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等差数列前n项和优秀教案

§2.3 等差数列的前 n 项和
一、教学目标 知识与技能:掌握等差数列前 n 项和公式;会用等差数列的前 n 项和公式解决问题。 过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特 殊的思维规律;通过公式推导的过程教学,扩展学生思维。 情感态度与价值观:通过公式的推导过程,使学生体会数学中的对称美,促进学生的逻 辑思维。
二、教学重点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用
三、教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题
四、教学过程
[创设情景] 在 200 多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演
了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时,高斯的数学老师提出了下面的问题: 1+2+3+……+100=? 据说,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时,10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出
了正确答案:(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050.
[探索研究] 我们从高斯那里受到启发,于是用下面的这个方法计算 1,2,3,…,n,…的前 n 项
的和: 由 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1)
可知1 ? 2 ? 3 ? ...? n ? (n ?1) ? n 2
上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里? 高斯的算法很巧妙,他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和相 等这个规律,并且把这个规律用于求和。这种方法可以推广到求一般等差数列的前 n 项和。
[等差数列求和公式的推导]
一 般 地 , 称 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an 为 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 , 用 S n 表 示 , 即
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an .
1.思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢? 思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。
1/5

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ?1)d ], ①

由①+②,得

Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ... ? [an ? (n ?1)d ], ② 2Sn ?(a1 ? an)+(a1 ? an)+(a1 ? an)+...+(a1 ? an)
n个
? n(a1 ? an )

由此得到等差数列{an } 的前 n 项和的公式 Sn

?

n(a1 ? an ) 2

对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了。

2.把 an

?

a1

?

(n

?1)d

代入

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

中,就可以得到

Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

对于这个公式,只要知道等差数列的首项、项数和公差,就可以求出等差数列的前 n

项和。

引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列任意的第 k 项与

倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前 n 项和

与 它的 首项、 公差 之间的 关系 ,而且 是关于 n 的 “二 次函数 ”, 该公 式可 以变 形为

Sn

?

1 2

dn2

?

(a1

?

1 2

d )n

,可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道

a

1



n,不同点是第一个公式还需知道 a n ,而第二个公式是要知道 d,解题时还需要根据已知条

件决定选用哪个公式。

[例题分析] 例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建 成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保 证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
⑴、先阅读题目; ⑵、引导学生提取有用的信息,构造等差数列模型; ⑶、写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解。 解:根据题意,从 2001-2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50
万元.所以,可以建立一个等差数列{an},表示从 2001 年起各年投入的资金,其中
a1 ? 500 , d=50.
那么,到 2010 年(n=10),投入的资金总额为

2/5

Sn

? 10?500

?

10 ?(10 2

?1)? 50

?

7250

(万元)

答:从 2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元.

例 2.已知一个等差数列{an}前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定
这个等差数列的前 n 项和的公式吗?
引导学生分析得到:等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的

方程。若要确定其前 n 项求和公式,则要确定 a1和d 的关系式,从而求得。

分析:将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一

次方程,由此可以求得 a1 与 d,从而得到所求前 n 项和的公式.

解:由题意知 S10 ? 310, S20 ? 1220 ,

将它们代入公式

Sn

?

na1

?

(n n ?1)d, 2

得到 10a1 ? 45d ? 310, 20a1 ?190d ? 1220

解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1 =4,d=6,

所以

Sn

?

4n

?

(n n ?1)? 6 2

?

3n2

?

n

另解:

S10

?

a1

? a10 2

?10

?

310



a1 ? a10 ? 62;



S20

?

a1

? a20 2

?

20

? 1220

所以

a1 ? a20 ? 122;



②-①,得 10d ? 60 ,

所以

d ?6

代入①得: a1 ? 4

所以有

Sn

?

a1n ?

(n n ?1)d 2

?

3n2

?

n

例题评述:此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通

过解方程,得出其余的未知量.

3/5

例3

已知数列 {an } 的前

n

项为

Sn

?

n2

?

1 2

n

,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数

列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

解:根据 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? an



Sn?1

?

a1

?

a2

?

... ?

an

(n
?1

>1)

可知,当

n>1

时,

an

?

Sn

?

Sn?1

?

n2

?

1 2

n

?([ n

?1)2 ?

1(n 2

?1)] ?

2n

?

1 2





n=1

时,

a1

?

S1

?

12

?

1 2

?1

?

3 2

也满足①式.

所以数列 {an } 的通项公式为

an

?

2n

?

1 2

.

由此可知,数列 {an } 是一个首项为

3 2

,公差为

2

的等差数列。

这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和 Sn ,可求出通项

an ?

S1

(n ? 1)

Sn ? Sn?1 (n ? 1)

用这种数列的 Sn 来确定 an 的方法对于任何数列都是可行的,而且还要注意 a1 不一定满

足由 Sn ? Sn?1 ? an 求出的通项表达式,所以最后要验证首项 a1 是否满足已求出的 an .

思考:结合例 3,思考课本 45 页“探究”:一般地,如果一个数列 {an} 的前 n 项和为

Sn ? pn2 ? qn ? r. 其中 p、q、r 为常数,且 p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果

是,它的首项与公差分别是什么?

引导分析得出:观察等差数列前 n

项和公式

Sn

?

a1n

?

(n n ?1)d 2

?

d 2

n2

?(a1

?

d )n 2



公式本身就不含常数项。

所以得到:如果一个数列前 n 项和公式是常数项为 0,且关于 n 的二次型函数,则这个

数列一定是等差数列.

例4

已知等差数列

5,4 2 7

,3 4 7

,....的前

n

项和为

S

n

,求使得

S

n

最大的序号

n

的值.

分析:等差数列的前

n

项和公式可以写成

Sn

?

d 2

n2

?(a1

?

d )n 2

,所以

Sn

可以看成函



y

?

d 2

x2

?(a1

?

d 2

)(x x

?

N

*) 当

x=n

时的函数值.

另一方面,容易知道 Sn 关于 n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此,我们可以利用二次函

4/5

数来求 n 的值.

解:由题意知,等差数列 5,4 2,3 4,....的公差为 ? 5 ,所以

77

7

Sn

?

n [2?5 ?(n 2

?1)(?

5)] 7

= 75n ? 5n2 ? ? 5(n ? 15)2 ? 1125

14

14 2 56

于是,当

n

取与

15 2

最接近的整数即

7



8

时,

S

n

取最大值.

[随堂练习]课本 45 页“练习”第 1、2、3 题

[课堂小结]

等差数列{an } 的前 n 项和的公式 Sn

?

n(a1 ? an ) 2

和 Sn

? na1 ?

n(n ?1) d 2

(五)评价设计 课本 46 页 A 组第 2、3、6

5/5


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