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高中直线与圆的位置关系ppt


复习回顾:
点与圆的位 置关系 点在圆外
A

图形

圆心到点的距离d 与半径r的关系

d?r

点在圆上

A

d?r
A

点在圆内

d?r

直线和圆的位置关系

实例引入:
? 一轮红日从海平面上冉冉升起。

探求新知:
1.直线与圆的位置关系有几种? 交点情况如何?

O

O
l A

O B l

l

A

相离:
没有公共点

相切:
唯一一个公共点

相交:
二个公共点

2.设圆心到直线的距离为d,在三种位 置关系中,d与半径r的关系如何?

r d

C
l

C l

C

l

d ? r ? 相交

d ? r ? 相切

思考讨论:
判断直线与圆的位置关系的方法?

运算量较大 请谨慎选择

? Ax ? By ? C ? 0 1.代数法:由 ? 2 2 2 消元得一 ?( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
元二次方程的判别式

?
? ? 0 ? 相离

? ? 0 ? 相交

?? 0 ?

相切

2.几何法:计算圆心到直线的距离d,与半径r相比较

d ? r ? 相交 d ? r ? 相切

一试身手
1.已知圆

( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 6

和直线 2 x ? y ? 5 ? 0

(1)求圆心到直线的距离d; (2)判断直线与圆的位置关系. 2.C为何值时,直线 x ? y ? c ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 有两个公共点?一个公共点?无公共点?

典例精析
2 2 例1.直线l过点P(2,3)且与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 2 相切,

求切线l的方程 解:由题意得,圆心C(1,2) 且P(2,3)在圆上

y
? ?

P

C

O

x

?l ? lPC ,? kl ? kPC ? ?1

? k PC

3? 2 ? ?1 2 ?1

? kl ? ?1

?l : y ? 3 ? x ? 2

即x-y+1=0
( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 求切线l的方程

思考:若圆的方程为

解:由题意得,圆心C(1,-2) 且点P(2,3)在圆外 过P点的切线有两条 (1)当直线l的斜率存在时, 设直线l的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0
由d=r得
k ? 2 ? 2k ? 3 k ?1
2

y
?

P

O
? C

x

?1

12 ( x ? 2) 即 12 x ? 5 y ? 9 ? 0 5 (2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为 x ? 2 ? 所求直线l的方程是 x ? 2 也符合题意,

解得 k ?

? 所求直线l的方程为 y ? 3 ?

12 5

综上所述:所求直线l的方程为 12 x ? 5 y ? 9 ? 0 或 x ? 2

悄悄告诉你 求过一点P的圆的切线方程问题需注意:

? 若点P在圆上,切线有一条 1.先判断点P与圆的位置关系? ? 若点P在圆外,切线有两条

2.在求切线的过程中,要注意讨论斜率不存在的情况

例2.已知圆C:( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 与直线l: x ? y ? 1 ? 0
求圆被直线l截得的弦长 解:圆心C(3,4)到直线l的距离
d ? PC ? 3 ? 4 ?1 1 ?1
2 2

y
C
?

B
P

? 2
O
2 2 2

A

x
2

在Rt? PBC中
悄悄告诉你

PB ? r ? d ? 2 ?

? 2?

? 2

? 弦长 AB ? 2 2

弦长l与圆心到直线的距离d以及圆的半径r的关系式 2 ?l? r2 ? d 2 ? ? ? ?2?

巩固练习:
x2 ? y 2 ? 25 相交 直线l经过点P(5,5),且和圆O:

截得的弦长为 4 5 ,求直线l的方程.

归纳小结:
一.直线与圆位置关系的判断 圆心到直线 直线和圆的 公共点 的距离d与半 位置关系 的个数 径r 的关系 2 d<r 相交 1 d=r 相切

相离
二. 位置关系的应用

0

d>r

1.求切线方程问题;2.和弦长有关的问题


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