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高一数学教案:对数函数教案


对数函数教案
教学目标 1.使学生掌握对数函数的定义,会画对数函数的图象,掌握对数函数的性 质. 2.通过对数函数与指数函数互为反函数的教学,学生进一步加深对反函数 概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解. 3.通过比较、对照的方法,学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质, 认识两个函数的内在联系,提高学生对函数思想方法的认识和应用意识. 教学重点与难点 教学重点是对数函数的定义、图象及性质.难点是由对数函数与指数函数互 为反函数这一关系,利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质. 教学过程设计 师:在新课开始前,我们先复习一些有关概念.什么叫对数? 生:若 ab=N,则数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b.其中 a 为底数, N 是真数. 师:各个字母的取值范围呢? 生:a>0 巳 a≠1;N>0;b∈R, 师:这个定义也为我们提供了指数式化对数式,对数式化指数式的方法.请 将 bp=M 化成对数式. 生:bp=M 化为对数式是 logbM=p. 师:请将 logca=q 化为指数式. 生:logca=q 化为指数式是 cq=a. 师;什么是指数函数?它有哪些性质? (生回答指数函数定义及性质.) 师:请大家回忆如何求一个函数的反函数? 生:(1)先求原来函数的定义域和值域;(2)把函数式 y=f(x) x 与 y 对换, 此反函数可记作 x=f-1 (y) ; (3) 把 x=f-1 (y) 改写成 y=f-1 (x) , 并写出反函数的定义域.

师:好.为什么求一个函数的反函数时,要先求出这个函数的定义域和值域 呢? 生:求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域,而原来函数的值域就是 其反函数的定义域. 师:很好.原来函数的定义域和值域,就是其反函数的值域和定义域.根据 前面复习的求反函数的方法,请同学们求函数 y=ax(a>0,a≠1)的反函数. 生:函数 y=ax(a>0,a≠1)的定义域 x∈R,值域 y∈(0,+∞).将指数 式 y=ax 化为对数式 x=logay,所以函数 y=ax(a>0,a≠1)的反函数为 y=logax (x>0). 师:今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数,它是指数函数的反函 数. 定义 函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数. 因为对数函数 y=logax 是指数函数 y=ax 的反函数,所以要说明以下两点: (1)对于底数 a,同样必须满足 a>0 且 a≠1 的条件. (2)指数函数的定义域为 R,值域为 R+.根据反函数性质可知:对数函数的 定义域为 R+,值域为 R. 同指数函数一样,在学习了函数定义之后,我们要画函数的图象.应该如何 画对数函数的图象呢? 生:用描点法画图. 师:对.我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式,列表、描点画 图.再考虑一下,我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢? 生:因为对数函数是指数函数的反函数,所以它们的图象关于直线 y=x 对 称.因此,只要画出指数函数的图象,就可利用图象的对称性画出对数函数的图 象. 师:非常好.我们画对数函数图象,即可用描点法,也可用图象变换法. 师:由于对数函数是指数函数的反函数,指数函数图象分 a>1 和 0<a<1 两类,因此对数函数图象也分 a>1 和 0<a<1 两类.现在我们观察对数函数图 象,并对照指数函数性质来分析对数函数的性质. 生:对数函数的图象都在 y 轴右侧,说明 x>0.

生:函数图象都过(1,0)点,说明 x=1 时,y=0. 师:对.这从直观上体现了对数式的真数大于 0 且 1 的对数是 0 的事实.请 继续分析. 生:当底数是 2 和 10 时,若 x>1,则 y>0,若 x<1,则 y<

师:对.由此可归纳得到:当底数 a>1 时,若 x>1,则 y>0;若 0<x<1, 则 y<0,反之亦然.当底数 0<a<1 时,看 x>1,则 y<0;若 0<x<1,则 y >0,反之亦然.这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系.再 继续分析. 生:当底数 a>1 时,对数函数在(0,+∞)上递增;当底数 0<a<1 时, 对数函数在(0,+∞)上递减. 师:好.下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表. 名 称 指 数 函 数 y=ax(a>0,a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞) 对 数 函 数 y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞)

解析式 定义域 值 域

单调性 数 图象

当 a>1 时,logax 是增 当 a>1 时, ax 是增函数; 函数; 当 0<a<1 时, ax 是减函 当 0<a<1 时,logax 是减函数. y=ax 的图象与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称

师:今天我们所要讲的有关概念就讲完了,现在我们通过例题进一步巩固理 解这些概念. 例 2 求下列函数的定义域:

生:(1)因为 x2>0,所以 x≠0,即 y=logax2 的定义域是(-∞,0)∪(0, +∞). 生: (2)因为 4-x>0,所以 x<4,即 y=loga(4-x)的定义域是(-∞,4).

师:在这个函数的解析式中,不仅有对数式,还有二次根式,因此要求定义 域,既要真数大于 0,还要被开方数大于或等于 0,从而得到不等式组,这个不 等式组如何解,问题出在 log0.5(3x-1)≥0 上,怎么办? 生:把 0 看作 log0.51,即 log0.5(3x-1)≥log0.51,因为 0<0.5<1,所以此 函数是减函数,所以 3x-1≤1. 师:对.他是利用了对数函数的单调性.还有别的说法吗? 生:因为底数 0<0.5<1,而 log0.5(3x-1)≥0,所以 3x-1≤1. 师:对.他是利用了对数函数的第三条性质,根据函数值的范围,判断了真 数的范围,因此只要解 0<3x-1≤1,即可得出函数定义域.

例 3 比较下列各组中两个数的大小: (1)log23 和 log23.5;(2)log0.71.6 和 log0.71.8. 师:请同学们观察这两组数中两个数的特征,想一想应如何比较这两个数的 大小. 生:这两组数都是对数.每组中的对数式的底数相同,而真数不同,因此可 根据函数 y=log2x 是增函数的性质来比较它们的大小. 师:对.针对(1)中两个数的底数都是 2,我们构造函数 y=log2x,利用这 个函数在(0,+∞)是单调递增的,通过比较真数的大小来决定对数的大小.请 一名同学写出解题过程. 生:(板书) 解:因为函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,又因 0<3<3.5,所以 log23<log23.5. 师:好.请同学简答(2)中两个数的比较过程.并说明理由.

生:因为函数 y=log0.7x 在(0,+∞)上是减函数,又因 0<1.6<1.8,所以 log0.71.6>log0.71.8. 师:对.上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小.当两个对数式的 底数相同时,我们构造对数函数.对于 a>1 的对数函数在定义域内是增函数; 对于 0<a<1 的对数函数在定义域内是减函数.只要比较真数的大小,即可得到 函数值的大小. 例 4 比较下列各组中两个数的大小: (1)log0.34 和 log0.20.7;(2)log23 和 log32. 师:这两组数都是对数,但它们的底数与真数都不相同,不便于利用对数函 数的单调性比较它们的大小. 请大家仔细观察各组中两个数的特点,判断出它们 的大小. 生:在 log0.34 中,因为底数 0<0.3<1,且 4>1,所以 log0.34<0;在 log0.
2

0.7 中,因为 0<0.2<1,且 0.7<1,所以 log0.20.7>0,故 log0.34<log0.20.7. 师:很好.根据对数函数性质,当底数 0<a<1 时,若 x>1,则 y<0;若 0

<x<1,则 y>0.由此可以判定这两个数中,一个比零大,另一个比零小,从 而比较出两个数的大小,这是采用了“中间量法”.请比较第(2)组两个数的 大小. 生:在 log23 中,底数 2>1,真数 3>1,所以 log23>0;在 log32 中,底数 3>1,真数 2>1,所以 log32>0,? 师:根据对数性质可判断:log23 和 log32 都比零大.怎么办? 生:因为 log23>1,log32<1,所以 log23>log32. 师:很好.这是根据对数函数的单调性得到的,事实上,log23>log22=1,l og32<log33=1,这里利用了底数的对数为 1,即 log22=log33=1,从而判断出一个 数大于 1,而另一个数小于 1,由此比较出两个数的大小. 请同学们口答下列问题: 练习 1 求下列函数的反函数: (2)y=0.7x(x∈R); (4)y=log0.6x(x>0).

(1)y=3x(x∈R); (3)y=log5x(x>0);

生:y=3x(x∈R)的反函数是 y=log3x(x>0). 生:y=0.7x(x∈R)的反函数是 y=log0.7x(x>0). 生:y=log5x(x>0)的反函数是 y=5x(x∈R). 生:y=log0.6x(x>0)的反函数是 y=0.6x(x∈R). 练习 2 述理由. 生:在 log50.1 中,因为 5>1,0.1<1,所以 log50.1<0. 生:在 log27 中,因为 2>1,7>1,所以 log27>0. 生:在 log0.60.1 中,因为 0.6<1,0.1<1,所以 log0.60.1>0. 生:在 log0.43 中,因为 0.4<1,3>1,所以 log0.43<0. 练习 3 用“<”号连接下列各数: 指出下列各对数中,哪个大于零?哪个小于零?哪个等于零?并简

0.32,log20.3,20.3. 生:由指数函数性质可知 0<0.32<1,20.3>1,由对数函数性质可知 log20. 3<0,所以 log20.3<0.32<20.3. 师: 现在我们将这节课的内容小结一下, 本节课我们介绍了对数函数的定义、 图象及性质,请同学回答对数函数的定义及性质. 生:(复述)?? 师:对数函数的定义,我们是通过求指数函数的反函数而得到的,从而揭示 了指数函数与对数函数之间的内在联系,对于对数函数的图象及性质,都可以利 用指数函数的图象及性质得到. 对于对数函数的性质,可以利用对数函数图象记 忆,也可以对照指数函数的性质记忆. 对于函数的定义域,除了原来要求的分母不能为 0 及偶次根式中被开方式大 于或等于 0 以外,还应要求对数式中真数大于零,底数大于零且不等于 1.如果 函数中同时出现几种情况,就要全部考虑进去,求它们共同作用的结果. 例 3、例 4 都是利用对数函数的性质,通过“函数法”和“中间量法”比较 两个数大小的典型例子. 补充题比较下列各题中两个数值的大小: (1)log30.7 和 log0.20.5; (3)log0.50.6 和 log0.60.5; (2)log0.64 和 log7.11.2; (4)log25 和 log34.

比较下列各题中两个数值的大小: (1)log30.7 和 log0.20.5; (3)log0.50.6 和 log0.60.5; (2)log0.64 和 log7.11.2; (4)log25 和 log34.


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