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绝对值三角不等式及其应用_图文

绝对值三角不等式

一、复习回顾 |a|=

?a, a ? 0 ? ?0, a ? 0 ? ? a, a ? 0 ?

|a| O

A a

x

几何意义: 表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离. 绝对值的性质:
① a ? a2

a a ② ab ? a b , ? ,…… b b

关于绝对值还有什么性质呢?

探究:列举大量具体实 数a、b、c;猜想

a ? b 与 a ? b 之间的关系。并表示这 种关系。
猜想: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)

已知 a , b 是实数,试证明: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)
证明:10 .当ab≥0时,

ab ?| ab |, | a ? b |? (a ? b )
2

20. 当ab<0时, ab ? ? | ab |,
| a ? b |? (a ? b )2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |)2

? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |)2

?| a | ? | b | ?| a | ? | b | 综合10,20知定理成立.

定理 1(绝对值三角形不等式)如果 a , b 是实数, 则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)
如果把 a , b 换为向量 a , b ,根据向量加法的三 角形法则,易知 a ? b ≤ a ? b .(同向时取等号)
a?b a
b

a?b

a

b

推论 1(运用数学归纳法可得) :

a1 ? a2 ? L ? an ≤ a1 ? a2 ? L ? an .

探究 你能根据定理1的研究思路,探究一 下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗?

|a-b|≤|a|+|b|, |a|-|b|≤|a+b|, |a|-|b|≤|a-b|.

?

什么时候等号成立?

如果a, b是实数,那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

定理2

如果a, b, c是实数,那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 证明:根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。

绝对值三角不等式的应用

例1 已知ε> 0, |x - a|<ε, |y - b|<ε, 求 证: |2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|
=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|

=2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.
所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .

例2:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点

施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和
第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同 临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点 之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程 之和最小,生活区应该建于何处?

分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个
施工队每天往返的路程之和为S(x) km. 那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 故实际问题转化为数学问题: 当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值. 解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个 施工队每天往返的路程之和为S(x) km,则: S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 我们先来考察它的图像: 60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 60 40 20 O 10 20 30 x 20 4x-60 0<x?10 10<x?20 x>20

S(x)=2(|x-10|+|x-20|) |x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| ?|(x-10)+(20-x)|=10 当且仅当(x-10)(20-x)?0时 取等号. 又解不等式:

S 60 40 20

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

O 10 20 30 (x-10)(20-x)?0 得: 10?x?20

x

故当10?x?20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取 最小值20.

2 【例3】已知二次函数f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的 定义域为[-1,1],且|f(x)|的最大值为M.

(1)证明: |1+b|≤M; 1 (2)证明 : M ? ; 2 (2)当 M ? 1 时,试求出f(x)的解析式. 2
思维启迪 由|f(x)|在[-1,1]上的最大值为M

建立不等式M≥|f(1)|,M≥|f(0)|,M≥ |f(-1)|是解决问题的关键.

(1)证明

∵M≥|f(-1)|=|1-a+b|,

M≥|f(1)|=|1+a+b|,
2M≥|1-a+b|+|1+a+b| ≥|(1-a+b)+(1+a+b)|=2|1+b|,

∴M≥|1+b|.
(2)证明 依题意,M≥|f(-1)|, M≥|f(0)|,M≥|f(1)|,

又f(-1)=|1-a+b|,
|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|, ∴4M≥|f(-1)|+2|f(0)|+|f(1)|

=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|
≥|(1-a+b)-2b+(1+a+b)|=2, 1 ?M ? . 2

(3)解 当M ? 1 时, | f (0) |?| b |? 1 , 2 2
1 1 ?? ? b ? 2 2 1 1 同理 ? ? 1 ? a ? b ? 2 2 1 1 ? ? 1? a ? b ? 2 2 3 1 ② ? ③得 ? ? b ? ? 2 2 1 由①④得b ? ? , 2 ?? 1 ? a ? 0 1 当b ? ? 时, 分别代入②③得? ? a ? 0, 2 ?0 ? a ? 1 1 因此f ( x) ? x 2 ? . 2

① ②




探究提高 证明含有绝对值的不等式,其思路有 两种:(1)恰当运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条 件;(2)把含有绝对值的不等式等价转化为不含 绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法 进行证明.

例4 设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,总有

|f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤8.
证明 方法一 ∵当|x|≤1时,|f(x)|≤1, ∴|f(0)|≤1,即|c|≤1. 又|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1, ∴|a+b+c|≤1,|a-b+c|≤1.

又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|
≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|, 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4, ∴|a|≤2.

∵|2b|=|a+b+c-(a-b+c)| ≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2,

∴|b|≤1,
∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|f(1)+3a+b| ≤|f(1)|+3|a|+|b|≤1+6+1=8,

即|f(2)|≤8.
方法二 ∵当|x|≤1时,|f(x)|≤1, ∴|f(0)|≤1,| f(1)| ≤1,|f(-1)|≤1. 由f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c,f(0)=c知

f (1) ? f (?1) ? 2 f (0) a? , 2 f (1) ? f (?1) , c ? f (0). 2 ∴f(2)=|4a+2b+c| b?

=|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| ≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|

≤3×1+1×1+3×1=7≤8.


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