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2015年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)解析

2015 年东北三省三校高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分) (2015?辽宁校级一模)已知集合 A={x|﹣2<x<1},B={x|x ﹣2x≤0},则 A∩ B=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|0≤x<1} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|﹣2<x≤1} 2. (5 分) (2015?辽宁校级一模)复数 =( )

A.2( +i) B.1+i C.i D.﹣i 2 3. (5 分) (2015?辽宁校级一模)点 M(1,1)到抛物线 y=ax 准线的距离为 2,则 a 的值为( A. B.﹣ C. 或﹣ D.﹣ 或



4. (5 分) (2015?辽宁校级一模)设 Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和,且 a1>0,若 S5=S9,则当 Sn 最大 时,n=( ) A.6 B.7 C.10 D.9 5. (5 分) (2015?辽宁校级一模) 执行如图所示的程序框图, 要使输出的 S 值小于 1, 则输入的 t 值不能是下面的 ( A.2012 B.2016 C.2014 D.2015 )

6. (5 分) (2015?辽宁校级一模)下列命题中正确命题的个数是( ) 2 2 ① 对于命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R,均有 x +x﹣1>0; ② p 是 q 的必要不充分条件,则¬p 是¬q 的充分不必要条件; ③ 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题; ④ “m=﹣1”是“直线 l1:mx+(2m﹣1)y+1=0 与直线 l2:3x+my+3=0 垂直”的充要条件. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7. (5 分) (2015?辽宁校级一模)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几 何体的体积为( ) A.6 B.8 C.10 D.12

8. (5 分) (2015?辽宁校级一模)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,焦点 F 到一条渐近线的距离为 d, 若|FB|≥ d,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1, ] B.[ ,+∞) C. (1,3] D. [ ,+∞) 9. (5 分) (2015?辽宁校级一模)不等式组 B,在 A 中任取一点 P,则 P∈B 的概率为( A. B. C.
n

表示的点集记为 A,不等式组 ) D.
*

表示的点集记为

10. (5 分) (2015?辽宁校级一模)设二项式(x﹣ ) (n∈N )展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 an,bn, 则 A.2
n﹣1

=( +3


n﹣1

B.2(2

+1)

C.2

n+1

D.1
3 2

11. (5 分) (2015?辽宁校级一模)已知数列{an}满足 an= n ﹣ n +3+m,若数列的最小项为 1,则 m 的值为(
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A.

B.

C.﹣

D.﹣ ,若函数 F(x)=f(x)﹣kx 有且

12. (5 分) (2015?辽宁校级一模)已知函数 f(x)= 只有两个零点,则 k 的取值范围为( A. (0,1) B. (0, ) ) C. ( ,1) D. (1,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. (5 分) (2015?南昌校级二模) 向量 , 满足| |=1, | |= , ( + ) ⊥ (2 ﹣ ) , 则向量 与 的夹角为 . 14. (5 分) (2015?南昌校级二模)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,∠ ACB=120°, CA=CB=2 ,AA1=4,则这个球的表面积为 . 15. (5 分) (2015?辽宁校级一模)某校高一开设 4 门选修课,有 4 名同学,每人只选一门,恰有 2 门课程没有同学选 修,共有 种不同选课方案(用数字作答) . 16. (5 分) (2015?辽宁校级一模)已知函数 y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ) (0<φ<π)的图象关于直线 x=1 对称, 则 sin2φ . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分) (2015?辽宁校级一模)已知△ ABC 的面积为 2,且满足 0< (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)=2sin (
2

?

≤4,设



的夹角为 θ.

+θ)﹣

cos2θ 的取值范围.

18. (12 分) (2015?辽宁校级一模)为调查市民对汽车品牌的认可度,在秋季车展上,从有意购车的 500 名市民中, 随机抽样 100 名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ 和频率分布直方图 2 频率分布表Ⅰ 分组(单位:岁) 频数 频率 5 0.05 [20,25] 20 0.20 [25,30] 0.350 ① [30,35] 30 ② [35,40] 10 0.10 [40,45] 100 1.000 合计 (1)频率分布表中的① ② 位置应填什么数?并补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图统计这 500 名志愿者得平均 年龄; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加的宣传活动,再从这 20 名中选取 2 名志愿者 担任主要发言人.记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

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19. (12 分) (2015?辽宁校级一模)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥ 底面 ABCD,E、F 分 别为 AB、PC 的中点. (Ⅰ )求证:EF∥ 平面 PAD; (Ⅱ )若 PA=2,试问在线段 EF 上是否存在点 Q,使得二面角 Q﹣AP﹣D 的余弦值为 若不存在,请说明理由. ?若存在,确定点 Q 的位置;

20. (12 分) (2015?南昌校级二模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,点 A(2,

)在椭圆

上,且 AF2 与 x 轴垂直. (1)求椭圆的方程; (2)过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B,求△ AOB 面积的最大值.

21. (12 分) (2015?辽宁校级一模)已知 a 是实常数,函数 f(x)=xlnx+ax . (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线过点 A(0,﹣2) ,求实数 a 的值; (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) , ① 求证:﹣ <a<0;② 求证:f(x2)>f(x1)>﹣ .

2

【选修 4-4:坐标系与参数方程】
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23. (2015?贵州模拟)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 (t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|?|PB|=1,求实数 m 的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2015?南昌校级二模)设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ )解不等式 f(x)>0; 2 (Ⅱ )若?x0∈R,使得 f(x0)+2m <4m,求实数 m 的取值范围.

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2015 年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中 学)高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分) (2015?辽宁校级一模)已知集合 A={x|﹣2<x<1},B={x|x ﹣2x≤0},则 A∩ B=( ) A. {x|0<x<1} B. {x|0≤x<1} C. {x|﹣1<x≤1} D. {x|﹣2<x≤1} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 解不等式求出集合 B,代入集合交集运算,可得答案. 2 解答: 解:∵ 集合 A={x|﹣2<x<1},B={x|x ﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}, ∴ A∩ B={x|0≤x<1}, 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.
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2. (5 分) (2015?辽宁校级一模)复数 A. 考点: 专题: 分析: 解答: 故选:C. 点评: 2( +i) B.
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=(

) 1+i C. i D. ﹣i

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则即可得出; 解: = =i,

本题考查了复数的运算法则,属于基础题.
2

3. (5 分) (2015?辽宁校级一模)点 M(1,1)到抛物线 y=ax 准线的距离为 2,则 a 的值为( A. 考点: 专题: 分析: 解答: B. ﹣ C. 或﹣ D. ﹣ 或



抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 求出抛物线的准线方程,利用点到直线的距离公式求解即可.
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解:抛物线 y=ax 化为:x =
2

2

2

,它的准线方程为:y=﹣



点 M(1,1)到抛物线 y=ax 准线的距离为 2, 可得|1+ |=2,解得 a= 或﹣ .

故选:C. 点评:

本题考查抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查.

4. (5 分) (2015?辽宁校级一模)设 Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和,且 a1>0,若 S5=S9,则当 Sn 最大时, n=( ) A. 6 B. 7 C. 10 D. 9 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 由题意可得 a7+a8=0,从而可得数列的前 7 项为正数,从第 8 项开始为负数,可得结论. 解:由题意可得 S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0,
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∴ 2(a7+a8)=0,∴ a7+a8=0, 又 a1>0,∴ 该等差数列的前 7 项为正数,从第 8 项开始为负数, ∴ 当 Sn 最大时,n=7 故选:B 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和的最值,得出数列项的正负变化是解决问题的关键,属基础题. 5. (5 分) (2015?辽宁校级一模) 执行如图所示的程序框图, 要使输出的 S 值小于 1, 则输入的 t 值不能是下面的 ( )

A. 考点: 专题: 分析:

2012
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B.

2016

C. 2014

D. 2015

程序框图. 图表型;算法和程序框图. 模拟执行程序框图, 可得程序框图的功能是求 S=sin +sin +…sin +sin +…sin 的值, 观察规律可得 sin 的

取值以 6 为周期,且 sin 解答: 因为 sin

=0,依次验证选项即可得解. +sin =0, >1 +sin +sin +sin = +sin +sin <1 =0<1 +sin2π=0<1 +…sin 的值,

解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是求 S=sin 的取值以 6 为周期,且 sin +sin +…sin +sin +sin +sin +sin = +sin +sin +sin

由 2012=335*6+2,所以输入的 t 值是 2012 时,S=sin 2014=335*6+4,所以输入的 t 值是 2014 时,S=sin 2015=335*6+5,所以输入的 t 值是 2015 时,S=sin 2016=335*6+6,所以输入的 t 值是 2016 时,S=sin

故选:A. 点评: 本题主要考察了循环结构的程序框图,考查了正弦函数的周期性,模拟执行程序框图正确得到程序框 图的功能是解题的关键,属于基本知识的考查. 6. (5 分) (2015?辽宁校级一模)下列命题中正确命题的个数是( ) 2 2 ① 对于命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R,均有 x +x﹣1>0; ② p 是 q 的必要不充分条件,则¬p 是¬q 的充分不必要条件; ③ 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题;
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④ “m=﹣1”是“直线 l1:mx+(2m﹣1)y+1=0 与直线 l2:3x+my+3=0 垂直”的充要条件. A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D . 4 个 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ① 利用命题的否定即可判断出正误; ② 利用充分必要条件定义即可判断出; ③ 利用互为逆否命题之间的等价关系即可判断出正误; ④ 对 m 分类讨论,利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可判断出. 2 2 解答: 解:① 对于命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R,均有 x +x﹣1≥0,因此不正确; ② p 是 q 的必要不充分条件,则¬p 是¬q 的充分不必要条件,正确; ③ 由于命题“若 x=y,则 sinx=siny”是真命题,因此其逆否命题也为真命题,正确;
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④ 当 m=0 时, 直线 l1: mx+ (2m﹣1) y+1=0 与直线 l2: 3x+my+3=0 垂直; m≠0 时, 若两条直线垂直, 则 ﹣1,解得 m=﹣1, 可知:“m=﹣1”是“直线 l1:mx+(2m﹣1)y+1=0 与直线 l2:3x+my+3=0 垂直”的充分不必要条件,因此不正确. 综上可得:正确命题的个数为:2. 故选:B. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定、相互垂直的直线与斜率之间的关系,考查了推理能力,属于中档题.

=

7. (5 分) (2015?辽宁校级一模)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何 体的体积为( )

A.

6

B.

8
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C.

10 D. 12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图得到几何体的直观图,利用直观图即可求出对应的体积. 解答: 解:由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥, 其中面 VAB⊥ 面 ABC, VE⊥ AB,CD⊥ AB, 且 AB=5,VE=3,CD=4, 则该三棱锥的体积 V= × AB?CD?VE= 故选:C =10,

点评:

本题主要考查三视图的应用,利用三视图还原成直观图是解决本题的关键.

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8. (5 分) (2015?辽宁校级一模)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,焦点 F 到一条渐近线的距离为 d, 若|FB|≥ d,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1, ] B. [ ,+∞) C. (1,3] D. [ ,+∞) 考点: 专题: 分析: 双曲线的简单性质. 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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设F (c, 0) , B (0, b) , 一条渐近线的方程为 bx+ay=0, 则 d=

=b, |FB|=

, 利用|FB|≥

d,

可得 a,c 的关系,即可得出双曲线离心率的取值范围. 解答: 因为|FB|≥ 所以
2 2

解:设 F(c,0) ,B(0,b) ,一条渐近线的方程为 bx+ay=0,则 d= d, ≥ b,
2

=b,|FB|=



所以 c ≥2c ﹣2a , 2 2 所以 2a ≥c , 所以 1<e≤ . 故选:A. 点评: 本题考查双曲线离心率的取值范围,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础. 9. (5 分) (2015?辽宁校级一模) 不等式组 在 A 中任取一点 P,则 P∈B 的概率为( A. 考点: 专题: 分析: 解答: B. ) C. D. 表示的点集记为 A, 不等式组 表示的点集记为 B,

二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型. 概率与统计. 分别画出点集对应的区域,求出面积,利用几何概型的公式解答. 解:分别画出点集 A,B 如图,
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A 对应的区域面积为 4×4=16,B 对应的区域面积如图阴影部分面积为 | = ,

=(



由几何概型公式得,在 A 中任取一点 P,则 P∈B 的概率为 故选 A. 点评:



本题考查了几何概型的公式的运用;关键是画出区域,求出区域面积,利用几何概型公式求值.
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10. (5 分) (2015?辽宁校级一模)设二项式(x﹣ ) (n∈N )展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 an,bn, 则 A. 考点: 专题: 分析: 解答:
n

n

*

=( 2
n﹣1

) +3 B.
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2(2

n﹣1

+1) C. 2

n+1

D. 1

二项式定理的应用;数列的求和. 等差数列与等比数列;二项式定理. 首先利用条件求得 an、bn,再利用等比数列的求和公式计算所给的式子,可得结果. 解:由于二项式(x﹣ ) (n∈N )展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 an、bn,
﹣n

n

*

则 an =2 ,bn =2 ,

所以

=

=

=2

n+1

故选:C. 点评:

本题主要考查展开式的二项式系数和与各项系数和的区别,等比数列的求和公式,属于中档题.
3 2

11. (5 分) (2015?辽宁校级一模)已知数列{an}满足 an= n ﹣ n +3+m,若数列的最小项为 1,则 m 的值为( A. 考点: 专题: 分析: 解答: B. C. ﹣ D. ﹣



导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 导数的综合应用.
3 2

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令 f(x)= x ﹣ x +3+m, (x≥1) .利用导数研究其单调性极值与最值,即可得出. 解:数列 an= n ﹣ n +3+m,令 f(x)= x ﹣ x +3+m, (x≥1) .f′ (x)=x ﹣ x,
3 2 3 2 2

由 f′ (x)>0,解得 x> ,此时函数 f(x)单调递增;由 f′ (x)<0,解得 1≤x< ,此时函数 f(x)单调递减. ∴ 对于 f(n)来说,最小值只能是 f(2)或 f(3)中的最小值. f(3)﹣f(2)=9﹣ ﹣( ﹣5)>0,

∴ f(2)最小,∴ ×8﹣5+3+m=1, 解得 m= . 故选:B. 点评: 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值,考查了计算能力,属于中档题.

12. (5 分) (2015?辽宁校级一模)已知函数 f(x)= 只有两个零点,则 k 的取值范围为( A. 考点: (0,1) ) B. (0, )

,若函数 F(x)=f(x)﹣kx 有且

C. ( ,1)

D. (1,+∞)

函数的零点与方程根的关系.

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专题: 分析: 解答:

计算题;导数的概念及应用. 求出双曲线的渐近线方程,y=﹣ln(1﹣x)在 x=0 处的切线方程,即可得出结论. 解:由题意,x≥0,f(x)= 为双曲线 4y ﹣x =1 在第一象限的部分,渐近线方程为 y=± x; =1 可得 x=0,即 y=﹣ln(1﹣x)在 x=0 处的切线方程为 y=x,
2 2

当 k=1 时,由 y=﹣ln(1﹣x) ,可得 y′ =

此时函数 F(x)=f(x)﹣kx 有且只有 1 个零点, ∴ 若函数 F(x)=f(x)﹣kx 有且只有两个零点,则 k 的取值范围为( ,1) , 故选:C. 点评: 本题考查函数的零点,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. (5 分) (2015?南昌校级二模)向量 , 满足| |=1,| |= 考点: 专题: 分析: 与 的夹角. 解答: 则 2+ 解:因为| |=1,| |= + ﹣2=0,即 =0, , ( + )⊥ (2 ﹣ ) , ﹣ =0, 所以( + )?(2 ﹣ )=2 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.
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, ( + )⊥ (2 ﹣ ) ,则向量 与 的夹角为 90° .

由向量垂直的条件可得( + )?(2 ﹣ )=0,根据向量数量积的运算化简得

=0,即可求出向量

所以 ,则向量 与 的夹角为 90°, 故答案为:90°. 点评: 本题重点考查了向量数量积的运算,以及向量垂直的条件,属于中档题. 14. (5 分) (2015?南昌校级二模)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,∠ ACB=120°, CA=CB=2 ,AA1=4,则这个球的表面积为 64π . 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 通过已知体积求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为 O′ ,球心为 O,在 RT△ OAO′ 中,求出球的半径, 然后求出球的表面积即可. 解答: 解:在△ ABC 中,∠ ACB=120°,CA=CB=2 , 由余弦定理可得 AB=6, 由正弦定理,可得△ ABC 外接圆半径 r=2 , 设此圆圆心为 O′ ,球心为 O,在 RT△ OAO′ 中, 得球半径 R= =4, 2 故此球的表面积为 4πR =64π. 故答案为:64π. 点评: 本题是基础题,解题思路是:先求底面外接圆的半径,转化为直角三角形,求出球的半径,这是三棱 柱外接球的常用方法;本题考查空间想象能力,计算能力.
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15. (5 分) (2015?辽宁校级一模)某校高一开设 4 门选修课,有 4 名同学,每人只选一门,恰有 2 门课程没有同学选 修,共有 84 种不同选课方案(用数字作答) . 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 先从 4 门课中任选 2 门,每一门为一步,第一门有 4 为同学可以选,第二门有 3 位同学可选,根据分 步计数原理可得答案.
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解答:
4

解:恰有 2 门选修课没有被这 4 名学生选择,先从 4 门课中任选 2 门,为 =84 种.

=6 种,四个学生选这两种

课共有 2 =16 中,排除四个人全选其中一门课程为 16﹣2=14 种,故有 14 故答案为:84. 点评: 本题考查了分步计数原理,关键是如何分步,属于基础题

16. (5 分) (2015?辽宁校级一模)已知函数 y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ) (0<φ<π)的图象关于直线 x=1 对称,则 sin2φ 考点: 专题: 分析: 解答: . 两角和与差的正弦函数. 三角函数的求值. 利用辅助角公式结合三角函数的对称性,结合二倍角公式进行求解即可.
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解:y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)=

sin(πx+φ﹣α) ,其中 sinα=

,cosα=



∵ 函数的图象关于直线 x=1 对称, ∴ π+φ﹣α= 即 φ=α﹣ +kπ, +kπ, +kπ)=sin(2α﹣π+2kπ)=sin(2α﹣π)=﹣sin2α=﹣2sinαcosα ,

则 sin2φ=sin2(α﹣ =﹣2× × =

故答案为: 点评: 本题主要考查三角函数值的计算,利用辅助角公式以及三角函数的对称轴是解决本题的关键.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分) (2015?辽宁校级一模)已知△ ABC 的面积为 2,且满足 0< (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)=2sin ( 考点: 专题: 分析:
2

?

≤4,设



的夹角为 θ.

+θ)﹣

cos2θ 的取值范围.

两角和与差的正弦函数;数量积表示两个向量的夹角;三角函数的最值. 三角函数的求值. (1)由数量积和三角形的面积公式可得 tanθ 的范围,进而可得 θ 的取值范围;
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(2)化简可得 f(θ)=1+2sin(2θ﹣ 解答: 解: (1)由题意可得

) ,由 θ 的范围和三角函数公式可得. ? =cbcosθ,

∵ △ ABC 的面积为 2,∴ bcsinθ=2, 变形可得 cb= ∴ ? 由 0< =cbcosθ= ? , = , ≤4

≤4,可得 0<

解得 tanθ≥1,又∵ 0<θ<π, ∴ 向量夹角 θ 的范围为[ ,
2

) ; +θ)﹣ cos2θ
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(2)化简可得 f(θ)=2sin (

=2× =1+sin2θ﹣



cos2θ ) ∈[﹣ , ) ,

cos2θ=1+2sin(2θ﹣ , ) ,∴ 2θ﹣

∵ 由(1)知 θ∈[ ∴ sin(2θ﹣ ∴ 1+sin(2θ﹣

)∈[﹣ ,1], )∈[ ,2],

∴ f(θ)的取值范围为:[ ,2] 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及向量的数量积和三角函数的值域,属中档题.

18. (12 分) (2015?辽宁校级一模)为调查市民对汽车品牌的认可度,在秋季车展上,从有意购车的 500 名市民中,随 机抽样 100 名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ 和频率分布直方图 2 频率分布表Ⅰ 分组(单位:岁) 频数 频率 [20,25] 5 0.05 [25,30] 20 0.20 [30,35] ① 0.350 [35,40] 30 ② [40,45] 10 0.10 合计 100 1.000 (1)频率分布表中的① ② 位置应填什么数?并补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图统计这 500 名志愿者得平均 年龄; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加的宣传活动,再从这 20 名中选取 2 名志愿者 担任主要发言人.记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的① ② 位置应填什么数,并补全频率分布直 方图,再根据频率分布直方图能统计出这 500 名志愿者得平均年龄. (2)由表知,抽取的 20 人中,年龄低于 30 岁的有 5 人,故 X 的可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能 求出 X 的分布列及数学期望. 解答: 解: (1)由题意知频率分布表中的① 位置应填数字为: 100﹣5﹣20﹣30﹣10=35, ② 位置应填数字为:
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=0.30. 补全频率分布直方图,
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如右图所示. 平均年龄估值为: (45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1)=33.5(岁) . (2)由表知,抽取的 20 人中,年龄低于 30 岁的有 5 人,故 X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)= = ,

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



∴ X 的分布列为: X P EX=

0

1

2

= .

点评: 本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题 时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 19. (12 分) (2015?辽宁校级一模)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥ 底面 ABCD,E、F 分别 为 AB、PC 的中点. (Ⅰ )求证:EF∥ 平面 PAD; (Ⅱ )若 PA=2,试问在线段 EF 上是否存在点 Q,使得二面角 Q﹣AP﹣D 的余弦值为 若不存在,请说明理由. ?若存在,确定点 Q 的位置;

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考点: 专题: 分析: 论;

二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 空间位置关系与距离;空间角. (Ⅰ )取 PD 中点 M,连接 MF、MA,通过中位线定理可得 EF∥ AM,利用线面平行的判定定理即得结
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(Ⅱ )以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,则平面 PAD 的法向量与平面 PAQ 的法向量的夹角的余弦值即为 计算即可. 解答: 证明: (Ⅰ )取 PD 中点 M,连接 MF、MA, , ,∴ AE MF,



在△ PCD 中,F 为 PC 的中点,∴ MF 正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点,∴ AE

故四边形 EFMA 为平行四边形,∴ EF∥ AM, 又∵ EF?平面 PAD,AM?平面 PAD, ∴ EF∥ 平面 PAD; (Ⅱ )结论:满足条件的 Q 存在,是 EF 中点. 理由如下: 如图:以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,2) ,B(0,1,0) ,C(1,1,0) ,E(0, ,0) ,F( , ,1) , 由题易知平面 PAD 的法向量为 =(0,1,0) , 假设存在 Q 满足条件:设 ∵ =( ,0,1) ,∴ Q( =λ , =( , ,λ) ,λ∈[0,1], , ,λ) ,

设平面 PAQ 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ∴ 由已知: = = ,可得 =(1,﹣λ,0) , = ,解得: , ,

所以满足条件的 Q 存在,是 EF 中点.

点评: 本题考查二面角,空间中线面的位置关系,向量数量积运算,注意解题方法的积累,建立坐标系是解 决本题的关键,属于中档题.
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20. (12 分) (2015?南昌校级二模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,点 A(2,

)在椭圆上,

且 AF2 与 x 轴垂直. (1)求椭圆的方程; (2)过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B,求△ AOB 面积的最大值. 考点: 专题: 分析: 种情况讨论. 解答: 故椭圆方程为 解: (1)有已知:c=2, ; , , , ﹣8(2k +1) , , ,
2

椭圆的简单性质. 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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(1)有已知:c=2,

解得 a=

,b =4,从而写出方程. (2)分 AB 斜率不存在或斜率存在两

2

∴ a=

,b =4,

2

(2)当 AB 斜率不存在时: 当 AB 斜率存在时:设其方程为: 由 由已知:△ =16 =8 即: |AB|= 得

O 到直线 AB 的距离:d= ∴ S△AOB=
2

, ,

=

∴ 2k +1∈[1,2)∪ (2,+∞) , ∴ ∴ 此时 , ,

综上所求:当 AB 斜率不存在或斜率存在时:△ AOB 面积取最大值为 . 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线,考查了学生综合运用所学知识,创造性地解决问题的 能力,解题时要认真审题,仔细解答. 21. (12 分) (2015?辽宁校级一模)已知 a 是实常数,函数 f(x)=xlnx+ax . (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线过点 A(0,﹣2) ,求实数 a 的值; (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) , ① 求证:﹣ <a<0; ② 求证:f(x2)>f(x1)>﹣ .
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2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线方程,代入点(0,﹣2) , 即可解得 a; (2)① 依题意:f′ (x)=0 有两个不等实根 x1,x2(x1<x2) ,设 g(x)=lnx+2ax+1,求出导数,讨论当 a≥0 时,当 a <0 时,求得函数 g(x)的单调性,令极大值大于 0,解不等式即可得证;
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② 由① 知:f(x) ,f′ (x) 变化,求得 f(x)的增区间,通过导数,判断 x1∈(0,1) ,设 h(x)= (xlnx﹣x) (0<x <1) ,求得 h(x)的单调性,即可得证. 解答: (1)解:由已知可得,f′ (x)=lnx+1+2ax(x>0) ,切点 P(1,a) , f(x)在 x=1 处的切线斜率为 k=1+2a, 切线方程:y﹣a=(2a+1) (x﹣1) , 把(0,﹣2)代入得:a=1; (2)证明:① 依题意:f′ (x)=0 有两个不等实根 x1,x2(x1<x2) , 设 g(x)=lnx+2ax+1 则:g′ (x)= +2a(x>0)

当 a≥0 时,有 g′ (x)>0,所以 g(x)是增函数,不符合题意; 当 a<0 时:由 g′ (x)=0 得:x=﹣ 列表如下: x g′ (x) g(x) 依题意:g(﹣ (0,﹣ + ↗ )=ln(﹣ ) ﹣ 0 极大值 (﹣ ﹣ ↘ ,+∞) >0,

)>0,解得:﹣ <a<0,

综上可得,﹣ <a<0 得证; ② 由① 知:f(x) ,f′ (x) 变化如下: x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f′ (x) ﹣ 0 + 0 ﹣ f(x) ↘ ↗ ↘ 由表可知:f(x) 在[x1,x2]上为增函数,所以:f(x2)>f(x1) 又 f′ (1)=g(1)=1+2a>0,故 x1∈(0,1) , 由(1)知:ax1= ,f(x1)=x1lnx1+ax1 = (x1lnx1﹣x1) (0<x1<1)
2

设 h(x)= (xlnx﹣x) (0<x<1) ,则 h′ (x)= lnx<0 成立,所以 h(x)单调递减, 故:h(x)>h(1)=﹣ ,也就是 f(x1)>﹣ 综上所证:f(x2)>f(x1)>﹣ 成立. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值,主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方 法,注意函数的单调性的运用,属于中档题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分) (2015?辽宁校级一模)如图,在△ ABC 中,∠ ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边上的中点,连接 OD 交圆 O 与点 M. (1)求证:DE 是圆 O 的切线; (2)求证:DE?BC=DM?AC+DM?AB.

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考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题: 推理和证明. 分析: (1)连接 BE,OE,由已知得∠ ABC=90°=∠ AEB,∠ A=∠ A,从而△ AEB∽ △ ABC,进而∠ ABE=∠ C,进而 ∠ BEO+∠ DEB=∠ DCE+∠ CBE=90°,由此能证明 DE 是圆 O 的切线.
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(2)DM=OD﹣OM= (AC﹣AB) ,从而 DM?AC+DM?AB= (AC﹣AB)?(AC+AB)= BC ,由此能证明 DE?BC=DM?AC+DM?AB. 解答: 证明: (1)连接 BE,OE, ∵ AB 是直径,∴ ∠ AEB=90°, ∵ ∠ ABC=90°=∠ AEB,∠ A=∠ A,∴ △ AEB∽ △ ABC, ∴ ∠ ABE=∠ C, ∵ BE⊥ AC,D 为 BC 的中点,∴ DE=BD=DC, ∴ ∠ DEC=∠ DCE=∠ ABE=∠ BEO,∠ DBE=∠ DEB, ∴ ∠ BEO+∠ DEB=∠ DCE+∠ CBE=90°, ∴ ∠ OEE=90°,∴ DE 是圆 O 的切线. (2)证明:∵ O、D 分别为 AB、BC 的中点, ∴ DM=OD﹣OM= (AC﹣AB) , ∴ DM?AC+DM?AB =DM?(AC+AB) = (AC﹣AB)?(AC+AB) = (AC ﹣AB ) = BC
2 2 2

2

=DE?BC. ∴ DE?BC=DM?AC+DM?AB.

点评: 本题考查 DE 是圆 O 的切线的证明,考查 DE?BC=DM?AC+DM?AB 的证明,是中档题,解题时要认真 审题,注意弦切角定理的合理运用.
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【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2015?贵州模拟)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 (t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|?|PB|=1,求实数 m 的值. 考点: 专题: 分析: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 坐标系和参数方程.
2
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(1)曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,化为 ρ =2ρcosθ,利用

可得直角坐标方程.直线 L

的参数方程是

(t 为参数) ,把 t=2y 代入

+m 消去参数 t 即可得出.

(2)把

(t 为参数) ,代入方程:x +y =2x 化为:

2

2

+m ﹣2m=0,由△ >0,得﹣1<m

2

<3.利用|PA|?|PB|=t1t2,即可得出. 2 2 2 解答: 解: (1)曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,化为 ρ =2ρcosθ,可得直角坐标方程:x +y =2x. 直线 L 的参数方程是 (t 为参数) ,消去参数 t 可得 .

(2)把

(t 为参数) ,代入方程:x +y =2x 化为:

2

2

+m ﹣2m=0,

2

由△ >0,解得﹣1<m<3. 2 ∴ t1t2=m ﹣2m. ∵ |PA|?|PB|=1=t1t2, 2 ∴ m ﹣2m=1, 解得 .又满足△ >0. ∴ 实数 m=1 . 点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2015?南昌校级二模)设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ )解不等式 f(x)>0; 2 (Ⅱ )若?x0∈R,使得 f(x0)+2m <4m,求实数 m 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 绝对值不等式的解法. 不等式的解法及应用. (Ⅰ )不等式 f(x)>0,即|2x﹣1|>|x+2|,平方后解一元二次不等式求得它的解集.
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(Ⅱ )根据 f(x)的解析式,求出 f(x)的最小值为 f( ) ,再根据 f( )+2m <4m,求得 m 的范围.
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2

解答:
2

解: (Ⅰ )不等式 f(x)>0,即|2x﹣1|>|x+2|,即 4x ﹣4x+1>x +4x+4,

2

2

即 3x ﹣8x+3>0,求得它的解集为{x|x<﹣ ,或 x>3}.

(Ⅱ )f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|=

,故 f(x)的最小值为 f( )=﹣ ,

根据?x0∈R,使得 f(x0)+2m <4m,可得 4m﹣2m >﹣ ,即 4m ﹣8m﹣5<0, 求得﹣ <m< . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,带有绝对会的函数,函数的能成立问题,体现了等价转化和分类 讨论的数学思想,属于中档题.

2

2

2

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参与本试卷答题和审题的老师有:翔宇老师;孙佑中;qiss;lincy;w3239003;maths;刘长柏;changq;gongjy;whgcn; zlzhan;cst;mxh;双曲线;caoqz(排名不分先后) 菁优网 2015 年 5 月 17 日

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