)专题训练7:三角恒等变换与解三角形(含答案解析)

高考专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形 A 级——基础巩固组 一、选择题 π 24 - ,0?,则 sinα+cosα=( 1.已知 sin2α=- ,α∈? ? 4 ? 25 1 A.- 5 解析 24 1 1- = . 25 5 答案 B π ? 1 ?π ? 2.若 sin? ?4+α?=3,则 cos?2-2α?等于( 4 2 A. 9 4 2 B.- 9 7 C. 9 ) 7 D.- 9 1 B. 5 7 C.- 5 ) 7 D. 5 π ? ∵α∈? ?-4,0?,∴cosα>0>sinα 且 cosα>|sinα|,则 sinα+cosα= 1+sin2α= π ? 解析 据已知可得 cos? ?2-2α?=sin2α π ? 7 2?π ? ?? =-cos2? ?4+α?=-?1-2sin ?4+α??=-9. 答案 D π? 2π 4 3 π α+ ?等( 3. (2014· 河北衡水一模)已知 sin? - <α<0, 则 cos? 3? ?α+3?+sinα=- 5 , ? 2 4 A.- 5 3 B.- 5 4 C. 5 3 D. 5 ) π? 4 3 π 解析 ∵sin? ?α+3?+sinα=- 5 ,-2<α<0, 3 3 4 3 ∴ sinα+ cosα=- , 2 2 5 ∴ 3 1 4 sinα+ cosα=- . 2 2 5 2π? 2π 2π 1 3 4 ∴cos? ?α+ 3 ?=cosαcos 3 -sinαsin 3 =-2cosα- 2 sinα=5. 答案 C 4.(2014· 江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2 π +6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 ) A.3 9 3 B. 2 3 3 C. 2 D.3 3 解析 ∵c2=(a-b)2+6, ∴c2=a2+b2-2ab+6.① π π ∵C= ,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 3 3 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absinC= × 6× = . 2 2 2 2 答案 C 5.(2014· 江西七校联考)在△ABC 中,若 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ ABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.钝角三角形 解析 ) B.不含 60° 的等腰三角形 D.直角三角形 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB -cosAsinB =1-2cosA· sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即 sin(A+B)=1, π 则有 A+B= ,故三角形为直角三角形. 2 答案 D 6.(2014· 东北三省二模)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sinA = ,则 B=( sinC+sinB π A. 6 ) π B. 4 π C. 3 3π D. 4 c-b c-a c-b a b c a 解析 由 sinA= ,sinB= ,sinC= ,代入整理得 = ? c2-b2=ac-a2, 2R 2R 2R c-a c+b 1 π 所以 a2+c2-b2=ac,即 cosB= ,所以 B= ,故答案为 C. 2 3 答案 C 二、填空题 π? 1 7.设 θ 为第二象限角,若 tan? ?θ+4?=2,则 sinθ+cosθ=________. 解析 π 1+tanθ 1 1 10 θ+ ?= tan? = ,解得 tanθ =- ,又 θ 为第二象限角,得 sinθ = , ? 4? 1-tanθ 2 3 10 3 10 10 cosθ=- ,所以 sinθ+cosθ=- . 10 5 答案 - 10 5 8.(2014· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 b-c 1 = a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为________. 4 解析 由正弦定理得到边 b,c 的关系,代入余弦定理的变式求解即可. 3 由 2sinB=3sinC 及正弦定理得 2b=3c,即 b= c. 2 1 1 1 又 b-c= a,∴ c= a,即 a=2c. 4 2 4 9 2 2 3 c +c -4c2 - c2 4 b2+c2-a2 4 1 由余弦定理得 cosA= = = 2 =- . 2bc 3 2 3c 4 2× c 2 1 答案 - 4 9. (2014· 四川卷)如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 67° , 30° ,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将结果精 确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, 3≈1.73) 解析 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解. 根据已知的图形可得 AB= 46 .在△ABC 中,∠BCA=30° ,∠BAC=37° ,由正弦 sin67° AB BC 46 定理,得 = ,所以 BC≈2× × 0.60=60(m). sin30° sin37° 0.92 答案 60 三、解答题 π? ?5 ? 3 10.(2014· 广东卷)已知函数 f(x)=Asin? ?x+4?,x∈R,且 f?12π?=2. (1)求 A 的值; π 3 3 0, ?,求 f? π-θ?. (2)若 f(θ)+f(-θ)= ,θ∈? ? 2? ?4 ? 2 解 5π? 2π 3 ?5π π? (1)f? ?12?=Asin?12+4?=Asin 3 =2, 3 2 ∴A= · = 3. 2 3 π? (2)由(1)得:f(x)= 3sin? ?x+4?, π? π? ? ∴f(θ)+

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