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九年级数学二次函数教学能手2013.12.1


知识回顾
函数、一次函数、正比例函数、 反比例函数的定义分别是什么?

知识回顾
函数的定义 设在一个变化过程中有两个变 量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,则称x是自 变量,y是因变量,此时,也称y是x 的函数。

函数

函数的一般形式

自变量x的 取值范围 全体实数

正比例 函数 反比例 函数 一次函数

y ? kx( k ? 0)
k y ? ( k ? 0) x
y ? kx ? b ( k ? 0)

x≠0

全体实数

创设情境,导入新课
问题1
要用长为20m的铁栏杆,一面靠墙, 围成一个矩形的花圃,怎样围法才能使 围成的花圃的面积最大?

设矩形花圃的垂直于墙的一边 AB 的长 为xm,矩形的面积ym2.
AB的长 1 2 3 4 x(m)
BC的长 (m) 面积y (m2)
5 6 7 8 9

设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,矩形的面积ym2.

AB的长 x(m)
BC的长 (m) 面积y (m2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

18 16 14 12 10

8

6

4

2

18 32 42 48 50 48 42 32 18

y=x(20-2x) =-2x2+20x

(0﹤x﹤10)

问题2 某商店将每件进价为8元的某种商品按 每件10元出售,一天可销出约100件。该店 想通过降低售价、增加销售量的办法来提 高利润。经过市场调查,发现这种商品单 价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。 将这种商品的售价降低多少时,能使销售 利润最大?

利润=(售价-进价)×销售量

利润=(售价-进价)×销售量
设每件商品降价x元,该商品每天的利润为y元。
售价-进价 每天销售量 (元) (件) 降价x元前 降价x元后 每天利润 (y元) (10-8)×100

10-8

100

100+100x

(10-x-8)(100+100x)

y=(10-x-8)(100+100x)

( 0≤x≤2)

y=-100x2+100x+200( 0≤x≤2)

温馨提示:同桌交流,互相帮助!

观察

(1) Y=-2x2+20x (0﹤x﹤10)
(2)y=-100x2+100x+200( 0≤x≤2) 讨论:得到的两个函数关系式有什么共同特点? (1)等号右边都是关于x的整式. (2)自变量x的最高次数是2. (3)二次项的系数不等于0.

? 我们把形如y=ax? +bx+c(其中a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做关于x的二 次函数。
称:ax2叫做二次项,a为二次项系数

bx叫做一次项, b为一次项系数
c为常数项。

注意:
(1)必须a≠0,否则就不是二次函 数,而b、c两数可以是0. (2)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取 值范围是全体实数,但当自变量 表示实际问题时,自变量的取值 要受到实际问题的限制。

抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?

(1) y ? x

2

是 不是 是
2

1 (2) y ? ? 2 x (3) y ? x(1 ? x) (4) y ? ( x ? 1) ? x
2

不是

先化简后判断

2、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y ? 3x 2 ? 2
1 ( 2) y ? x ? x
2

(是 )

(

否) 是) 否
)

(3) y ? ( x ? 2)(x ? 3)

(

(4) y ? x 2 ? 2 x ? 3

(
2

(5) y ? ( x ? 2)(x ? 2) ? ( x ?1)
(6)y= x4+2x2-1 (7)y=ax2+bx+c


(否 )



练习: 关于x的函数 y ? (m ? 1) x 数, 求m的值.
解: 由题意可得

知识运用

m2 ? m

是二次函

m2 ? m ? 2
解得,m ? 2 ?当m ? 2时,函数为二次函数。

m ?1 ? 0

注意:二次函数的二次项系数不能为零

知识运用
m取何值时,函数y= (m+1)x 二次函数?
解:由题意得

m2 ? 2m ? 1

+(m-3)x+m是

m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3

例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数

(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm) 之间的函数关系; (2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函 数关系; (3)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S( cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.
解: (1)由题意得 S ? 6a (a ? 0) 其中S是a的二次函数;
2

x2 ( x ? 0) 其中y是x的二次函数; (2)由题意得 y ? 4?
(3)由题意得 S ?

1 1 x(26 ? x) ? ? x 2 ? 13 x(0 ? x ? 26) 其中S是x的 2 2

二次函数

例4. 已知二次函数y=x? +px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
解:把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y ? x 2 ? px ? q, 得:



1? p ? q ? 4 4 ? 2 p ? q ? ?5

解得,p ? ?12, q ? 15.

?所求的二次函数是y ? x ?12x ? 15
2

开动脑筋
问题:是否任何情况下二次函数中的自变量

的取值范围都是任意实数呢? 2 例如:圆的面积 y (cm )与圆的半径 x (cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢? x ? 0

注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.

这节课你有什么收获和体会?

结束寄语

下课了!

?生活是数学的源泉.
?

探索是数学的生命线.


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