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2015-2016学年高中数学 2.3.3离散型随机变量的均值与方差课件 新人教A版选修2-3


第二章 随机变量及其分布

第二章
2.3
2.3.3

离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量的均值与方差习题课

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

通过练习巩固对离散型随机变量均值与方差概念的理解, 熟练运用均值、方差的有关公式,能应用均值与方差解决一些 实际问题.

重点:离散型随机变量的均值和方差的应用.

难点:离散型随机变量的均值和方差的实际应用.

均值与方差的实际应用
新知导学

1 .离散型随机变量的均值、方差都是数,它们没有随机
性,它们是用来刻画随机现象的,均值刻画了离散型随机变量 平均水平 ,方差刻画了随机变量偏离均值的程度,方 取值的__________ 分散 差越大,随机变量的取值越__________ .

2.求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤:
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值; (2)求X取每一个值的概率; (3)写出随机变量X的分布列; (4)由期望、方差的定义求E(X)、D(X).

牛刀小试

1 .设 15000 件产品中有 1000 件次品,从中抽取 150 件进行
检查,则查得次品数X的均值为( A.15 C.20 [答案] B D.5 ) B.10

1000 1 [解析] 次品率 P=15000=15,且该题目中 X 服从二项分 1 布,由公式得 E(X)=np=150×15=10,故选 B.

2.已知随机变量,其中 Y=12X+7,且 E(Y)=34.若 X 的 分布列如下表,则 m 的值为( X p 1 A.3 1 C.6 1 1 4 2 m 1 B.4 1 D.8 ) 3 n 4 1 12

[答案] A

[解析]

本题考查随机变量的均值及有关的运算,由 Y=

9 9 12X + 7 ? E(Y) = 12E(X) + 7 ? 34 = 12· E(X) + 7 ? E(X) = 4 ? 4 = 1 1 1 1 1×4+2×m+3×n+4×12,又4+m+n+12=1,联立求解可 1 得 m=3.

3.(2015· 河南六市联考)在某校运动会中,甲、乙、丙三支 足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)共赛三场,每场比赛 胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局.在每一场比赛中,甲胜 1 1 1 乙的概率为3,甲胜丙的概率为4,乙胜丙的概率为3; (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲队得分为 ξ,求 ξ 的分布列和数学 期望.

[解析] (1)设“甲队获第一且丙队获第二”为事件 A,则 1 1 ? 1? 1 P(A)=3×4×?1-3?=18. ? ? (2)ξ 可能的取值为 0,3,6;则
? 1? ? 1? 1 甲两场皆输:P(ξ=0)=?1-3?×?1-4?=2, ? ? ? ?

1 ? 1? 1 ? 1? 5 甲两场只胜一场:P(ξ=3)=3×?1-4?+4×?1-3?=12 ? ? ? ?

1 1 1 甲两场皆胜:P(ξ=6)=3×4=12, ∴ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 3 5 12 6 1 12

1 5 1 7 E(ξ)=0×2+3×12+6×12=4.

4.(2014· 北京理,16)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况 统计如下(假设各场比赛互相独立): 场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 投篮次数 命中次数 22 15 12 23 24 12 12 8 8 20 场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5 投篮次数 命中次数 18 13 21 18 25 8 12 7 15 12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮 命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮 命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6 的概率; (3)记- x 为表中 10 个命中次数的平均数.从上述比赛中随 机选择一场,记 X 为李明在这场比赛中的命中次数,比较 E(X) 与- x 的大小.(只需写出结论)

[解析] (1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮 命中率超过 0.6 的场次有 5 场,分别是主场 2,主场 3,主场 5, 客场 2,客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中, 李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. (2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮 命中率超过 0.6”,事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中 李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一个 主场和一个客场中, 李明的投篮命中率一场超过 0.6, 一场不超 过 0.6”.

则 C=(A- B )∪(- A B),A、B 独立. 3 2 根据投篮统计数据,P(A)=5,P(B)=5, 3 3 2 2 13 - - P(C)=P(A B )+P( A B)=5×5+5×5=25. 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮 13 命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6 的概率为25. (3)E(X)=- x.

典例探究学案

离散型随机变量的均值 某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个

篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用
过一次的球 ) ,每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放 回.

(1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ,求ξ的分布列和数
学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

[解析] (1)ξ 的所有可能取值为 0、1、2. 设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ξ=i)”为事件 Ai(i= 0,1,2),因为集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧 球,所以 C2 1 3 P(A0)=P(ξ=0)=C2=5, 6
1 C1 C 3 3 3 P(A1)=P(ξ=1)= C2 =5, 6

C2 1 3 P(A2)=P(ξ=2)=C2=5. 6

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

1 3 1 ξ 的数学期望为 E(ξ)=0×5+1×5+2×5=1. (2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球” 为事件 B. 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 A0B +A1B+A2B. 而事件 A0B、A1B、A2B 互斥, 所以,P(A0B+A1B+A2B)=P(A0B)+P(A1B)+P(A2B).

由条件概率公式,得
1 1 C1 C 1 3 3 3 3 P(A0B)=P(A0)P(B|A0)=5× C2 =5×5=25, 6 1 3 C1 C 3 8 8 2 4 P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=5× C2 =5×15=25, 6 1 1 C1 1 1 1 1C5 P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=5× C2 =5×3=15. 6

所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 3 8 1 38 P(A0B+A1B+A2B)=25+25+15=75.

[方法规律总结]

解决离散型随机变量综合应用问题时,

首先要读懂题意,分清事件及其相互关系,并用恰当的字母加 以表示,然后依据随机变量的特点求其概率,要注意互斥、对 立、独立事件或超几何分布,二项分布等特殊事件及分布的概 率,理清事件及其关系是关键环节.

(2015·泉州市模拟)4月10日,2015《中国汉字听写大会》
全国巡回赛正式启动,并拉开第三届”汉听大会”全国海选的 帷幕.某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范 围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整 理后,绘制出频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中 a的值,试估计全市学生参加汉字
听写考试的平均成绩; (2)如果从参加本次考试的同学中随机选取 1名同学,求这 名同学考试成绩在80分以上的概率; (3)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这3名 同学中考试成绩在80分以上(含80分)的人数记为X,求X的分布 列及数学期望.(注:频率可以视为相应的概率)

[ 解析 ]
=0.005,

(1) 由题意, (2a + 3a + 7a+ 6a + 2a)×10 = 1 ,∴ a

估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为: 0.1×55+0.15×65+0.35×75+0.3×85+0.1×95=76.5. (2)设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A. P(A)=0.03×10+0.01×10=0.4, ∴被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4.

(3)由(2)知, 从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩 在 80 分以上的概率为 P=0.4, X 可能的取值是 0,1,2,3,
3 ∴P(X=0)=C0 3×0.6 =

27 125; 54 125; 36 125;

2 P(X=1)=C1 3×0.4×0.6 = 2 P(X=2)=C2 × 0.4 ×0.6= 3 3 P(X=3)=C3 × 0.4 = 3

8 125.

∴X 的分布列为: X P 0 27 125 1 54 125 2 36 125 3 8 125

27 54 36 8 6 所以 E(X)=0×125+1×125+2×125+3×125=5.

超几何分布的均值 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比 赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.

(1)求X的分布列;
(2)求X的均值; (3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率. [分析] 公式求解. 本题是超几何分布问题,可用超几何分布的概率

[解析] (1)X 的可能取值为 0、1、2,
3-k Ck C 2 4 P(X=k)= C3 ,k=0、1、2, 6

所以,X 的分布列为: X P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

(2)由(1)知 X 的均值为 E(X) 1 3 1 =0×5+1×5+2×5=1. (3)“所选 3 人中女生人数 X≤1”的概率为 P(X≤1)=P(X 4 =0)+P(X=1)=5.

(2015· 四川理,17)某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩 论赛,A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生,B 中学推荐了 3 名男 生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后 队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随 机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参 赛.设 X 表示参赛的男生人数,求 X 的分布列和数学期望.

[分析]

本题考查随机事件的概率、随机变量的分布列、

数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识.解答本 题(1)按古典概型与对立事件概率公式求解; (2)由于总共有 3 名 男生,所以 X 的最大取值为 3.又由于要抽取 4 人,而女生只有 3 人,所以至少有 1 名男生,所以 X 的所有可能取值为 1、2、 3.由古典概型的概率公式可求出其分布列,进而求得其期望.

[解析] (1)由题意,参加集训的男女生各有 6 名. 参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表
3 C3 C 1 3 4 队)的概率为C3C3=100. 6 6

1 99 因此,A 中学至少 1 名学生入选的概率为 1-100=100.

(2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3.
3 C1 1 3C3 P(X=1)= C4 =5, 6 2 C2 3 3C3 P(X=2)= C4 =5, 6 1 C3 C 1 3 3 P(X=3)= C4 =5, 6

所以 X 的分布列为: X P 1 1 5 2 3 5 3 1 5

1 3 1 因此,X 的期望为 E(X)=1×5+2×5+3×5=2.

[方法规律总结] 熟记超几何分布的特征及其概率分布.

离散型随机变量的方差 袋中有相同的 5 个球,其中 3 个红球、 2 个黄 球,现从中不放回地随机摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球

都被摸到时,即停止摸球,记随机变量 ξ 为此时已摸球的次
数,求: (1)随机变量ξ的概率分布列; (2)随机变量ξ的数学期望与方差.

[解析] (1)随机变量 ξ 可取的值为 2、3、4,
1 2 C1 C 3 2 3A2 P(ξ=2)= A2 =5; 5 1 2 1 A2 C + A 3 2 3 3C2 P(ξ=3)= =10; A3 5 1 A3 C 1 3 2 P(ξ=4)= A4 =10; 5

所以随机变量 ξ 的概率分布列为: ξ P 2 3 5 3 3 10 4 1 10

(2)随机变量 ξ 的数学期望 3 3 1 5 E(ξ)=2×5+3×10+4×10=2; 随机变量 ξ 的方差 52 3 52 3 52 1 9 D(ξ)=(2-2) ×5+(3-2) ×10+(4-2) ×10=20.

某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两 名选手中选出一人参加.为此,设计了一个挑选方案:选手从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题. 通过考察得知: 6 道备选题 中选手甲有 4 道题能够答对,2 道题答错;选手乙答对每题的 2 概率都是3,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对 的题数分别为 ξ、η.

(1)写出ξ的概率分布列,并求出E(ξ)、E(η); (2)求D(ξ)、D(η),请你根据得到的数据提出建议,该单位 应派哪个选手参加竞赛?

[解析] (1)在 6 道题中,甲有 4 道题能答对,从中任选 3
2 C1 · C 1 4 2 题,选手甲答对题数 ξ 的取值为 1、2、3,P(ξ=1) = C3 =5, 6

C2 C1 3 C3 1 4· 2 4 P(ξ=2)= C3 =5,P(ξ=3)=C3=5, 6 6

∴ξ 的概率分布列为 ξ P 1 1 5 2 3 5 3 1 5

1 3 1 所以 E(ξ)=1×5+2×5+3×5=2. 2 在 6 道题中,选手乙答对每道题的概率都是3,故 η~B(3, 2 2 3),∴E(η)=3×3=2.

1 3 1 2 2 2 (2)D(ξ)=(1-2) ×5+(2-2) ×5+(3-2) ×5=5,
2

2 2 2 2 ∵由 η~B(3,3),∴D(η)=3×3×(1-3)=3. 可见,E(ξ)=E(η),D(ξ)<D(η), 因此,建议该单位派甲参加竞赛.
[方法规律总结 ] 题. 既要熟记期望与方差的一般定义,又要

熟记特殊分布的期望与方差,还要会用期望与方差解决实际问

均值与方差的实际运用 甲、乙两名射手各打了10发子弹,其中甲击中

环数与次数如下表:
环数 次数 5 1 7 0.2 6 1 7 1 8 0.3 8 1 9 p 9 2 10 4 10 0.1

乙射击的概率分布如下表: 环数 概率

(1)若甲、乙各打一枪,求击中环数之和为 18的概率及p的
值; (2)比较甲、乙射击水平的优劣. [分析] 要比较甲、乙射击水平的优劣,就是要比较它们 的均值与方差.

[解析] (1)由 0.2+0.3+p+0.1=1 得,p=0.4. 设甲、乙击中的环数分别为 X1、X2,则 1 2 P(X1=8)=10=0.1,P(X1=9)=10=0.2, 4 P(X1=10)=10=0.4, P(X2=8)=0.3,P(X2=9)=0.4,P(X2=10)=0.1, 所以甲、乙各打一枪击中环数之和为 18 的概率为: P=0.1×0.1+0.3×0.4+0.2×0.4=0.21.

(2) 甲的均值为 E(X1) = 5×0.1 + 6×0.1 + 7×0.1 + 8×0.1 +

9×0.2+10×0.4=8.4,
乙 的 均 值 为 E(X2) = 7×0.2 + 8×0.3 + 9×0.4 + 10×0.1 = 8.4, 甲的方差为 D(X1) = (5 - 8.4)2×0.1 + (6 - 8.4)2×0.1 + (7 - 8.4)2×0.1 + (8 - 8.4)2×0.1 + (9 - 8.4)2×0.2 + (10 - 8.4)2×0.4 = 3.04, 乙的方差为 D(X2) = (7 - 8.4)2×0.2 + (8 - 8.4)2×0.3 + (9 - 8.4)2×0.4+(10-8.4)2×0.1=0.84.

所以D(X1)>D(X2),乙比甲技术稳定.

甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数 相等,所得次品数分别为 ξ、η,ξ 和 η 的分布列如下表: ξ P η P 0 6 10 0 5 10 1 1 10 1 3 10 2 3 10 2 2 10

试对这两名工人的技术水平进行比较.

[分析] 的大小.

一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下

出次品数的平均值;二是要看出次品数的波动情况,即方差值

[解析] 工人甲生产出次品数 ξ 的均值和方差分别为: E(ξ) 6 1 3 =0×10+1×10+2×10=0.7, 6 1 3 2 2 D(ξ) = (0 - 0.7) × 10 + (1 - 0.7) × 10 + (2 - 0.7) × 10 =
2

0.81;

工人乙生产出次品数 η 的均值和方差分别为: 5 3 2 E(η)=0×10+1×10+2×10=0.7, 5 3 2 2 2 D(η) = (0 - 0.7) × 10 + (1 - 0.7) × 10 + (2 - 0.7) × 10 =
2

0.61. 由 E(ξ)=E(η)知,两人出次品的平均数相同,技术水平相 当,但 D(ξ)>D(η),可见乙的技术比较稳定.

对二项分布参数意义不明,不清楚公式含义致误 (2015· 枣庄市高二期末)已知甲、 乙两名篮球运动 1 员每次投篮命中的概率分别为2、p,甲、乙每次投篮是否投中 1 相互之间没有影响,乙投篮 3 次均未命中的概率为27. (1)求 p 的值; (2)若甲投篮 1 次、乙投篮 2 次,两人投篮命中的次数的和 记为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X).

[错解] (1)服从 B(3,p)独立重复试验,
3 0 根据题意得出:C3 p (1 - P ) = 3

1 27,

1 ∴p=3. (2)X=0,1,2,3 当 X=0 时,甲,乙两人投篮命中次数都为 0, 1 12 2 2 P(X=0)=(1-2)×C2(1-3) =9, 当 X=1 时,甲,乙两人投篮命中次数为 0,1 或 1,0.

1 1 1 1 2 12 2 2 4 1 P(X=1)=(1-2)×C2×3×(1-3)+2C2(1-3) =9+9=9, 当 X=2 时,甲,乙两人投篮命中次数为 1,1 或 0,2. 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 P(X = 2) = 2 ×C 2 × 3 ×(1 - 3 ) + (1 - 2 )×C 2 ( 3 ) = 9 + 18 = 5 18, 当 X=3 时,甲,乙两人投篮命中次数为 1,2.

1 12 1 P(X=3)=2×(3) =18, X P 0 2 9 1 4 9 2 5 18 3 1 18

2 4 5 1 7 E(X)=0×9+1×9+2×18+3×18=6.

[辨析] 在 n 次独立重复试验中,事件 A 每次发生的概率
k k 为 p, 则事件 A 恰好发生 k 次的概率应为 P(X=k)=Ck np (1-p) ,

k=0,1,2,?,n,错解对二项分布中各参数含义不清导致错误.

[正解] (1)乙每次投篮命中概率为 P,投篮 3 次,命中次 数 ξ~B(3,p),
0 3 由题意得,P(ξ=0)=C0 P (1 - P ) = 3

1 2 27,∴P=3.

(2)甲投篮 1 次,乙投篮 2 次,命中次数之和 X 的可能取值 为 0,1,2,3, 1 020 22 1 ∴P(X=0)=(1-2)· C2(3) · (1-3) =18, 1 0 20 22 1 1 21 2 2-1 5 P(X=1)=2· C2×(3) (1-3) +(1-2)· C2· (3) (1-3) =18, 1 1 21 2 2-1 1 2 22 4 P(X=2)=2· C2· (3) (1-3) +(1-2)C2· (3) =9,

1 2 2 2 2 P(X=3)=2×C2(3) =9. ∴X 的分布列为 X P 0 1 18 1 5 18 2 4 9 3 2 9

1 5 4 2 11 E(X)=0×18+1×18+2×9+3×9= 6 .

[警示] 解答与二项分布有关的问题关键把握好: (一)必须 是 n 次独立重复 试验;(二)若每次试验中事件 A 发生的概率都 .... 是 P,则在 n 次试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(ξ=k)
k k =Cn p (1-p)n k(k=0,1,2,?,n);(三)若 ξ~B(n,p),则 E(ξ)


=np,D(ξ)=np(1-p).


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