当前位置:首页 >> 数学 >>

丛文龙教师版一轮复习之导数(理)之第2节导数基础应用


丛文龙

//////////////////////////////////////////////////////导数的应用 ///////////////////////知识点 1:导数的应用 1. (2007 海南文 本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;
2

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

2 4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 3 ? ? 解:19. f ( x) 的定义域为 ? ? , (Ⅰ) f ( x) ? . ? ∞? . ? 2x ? ? 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3 ? 2 ?
当?

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2

? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? 从而, f ( x) 分别在区间 ? ? ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4 又 f ?? ?? f ?

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

? 3 1? ? ?

? 1? ? ?

1

? 3? ? 4?

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ?1? ? ? ln ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ?4? ? 3 1? ?1? 1 7

? ln . 所以 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? 2 ? 4 ? 16 ? 4 4?

(2005 年北京文理)(19) (本小题共 14 分) 已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a, (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

(15) (共 13 分) 解: (I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) . (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0,所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增,又由于 f(x)在[-2,-1]上 单调递减,因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

1

13940589364

丛文龙

///////////////////////知识点 2:应用的分开展开 1.(浙江卷 11)设 f '(x)是函数 f(x)的导函数,y=f '(x)的图象 如右图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是 C y y

y

y

y

O

1

2

x

O 1

2

x

2

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

(A) 2.已知函数 f(x)的导函数

(B)

(C)

(D) )

f ' ( x) 的图像如左图所示,那么函数 f(x)的图像最有可能的是(

A

3. 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图所示,则导函数 y=f ?(x)的图象可能为(D )

4. (福建 11)如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么 导函数 y ? f / ( x) 的图象可能是( A )

5. (07 浙江)设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可
2

13940589364

丛文龙

能正确的是( D )

6.(2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 (



答案

D

7.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确的序号是( C )

A.①、② B.①、③ C.③、④ D.①、④ 8. (2005 江西理科)已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如右图所示(其中 f ?( x) 是函数 f ( x)的导函数) ,下面四个图象 中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( C
y
2 1 -2 -1 -2
o


y
4

y
2 1
1 23 x
o

y
4 2 1

y y=xf'(x)
1 -1
o

-1 -2
B

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x

1

x

A



-1

D

9.(2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图 ... 象可能是 ( A)

3

13940589364

丛文龙

y

y y

y

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 即在区间 [a, b] 上各点处的斜率 k 是 ... y ? f ?( x) 在区间 [a, b] 上是增函数, 递增的,由图易知选 A.
10.(2006 年天津卷)函数

注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间


(a, b) 内有极小值点(

y

y ? f ?( x)

b

a
A.1 个 解析 函数 B.2 个

O
C.3 个 D. 4 个

x
答案 A

f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有

极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有 1 个,选 A.

11.(2009 嘉兴一中一模)下列图像中有一个是函数

f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? 1 3
( )

(a ? R, a ? 0) 的导数 f ?( x)

的图像,则

f (?1) ?

A.

1 3

B.

?

1 3

C.

7 3

D.

?

1 5 或 3 3

答案

B ( )

12.(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知函数 A.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f ( x) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f ( x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点

y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图像如下,则y

4

? x 1

x?
2

? x3 O
oO

? x

13940589364 x

4

丛文龙 答案 D.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,3 个极小值点 A
y

13.(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)如图为函数

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的图象,
______.
- 3

f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为______
答案

(??, ? 3) ? (0, 3)

o

3

x

1. (07 福建) 已知对任意实数 x , 有 f (? x) ?? f ( x) g, (x ? ) ? gx () 时( B ) A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

, 且 x ? 0 时,f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 则x?0

C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

(x) 2. (江西卷)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ? ?0,则必有( C ) A. f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) 解:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0,f(x)在(- ?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1) ,故选 C
3. (2011 年省实验哈师大高三第一次联合模拟考试) 9.已知函数 f ( x ) 在定义域 x ? R 内可导, 若 f ( x) ? f (2 ? x) , 且当 x ? ( ??,1) 时, ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3) ,则 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C.

c?a?b

1 2

( C )

D. b ? c ? a

6 . ( 天 津 十 二 区 县 重 点 中 学 2010 年 高 三 联 考 一 理 ) 定 义在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 ( x ? 2) f ?( x) ? 0 , 又

1 a ? f (log1 3) , b ? f (( ) 0.3 ) , c ? f (ln 3) ,则 3 2
A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a



D )

3. (2011 年试验中学高三 5 月模拟考试) 12. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x) ? f ( x ? 4) 且当 x ? 2 时, 有 ( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 4, x1 ? x2 ? 4 ? 2( x1 ? x2 ) ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值是( B) A.可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小于 0

9. (安微 省合肥市 2010 年高三第二次教学质量检测理科)已知 R 上可导函数 f ( x) 的图象如图所示,则不等式

( x2 ? 2 x ? 3) f ?( x) ? 0 的解集为( D )
A. (??, ?2) ? (1, ??) B. (??, ?2) ? (1, 2) C. (??, ?1) ? (?1,0) ? (2, ??)
5

13940589364

丛文龙

D. (??, ?1) ? (?1,1) ? (3, ??)

1.设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x) <0 的解集是 A.(-3,0)∪(3,+∞) (D ) D.(-∞,- 3)∪(0, 3) B.(-3,0)∪(0, 3) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)

2.设 f (x),g (x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f? (x)g (x)+ f (x) g? (x)>0 且 g (? ) ? 0 则不等式 f (x) g (x)<0 的解集是=___ (??,? ) ? (0, )
3.(2009 天津重点学校二模)已知函数

1 2

1 2

1 2

y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时不等式 f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 成
C )

立, 若

1 1 a ? 30.3 f (30.3 ) , b ? (log ? 3) f (log ? 3), c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 ( 9 9

A.

a?b?c

B.

c?b?a

C.

c?a?b

D.

a?c?b

2 (宁夏 09) f ( x)是定义在R上的偶函数, 当x ? 0时, f ( x) ? x ? f ?( x) ? 0, 且f (?4) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为 A. (?4,0) ? (4,??) C. (??,?4) ? (4,??) 答案:(D)
3. (宁夏银川二中一模) 已知函数 恒成立,则不等式 x
2

( ) B. (?4,0) ? (0,4) D. (??,?4) ? (0,4)

且 f (2) ? 0 , 当 x ? 0 时, 有不等式 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,

xf ?( x ) ? f ( x ) ?0 x2

f ( x ) ? 0 的解集是

(??, ?2)

(0,2)

(2012 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试理 科 数 学) 11.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,设其导函 数为 f '( x) ,当 x ? (??,0] 时,恒有 xf '( x) ? f (? x) ,令 F ( x) ? xf ( x) ,则满足 F (3) ? F (2 x ? 1) 的实数 x 的 取值范围是 A A. ? ?1, 2 ? B. ? ?1, ?
3 2

? ?

1? 2?

C. ?

?1 ? ,2? ?2 ?

D. ? ?2,1?

1. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=4x +ax +bx+5 在 x=-1 与 x=

3 处有极值。 2 3 3 , + ? ) ,减区间为 (-1 , ) 2 2

(1)写出函数的解析式;(2)求出函数的单调区间;(3)求 f(x)在[-1,2]上的最值。 解析: 17.(1) a= - 3,b= - 18,f(x)=4x -3x -18x+5 (2) 增区间为 (- ? , -1) , (
3 2

(3)[ f(x)]max= f(-1)=16

[f(x)]min= f(

3 61 )=- 2 4
6

13940589364

丛文龙

2.[2008 学年第一学期十校联合体高三期末联考数学试卷(文科)第 21 题]设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 为奇函
3

数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,且在 x=-1 处取得极值. (Ⅰ)求 a, b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值。 【∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 . 】

(2007 年四川文)(20)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导函数 f' (x)的最小值为-12. (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在〔-1,3〕上的最大值和最小值.

解析:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力. (Ⅰ)∵ f ( x) 为奇函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) 即 ?ax ? bx ? c ? ?ax ? bx ? c
3 3

∴c ? 0 ∵ f '( x) ? 3ax ? b 的最小值为 ?12
2

∴ b ? ?12 又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (Ⅱ) f ( x) ? 2 x ? 12 x .
3

1 6

f ' (x ? )
x

2

6 x?

1?2 x6 ?(
? 2
0
极大

x2 ? ,列表如下: ) ( 2 )

(??, ? 2)
?

(? 2, 2)
?

2
0
极小

( 2, ??)
?

f '( x) f ( x)

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) ∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18
7

13940589364

丛文龙

∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 .

2. (08 四川 20) (本小题满分 12 分) 设 x ? 1 和 x ? 2 是函数 f ? x ? ? x5 ? ax3 ? bx ? 1 的两个极值点。 (Ⅰ)求

a 和 b 的 值 ;( Ⅱ ) 求 f ? x ? 的 单 调 区 间 【 a ? ?

25 , b ? 20 3


因 此 f ? x? 的 单 调 增 区 间 是

? ??, ?2? , ? ?1,1? , ? 2, ?? ? f ? x ? 的单调减区间是 ? ?2, ?1? , ?1, 2?

3.(08 山东文 21)设函数 f ( x) ? x 2e x ?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2和x ? 1为f ( x)的极值点.
(Ⅰ)求 a 和 b 的值; 解:(Ⅰ)因为 f ?( x) ? e 又
x ?1

(Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性;(Ⅲ)设 g ( x) ?

2 3 2 x ? x ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

(2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xe x?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b).
??6a ? 2b ? 0, ? ?3 ? 3a ? 2b ? 0,

? f?( ? 因此 x ? ?2和 x? 1 为 f( x 的极值点,所以 ) 2 ) ? f ?( 1 ) 0.
解方程组得

(Ⅱ)因为 令

1 a ? ? ,b ? ? 1 . 3 1 a ? ? , b ? ?1, 所以 3

f ?( x) ? x( x ? 2)(e x?1 ? 1),

f ?( x) ? 0, 解得x1 ? ?2, x2 ? 0, x3 ? 1.
因为

当x ? (??, ?2) ? (0,1)时,f ?( x) ? 0; 当x ? (?2,0) ? (1, ??)时,f ?( x) ? 0;

所以

f ( x) 在(-2,0)和(1,+ ? )上是单调递增的;
在(- ? ,-2)和(0,1)上是单调递减的.

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知

1 f ( x) ? x 2e x ?1 ? x3 ? x 2 , 3

8

13940589364

丛文龙



f ( x) ? g ( x) ? x 2 e x ?1 ? x 3 ? x 2 (e x ?1 ? x),

令 h( x) ? e x ?1 ? x, 则 h ?( x) ? e x ?1 ? 1. 令 h ?( x) ? 0, 得x ? 1, 因为 x ? (??,1?时,h ?( x) ? 0, 所以 h( x)在x ? (??,1? 上单调递减. 故 x ? (??,1?时,h( x) ? h(1) ? 0; 因为 x ? ?1, ??)时,h ?( x) ? 0, 所以 h( x)在x ? ?1, ??)上单调递增. 故 因此 故 x ? ?1, ??)时,h( x) ? h(1) ? 0. f ( x) ? g ( x) ? 0, 对任意x ? (??, ??), 恒有f ( x) ? g ( x). 所以 对任意x ? (??, ??), 恒有h( x) ? 0, 又x 2 ? 0,

(2009 年辽宁文)(21) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) ,且曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行。
x 2

(Ⅰ)求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (21)解: (Ⅰ) f '( x) ? e (ax ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .由条件知,
x 2

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?1 .
于是 f '( x) ? e (? x ? x ? 2) ? ?e ( x ? 2)( x ? 1) .
x 2 x

???2 分

故当 x ? (??, ?2)

(1, ??) 时, f '( x) <0;

当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0. 从而 f ( x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加. ??6 分

(锦州一高中 2011 年高三第五次模拟试题数学(文))20. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx ( x ? 0)
2

(1)若函数 f ( x) 在 x=1 处与直线 y ? ?

1 相切 2 1 e

①求实数 a,b 的值;②求函数 f ( x)在[ , e] 上的最大值.

9

13940589364

丛文龙

20. 解: (1)① f '( x) ?

a ? 2bx x

?a ? 1 ? f '(1) ? a ? 2b ? 0 1 ? ? ∵函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切? ? ???3 分 1 , 解得 ? 1 2 b ? f (1) ? ? b ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 1 2 1 1? x ② f ( x) ? ln x ? x , f '( x) ? ? x ? 2 x x 1 1 当 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ; . . . . . . . . . . .5分 e e ?1 ? 令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e ? f ( x)在? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, ?e ? 1 ? f ( x)max ? f (1) ? ? 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 2

(2011——2012学年上学期五校协作体8月份摸底考试高三文科数学试卷)

? 20. (本小题满分12分) 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx 的极小值为 ?8 ,其导函数 y ? f ( x) 的图像开口向下且经过
3 2

2 ( , 0) ( ? 2 , 0) 点 , 3 .
p (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)方程 f ( x) ? p ? 0 有唯一实数解,求 的取值范围.
(Ⅲ)若对 x ?[-3,3] 都有 f ( x) ? m ? 14m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

20.解: (1)

f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,且 y ? f '( x) 的图象过点

2 (?2, 0), ( , 0) 3

2 2b ? ?2? ? ? ? ?b ? 2a ? 3 3a ?? ?? ?c ? ?4a ?? 2 ? 2 ? c ? 3 3a ?

????2分

2 (?2, ) 3 上单调递增,在 ∴ f ( x) ? ax ? 2ax ? 4ax ,由图象可知函数 y ? f ( x) 在 (??, ?2) 上单调递减,在
3 2

2 ( ,??) 3 上单调递减,(不说明单调区间应扣分)


f ( x)极小值 ? f (?2)
3 2

,即 a(?2) ? 2a(?2) ? 4a(?2) ? ?8 ,解得 a ? ?1
3 2

∴ f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 x

????4分
10

13940589364

丛文龙

(2) ? p ? f ( x) ,又因为

f ( x)极小值 ? f (?2)

2 40 ? f ( x)极大值 ? f ( ) ? 3 27 =-8.

由图像知,

?p?

40 40 或 ? p ? ?8 p ? ? 或p ? 8 27 27 ,即

????8分
2

2 f ( x)min ? m ? 14m (3)要使对 x ?[?3,3] 都有 f ( x) ? m ? 14m 成立,只需

2 (?2, ) 3 上单调递增, 由(1)可知函数 y ? f ( x) 在 (?3,?2) 上单调递减,在

2 ( ,3) 3 2 在 3 上单调递减,且 f (?2) ? ?8 , f (3) ? ?3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? ?33 ? ?8
? f (x)min ? f (3) ? ?33
∴ ? 33 ? m ? 14m ? 3 ? m ? 11.
2

????10分

}. ????12分 故所求的实数m的取值范围为 {m | 3 ? m ? 11

20.(安 徽 省 2 0 1 1 年 “ 江 南 十 校 ” 高 三 联 考 文 科 ) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在 x ? ?1 处取得极值,且在 x ? 0 处的切线的斜率为-3.
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; 20.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c
2

???????????1 分 ???????????4 分

依题意 ?

? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ?b ? 0 ?? ? f ?(?1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ?3a ? c ? 0


又 f ?(0) ? ?3

c ? ?3

∴ a ?1

∴ f ( x) ? x ? 3 x
3

???6 分

21.(山西大学附属中学 2011 年高三模拟考试文科)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? ln x ? b ? x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0.
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式;

11

13940589364

丛文龙

22.(四川省资阳市资阳中学 2011 年高三第一次高考模拟文科)(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? ax3 ? 6ax 2 ? 3bx ? b ,其图象在 x ? 2 处的切线方程 为 3x ? y ? 11 ? 0 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; 22.解: (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3ax2 ? 12ax ? 3b , f ?(2) ? ?3 且 f (2) ? 5 ,
?12a ? 24a ? 3b ? ?3, ?4a ? b ? 1, ∴ ? 即? 解得 a ? 1 , b ? 3 , ?8a ? 24a ? 6b ? b ? 5, ??16a ? 7b ? 5,

∴ f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

21. (2010 年浙江省宁波市高三 “十校” 联考文科) (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c , 点 P(1, f (1))
3 2

在函数 y ? f ( x) 的图象上,过P点的切线方程为 y ? 3x ? 1 . (1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x) 的解析式;

12

13940589364

丛文龙

(2007 年全国 1 文)(20) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. (Ⅱ)若对于任意的 x ?[0,
2

(2006 年江西文理)17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 时都取得极值. 3

(1)求 a、b 的值及函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对 x ? ? ?1, 2? , f ( x) ? c 不等式 ) 恒成立,求 c 的取值范围.
2

4. 【临沂高新实验中学】 22. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx 的极小值为-8, 其导函数 y ? f ?( x)
3 2

的图象经过点 (?2,0), ( ,0) ,如图所示。 (1)求 f ( x) 的解析式; f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 x.
3 2

2 3

(2)若对 x ? [?3,3]都有f ( x) ? m ? 14m 恒成立,求实数 m 的取值范围。
2

【解】 (1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c, 且y ? f ?( x) 的图象过点 (?2,0), ( ,0)
2

2 3

∴ ? 2, 为3ax 2 ? 2bx ? c ? 0的两根, 代入得b ? 2a, c ? ?4a, ∴ f ( x) ? ax ? 2ax ? 4ax (2 分)
3 2

2 3

13

13940589364

丛文龙

由图象知, y ? f ?( x)在区间(?2, )时, f ?( x) ? 0 恒成立, ∴ f ( x)在区间(?1, ) 上单调递增,同理可知, f ( x)在区间(??,?2)和( ,??) 上单调递减, ∴ f ( x)在x ? ?2 时,取得极小值,即 f (?2) ? ?8 解得 a=-1,∴ f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 x.
3 2 2

2 3

2 3

2 3

(4 分) a(?2) ? 2a(?2) ? 4a(?2) ? ?8,
3 2

(6 分)
2

(2)要使对 x ? [?3,3], 都有 f ( x) ? m ? 14m 恒成立,只需 f ( x) min ? m ? 14m 即可 由(1)可知,函数 f ( x)在[?3,?2) 上单调递减,在 (?2, ) 上单调递增,在 ( ,3] 上单调递减, 且 f (?2) ? ?8, f (3) ? ?3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? ?33 ? ?8, ? f ( x) min ? f (3) ? ?33
3 2

(8 分)

2 3

2 3

(10 分) (12 分)

则-33 ? m ? 14m, 解得3 ? m ? 11
2

故所求实数 m 的取值范围为[3,11]

3. 【聊城一中·文科】21. (满分 12 分)已知在函数 f ( x) ? mx ? x 的图象上以 N(1,n)为切点的切线的倾
3

斜角为

2 1 ? (2)是否存在最小的正整数 k,使得不等式 . (1)求 m、n 的值; 【 m ? ,n ? ? 3 3】 4

f ( x) ? k ? 1992对于x ? [?1,3] 恒成立?如果存在,请求出最小的正整数 k;如果不存在,请说明理由;
(3)求证: | f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ?

1 ), ( x ? R, t ? 0) 2t

【解】 (1) f ?( x) ? 3mx ? 1, 依题意,得 tan
2

?
4

? f ?(1),即1 ? 3m ? 1, m ?

2 3

∴ f ( x) ?

2 3 1 2 1 x ? x, 把N (1, n)代得, 得n ? f (1) ? ? , ∴ m ? , n ? ? ??????2 分 3 3 3 3
2 2 2 2 )( x ? ) ? 0, 则x ? ? , 当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 2 x 2 ? 1 ? 0, f ( x) 在此区 2 2 2 2

(2) 令 f ?( x) ? 2( x ?

间为增函数 当 ?

2 2 ?x? 时, f ?( x) ? 2 x 2 ? 1 ? 0, f ( x) 在此区间为减函数 2 2



2 2 处取得极大值???5 分 ? x ? 3时, f ?( x) ? 2 x 2 ? 1 ? 0, f ( x) 在此区间为增函数 f ( x)在x ? ? 2 2 1 2 2 2 2 , f (? )? , f( )?? , f (3) ? 15 3 2 3 2 3
14

又 f (?1) ?

因此,当 x ? [?1,3]时,?

2 ? f ( x) ? 15, ?6 分 3
13940589364

丛文龙

要使得不等式 f ( x) ? k ? 1992对于x ? [?1,3]恒成立, 则k ? 15 ? 1992 ? 2007 所以, 存在最小的正整数 k=2007, 使得不等式 f ( x) ? k ? 1992对于x ? [?1,3] 恒成立。??7 分

(3) (方法 2)由(2)知,函数 f ( x)在[?1,?

2 2 2 2 ,1]上是增函 ]上是增函数; 在[? , ] 上是减函数,在[ 2 2 2 2
3

数又 f (?1) ? 1 , f (? 2 ) ? 2 , f ( 2 ) ? ? 2 , f (1) ? ? 1 所以,当 x ? [?1,1] 时,- 2 ? f ( x) ? 2 ,即f ( x) |? 2 ??9
3 2 3 2 3

3

3

3



? sin x, cos x ? [?1,1]
?| f (sin x) ? f (cos x) |?| f (sin x) | ? | f (cos x) |?

?| f (sin x) |?

2 2 , | f (cos) |? . 3 3

2 2 2 2 ? ? ? ? 10 分 又 t>0 , 1 ? ? ?t ? ? 2 ? 1 , 且 函 数 3 3 3 2t

f ( x)在[1,??] 上是增函数,
? 2 f (t ?

1 1 2 2 2 ??11 分综上可得 | f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ? )( x ? R, t ? 0) ?12 分 ) ? 2 f ( 2 ) ? 2[ ( 2 ) 3 ? 2 ] ? 2t 2t 3 3

15

13940589364


相关文章:
丛文龙教师版一轮复习之导数(理)之第2节导数基础应用.pdf
丛文龙教师版一轮复习之导数(理)之第2节导数基础应用_数学_高中教育_教育专区。
丛文龙教师版一轮复习之导数(文)之第2节导数基础应用.pdf
丛文龙教师版一轮复习之导数()之第2节导数基础应用_教育学_高等教育_教育...b ? c ? a 6 . ( 天津十二区县重点中学 2010 年高三联考一理 ) 定 义...
丛文龙学生版一轮复习之导数(文)之第2节导数基础应用.pdf
丛文龙学生版一轮复习之导数()之第2节导数基础应用_数学_高中教育_教育专区...b ? c ? a 6 . ( 天津十二区县重点中学 2010 年高三联考一理 ) 定 义...
丛文龙教师版一轮复习之导数(理)之第1节导数运算与几何....pdf
丛文龙教师版一轮复习之导数(理)之第1节导数运算与几何意义_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习之导数上课教案自己上课教案 丛文龙 ///导数运算与几何意义 //...
丛文龙教师版一轮复习之导数(理)之第3节导数题型恒成立等.pdf
丛文龙教师版一轮复习之导数(理)之第3节导数题型恒成立等_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习之导数上课教案自己上课教案 丛文龙 ///导数恒成立 21. (2010 ...
丛文龙教师版一轮复习之导数(文)之第1节导数运算与几何....pdf
丛文龙教师版一轮复习之导数()之第1节导数运算与几何意义_数学_高中教育_...1.(2005 湖南理)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0 (x),f2(x)=f1 (x),…,...
丛文龙学生版一轮复习之导数(理)之第1节导数运算与几何....pdf
丛文龙学生版一轮复习之导数(理)之第1节导数运算与几何意义_数学_高中教育_...//www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ( x ? 100) ...
丛文龙学生版一轮复习之导数(理)之第3节导数题型恒成立等.pdf
丛文龙学生版一轮复习之导数(理)之第3节导数题型恒成立等_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习之导数上课教案自己上课教案 丛文龙 ///导数恒成立 21. (2010 ...
丛文龙学生版一轮复习之导数(理)之第4节导数单调性讨论.pdf
丛文龙学生版一轮复习之导数(理)之第4节导数单调性讨论_数学_高中教育_教育...( x ? 1)2 ///系数;一次函数 28. (2006山东卷理)设函数f(x)=ax-(a...
丛文龙学生版一轮复习之导数(文)之第1节导数运算与几何....pdf
丛文龙学生版一轮复习之导数()之第1节导数运算与几何意义_数学_高中教育_...x ? 2 5.(2009 全国卷Ⅱ理)曲线 y ? A. x ? y ? 2 ? 0 6.设...
丛文龙学生版一轮复习之导数(文)之第4节导数单调性讨论.pdf
丛文龙学生版一轮复习之导数()之第4节导数单调...(2006山东卷理)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1...丛文龙教师版一轮复习之... 6页 3下载券 ...
丛文龙学生版一轮复习之导数(文)之第3节导数题型恒成立等.pdf
丛文龙学生版一轮复习之导数()之第3节导数题型恒成立等_数学_高中教育_教育...(??, ?1) 答案 C 2.(05 湖北理)已知向量 a =( x , x ? 1 ), a...
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第2节导数在研究函....ppt
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第2节导数在研究函数中的应用第五课时利用导数研究函数零点专题课件理_数学_高中教育_教育专区。第五课时 利用导数研究函数零点...
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第2节导数在研究函....ppt
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第2节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性课件理_数学_高中教育_教育专区。第2节 导数在研究函数中的...
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第2节导数在研究函....ppt
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第2节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题课件理_数学_高中教育_教育专区。第三课时 利用导数证明不等式专题...
全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2....ppt
全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.11.3导数的综合应用课件理_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第三课时 导数的综合应用 考向一 利用导数研...
高考数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第2节函数的单....doc
高考数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值训练理新人教版_高考_高中教育_教育专区。中小学精品资料 第2节 函数的单调性与最值 【选题...
版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用210导数的概....doc
版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用210导数的概念及运算课后作业理(含答案) - 2.10 导数的概念及运算 [基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1.曲线 y=lg...
...数学(理)一轮复习课件:第2章 第13节 导数的应用(二)....ppt
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第13节 导数应用(二)_数学_高中教育_教育专区。第十三 节导数应用(二) 利用导数研究恒成立问题...
2018届高三数学(理)一轮复习:第三章 导数及其应用 第四....doc
2018届高三数学(理)一轮复习:第三章 导数及其应用 第四节 导数的综合应用 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。第四节 导数的综合应用 A 组 基础题组 1....
更多相关标签: