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等差数列前n项和优秀教案

§2.3 等差数列的前 n 项和
一、教学目标 知识与技能:掌握等差数列前 n 项和公式;会用等差数列的前 n 项和公式解决问题。 过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特 殊的思维规律;通过公式推导的过程教学,扩展学生思维。 情感态度与价值观:通过公式的推导过程,使学生体会数学中的对称美,促进学生的逻 辑思维。 二、教学重点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用 三、教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 四、教学过程 [创设情景] 在 200 多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演 了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时,高斯的数学老师提出了下面的问题: 1+2+3+……+100=? 据说,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时,10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出 了正确答案: (1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050. [探索研究] 我们从高斯那里受到启发,于是用下面的这个方法计算 1,2,3,…,n,…的前 n 项 的和: 由 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1) 可知 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

(n ? 1) ? n 2

上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里? 高斯的算法很巧妙, 他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和相 等这个规律,并且把这个规律用于求和。这种方法可以推广到求一般等差数列的前 n 项和。 [等差数列求和公式的推导] 一 般 地 , 称 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an 为 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 , 用 S n 表 示 , 即

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an .
1.思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢? 思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。

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S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ? 1)d ], ① S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ... ? [an ? (n ? 1)d ], ②
由①+②,得

(a1 ? an)+(a1 ? an)+(a1 ? an)+...+(a1 ? an) 2Sn ?
n个

? n(a1 ? an )
由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? a n ) 2

对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了。

2.把 an ? a1 ? (n ?1)d 代入 S n ?

n(n ? 1) n(a1 ? an ) d 中,就可以得到 S n ? na1 ? 2 2

对于这个公式,只要知道等差数列的首项、项数和公差,就可以求出等差数列的前 n 项和。 引导学生思考这两个公式的结构特征得到: 第一个公式反映了等差数列任意的第 k 项与 倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。 第二个公式反映了等差数列的前 n 项和 与 它的 首项、 公差 之间的 关系 ,而且 是关于 n 的 “二 次函数 ” , 该公 式可 以变 形为

Sn ?

1 2 1 dn ? (a1 ? d )n ,可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道 a 1 和 2 2

n,不同点是第一个公式还需知道 a n ,而第二个公式是要知道 d,解题时还需要根据已知条 件决定选用哪个公式。 [例题分析] 例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建 成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保 证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? ⑴、先阅读题目; ⑵、引导学生提取有用的信息,构造等差数列模型; ⑶、写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解。 解:根据题意,从 2001-2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50 万元.所以,可以建立一个等差数列 {an } ,表示从 2001 年起各年投入的资金,其中

a1 ? 500 , d=50.
那么,到 2010 年(n=10) ,投入的资金总额为

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Sn ? 10 ? 500 ?

10 ? ( 10 ? 1 ) ? 50 ? 7250 (万元) 2

答:从 2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元.

例 2.已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定 这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 引导学生分析得到: 等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的 方程。若要确定其前 n 项求和公式,则要确定 a1和d 的关系式,从而求得。 分析:将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一 次方程,由此可以求得 a1 与 d,从而得到所求前 n 项和的公式. 解:由题意知 将它们代入公式

S10 ? 310, S20 ? 1220 ,
S n ? na1 ? ( n n ?1 ) d, 2

得到

10a1 ? 45d ? 310, 20a1 ? 190d ? 1220

解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1 =4,d=6, 所以 Sn ? 4n ? 另解: 得

( n n ?1 ) ? 6 ? 3n 2 ? n 2 a ?a S10 ? 1 10 ? 10 ? 310 2

a1 ? a10 ? 62;
S20 ? a1 ? a20 ? 20 ? 1220 2



所以 ②-①,得 所以 代入①得: 所以有

a1 ? a20 ? 122;
10d ? 60 , d ?6



a1 ? 4
Sn ? a1n ? ( n n ?1 ) d ? 3n 2 ? n 2

例题评述:此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通 过解方程,得出其余的未知量.

3/5

例 3 已知数列 {an } 的前 n 项为 S n ? n ?
2

1 n ,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数 2

列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:根据 与

Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? an Sn?1 ? a1 ? a2 ? ... ? an? (n >1) 1
2

可知,当 n>1 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 1 ?
2

1 1 1 2 n ?( [ n ?1 ) ? (n ? 1 ) ] ? 2n ? 2 2 2
也满足①式.



1 3 ?1 ? 2 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 由此可知,数列 {an } 是一个首项为

1 . 2

3 ,公差为 2 的等差数列。 2

这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和 Sn ,可求出通项

an ?

S1

(n ? 1 )

Sn ? Sn?1 (n ? 1)

用这种数列的 Sn 来确定 an 的方法对于任何数列都是可行的, 而且还要注意 a1 不一定满 足由 Sn ? Sn?1 ? an 求出的通项表达式,所以最后要验证首项 a1 是否满足已求出的 an .

思考:结合例 3 ,思考课本 45 页“探究” :一般地,如果一个数列 {an } 的前 n 项和为

Sn ? pn2 ? qn ? r. 其中 p、q、r 为常数,且 p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果
是,它的首项与公差分别是什么? 引导分析得出: 观察等差数列前 n 项和公式 S n ? a1n ?

( n n ?1 ) d 2 d d? n ? (a1 ? )n , 2 2 2

公式本身就不含常数项。 所以得到:如果一个数列前 n 项和公式是常数项为 0,且关于 n 的二次型函数,则这个 数列一定是等差数列.

4 , 3 ,....的前 n 项和为 Sn ,求使得 Sn 最大的序号 n 的值. 例 4 已知等差数列 5,
分析:等差数列的前 n 项和公式可以写成 S n ? 数y?

2 7

4 7

d 2 d n ? (a1 ? )n ,所以 Sn 可以看成函 2 2

d 2 d x ? (a1 ? )( x x ? N *) 当 x=n 时的函数值. 2 2

另一方面,容易知道 Sn 关于 n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此,我们可以利用二次函

4/5

数来求 n 的值.

4 , 3 ,....的公差为 ? 解:由题意知,等差数列 5,

4 7 n 5 S n ? [2 ? 5 ? (n ? 1 )( ? ) ] 2 7
=

2 7

5 ,所以 7

75n ? 5n2 5 15 2 1125 ? ? (n ? ) ? 14 14 2 56
15 最接近的整数即 7 或 8 时, Sn 取最大值. 2

于是,当 n 取与

[随堂练习]课本 45 页“练习”第 1、2、3 题 [课堂小结] 等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ? (五)评价设计 课本 46 页 A 组第 2、3、6

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d 和 S n ? na1 ? 2 2

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