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2017高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修21_图文

2.2 椭 圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体 情境中抽象出椭圆的过程、 椭圆标准 方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何 图形. 重点: 能够根据条件熟练求出椭 圆的标准方程. 难点: 掌握椭圆的定义与椭圆的 标准方程. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 一、椭圆的定义 定义 焦点 焦距 平面内与两个定点 F1、F2 的 距离的和等于常数 的轨迹叫作椭圆 两个 定点 叫作椭圆的焦点 两焦点间的 距离 叫作椭圆的焦距 (大于|F1F2|)的点 集合语言 P={M|| MF1|+|MF2|=2a ,2a>|F1F2|} 二、椭圆的标准方程 焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上 标准方程 x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0) y2 x2 + =1 a2 b2 (a>b>0) 图形 焦点坐标 (± c,0) (0,± c) a,b,c 的关系 a2= b2+c2 [双基自测] x2 y2 1.椭圆 + =1 的焦点坐标是( 16 25 A.(± 4,0) C.(± 3,0) ) B.(0,± 4) D.(0,± 3) 解析:由方程知 a2=25,b2=16, ∴c2=9,故焦点坐标为(0,± 3). 答案:D x2 y2 2.已知椭圆 m+ =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距 16 离为 3,到另一焦点距离为 7,则 m 等于( A.10 C.15 B.5 D.25 ) 解析:由定义知 3+7=2a,∴a=5,∴m=a2=25. 答案:D 3.椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个 焦点的距离之和为 20,则此椭圆的标准方程为( x2 y2 A.100+36=1 y2 x2 C.100+36=1 y2 x2 B.400+336=1 y2 x2 D.20+12=1 ) 解析:由条件知 c=8,2a=20,∴a=10, 2 2 y x ∴b2=36,故方程为100+36=1. 答案:C 探究一 圆定义及应用 x 2 y2 [典例 1] 如图,已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的左、右两个焦点, 25 9 (1)求 F1,F2 的坐标; (2)若 AB 为过椭圆的焦点 F1 的一条弦,求△ABF2 的周长. x 2 y2 [解析] (1)由椭圆方程 + =1 可知,a2=25,b2=9, 25 9 ∴c2=a2-b2=25-9=16, ∴c=4, ∴F1(-4,0),F2(4,0). (2)由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+ |BF2|=2a=10, ∴△ABF2 的周长为 |AB|+ |AF2|+ |BF2|= (|AF1|+ |AF2|)+ (|BF1|+ |BF2|)= 2a+ 2a =4a=20. 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 (1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点 M 的轨迹是椭 圆;反之,椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程.因此,解题过程中遇到 涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解. x 2 y2 1.如图所示,点 P 是椭圆 + =1 上的一点,F1 和 F2 是焦 5 4 点,且∠F1PF2=30° ,求△F1PF2 的面积. x2 y2 解析:在椭圆 5 + 4 =1 中,a= 5,b=2, ∴c= a2-b2=1. 又∵P 在椭圆上, ∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5, ① 由余弦定理知: |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos 30° =|F1F2|2=(2c)2=4, ①式两边平方,得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|=20 ③-②,得(2+ 3)|PF1|· |PF2|=16, ∴|PF1|· |PF2|=16(2- 3), 1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|· sin 30° =8-4 3. ③ ② 探究二 [典例 2] 椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点 A( 3,-2)和点 B(-2 3,1). [解析] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). ∵2a= ?5+4?2+ ?5-4?2=10, ∴a=5. 又 c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为25+ 9 =1. (2)由于椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0), ?4 0 ?a2+b2=1, ∴? ? 02+ 12=1, ?a b 2 ? a ? =4, ?? 2 ? ?b =1. y2 2 故所求椭圆的标准方程为 4 +x =1. (3)法一 ①当焦点在 x 轴上时, x2 y2 设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 2 2 ? - 2 ? ? ? 3 ? ? 2 + 2 =1, b ? a 依题意有? 2 ?? - 2 3? 1 +b2=1, ? ? a2 2 ? ?a =15, 解得? 2 ? ?b =5. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为15+ 5 =1. y 2 x2 ②当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 2 2 ? - 2 ? ?

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