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zhongfayuleruanjianxiazai:1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(选修1-2)(二课时).ppt03_图文

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-----------------第二课时

复习:
分类变量:变量的不同值表示个体不同类别的变量

频数表称为列联表. 列联表:列出的两个分类变量的

独立性检验:利用 随机变量 ? 来判断“两个分类 变量有关系”的方法
2

探究 为调查吸烟是否对患肺 癌有影响,某 肿瘤研究所随机地调查 了9 965人, 得到如下 结果 (单位 : 人) :
表1 ? 7吸烟与患肺癌列联表

不患肺癌 患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 42 49 91

总计 7817 2148 9965

那么吸烟是否对患肺癌 有影响?

8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

吸烟
患肺癌

不患肺癌

不吸烟

图1.2 ? 1

图1.2 ? 1是列联表的三维柱形图, 从中能清晰 地看出各个频数的相对大小. 作三维柱形图要注意选择恰当的视角,以使每 个柱体都能看到.

9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

不患肺癌

患肺癌

不吸烟

吸烟

图1.2 ? 2

图 1.2 ? 2 是叠在一起的二维条形图, 其中绿色 条高表示不患肺癌的人数, 黑色条高表示患肺 癌的人数.从图中可以看出, 吸烟者中患肺癌的 比例高于不吸烟者中患肺癌的比例.

1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

不吸烟

吸烟

图1.2 ? 3

为了更清晰地表达这个特征, 我们还可用如下的等 高条形图表示两种情况下患肺癌的比例 .如图1.2 ? 3 所示 , 在等高条形图中, 绿色的条高表示不患肺癌 的百分比; 黑色的条高表示患肺癌的百分比.

假设H0:吸烟与患肺癌没有关系
不患肺癌 不吸烟
吸烟 总计

患肺癌

总计

a c a+c

b d b+d

a+b c+d a+b+c+d

为了是不同样本容量的数据有一个统一的标准, 构造一个随即变量(a,b,c,d均必须大于5)
2 n ( ad ? bc ) K2 ? ,其中n=a+b+c+d为样本容量 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

独立性检验
首先,假设结论不成立,即 H :两个分类变量没有关系
(在这种假设下k应该很小)

其次,由观测数据计算K 的观测值k,
(如果k很大,则在一定可信程度上说明H 不 成立,即两个分类变量之间有关系)

2

最后,根据k的值判断假设是否成立

临界值表:
P(K 2 ? k0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

当k ? k0时,含义是有(1-P(K 2 >k0 )) ? 100%的把握 说明H 0不成立,而这种判断可能出错,出错的概率 不会超过P(K 2 >k0 ) 当k<k 0时,含义是样本数据没有充分的理由证明H 0 不成立

解:假设H 0 : 吸烟与患肺癌没有关系 K 的观测值为 9965(7775 ? 49 ? 42 ? 2099) 2 k? ? 56.632 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91 根据临界值表可知P( K 2 ? 10.828) ? 0.001 56.631远大于10.828,所以有理由判断H 0不成立, 所以吸烟与患癌症有关系。
这种判断可能有错误,但是犯错误的不会超过 0.001,这是个小概率时间,我们有99.9%的把 握认为“吸烟与患癌症有关系”
2

假设有两个分类变量X 和Y,他们可能的取值 分别为{x1 , x2 },{ y1 , y2 }, 其样本频数列联表为:
y1
x1

y2
b

总计

a

a+b

x2
总计

c a+c

d b+d

c+d a+b+c+d

H1:X 与Y 有关系 判断H1成立的可能性 1、通过图形,大致地判断两个分类变量是否有关系
在三维柱形图中,ad 与bc相差的越大,H1成立的可能性就越大 a c 在二维柱形图中, 与 相差的越大,H1成立的可能性就越大 a?b c?d

2、利用独立相关性检验来考察两个分类变量是 否有关系,并且精确地给出这种判断的可靠程度。 具体步骤如下:

a.根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0 b.根据观测数据计算随机变量K 2的值k c.如果k ? k0 , 就以(1-P(K 2 ? k0 )) ? 100%的把握认为H1 成立,否则认为由样本数据没有充分的证据显示H1成立

例1
在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人 中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病 而住院的男性病人中有175人秃顶。利用图形判断 秃顶与患心脏病是否有关系。能够以99%的把握认 为秃顶与患心脏病有关系吗?为什么?
患心脏病 患其他病 214 175 451 665 597 772 总计 389 1048 1437

秃顶 不秃顶 总计

因为这组数据来 自被调查的医院, 因此此结论只是 用于该医院住院 的病人群体
底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些,因 此可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”

1437 ? (214 ? 597 ? 175 ? 451) k? ? 16.373 ? 6.635 389 ?1048 ? 665 ? 772
2

所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”

例2 为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课 程之间的关系,在某城市的某校高中生中随即 抽取300名学生,得到如下列联表:
喜欢数学课程 男 37 不喜欢数学课程 85 总计 122


总计

35
72

143
228

178
300

n(ad - bc) ? ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

2

300(37 ?143? 85? 35) ? 72? 228?122?178

2

k ? 4.514

由表中数据计算得到 K 2 的观测值 k ? 4.514 。 能够以95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学 课程之间有关系吗?为什么?

解:在假设“性别与是否喜欢数学之间没有关系” 的前提下,K 2应该很小,并且 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 而K 2的观测值k ? 4.514超过了3.841,这就意味着 “性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论 是错误的可能性约为0.05,即有95%的把握 认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”

这一结论只适用于被调查的学校

练习

? 在一项有关医疗保健的社会调查中,发现 被调查的男性有530人,女性有670人,其 中男性中喜欢吃甜食的有117人,而女性 中喜欢吃甜食的有492人,试判断喜不喜 欢吃甜食与性别有无关系.

? [解析] 作列联表如下(单位:人): ? 性别与喜欢吃甜食列联表
喜欢吃甜食 不喜欢吃甜食 总计 男 女 总计 117 492 609 413 178 591 530 670 1200

? 如图所示是根据调查人的性格与性别有无 关系的相应数据画出的三维柱形图,由该 三维柱形图可知,人的性格与性别______ 关系.(填“有”或“没有”).

? 练习(1)下面2×2列联表的K2的值为 1.780

2 392(39 × 167 - 157 × 29) [解析] K2= =1.780 196×196×68×324

(2)从上面计算结果中有多少把握判断A和B相关

因为1.780>1.323,只有约75%的把握判断A和B相 关,即没有确切把握判断A和B相关

? [例3] 在调查的480名男人中有38名患有 色盲,520名女人中有6名患有色盲,通过 图形判断色盲与性别是否有关.利用独立 性检验判断,是否能够以99.9%的把握认 为“色盲与性别有关系”.你所得到的结 论在什么范围内有效? ? [解析] 根据题目所给的数据作出如下的 列联表(单位:名):

? 色盲与性别列联表 色盲 非色盲 总计 38 442 480 男 6 514 520 女 44 956 1000 总计 ? 根据列联表作出相应的二维条形图,如图 所示.

38 从二维条形图来看,在男人中患色盲的比例为480,在
? 38 6 ? 6 女 人 中 患 色 盲 的 比 例 为 520 , 二 者 的 差 值 为 ?480-520? ? ?

≈0.068,相差较大,因而我们可以在某种程度上认为色盲 与性别是有关的. 根据列联表中所给的数据,有 a=38,b=442,c=6, d=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,b+d=956,n =1000,得 K2 的观测值

n(ad-bc)2 k= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 1000×(38×514-442×6)2 480×520×44×956 ≈27.1. 由 于

k≈27.1>10.828,所以我们有 99.9%的把握认为色盲与性 别有关系.这个结论只对所调查的 480 名男人和 520 名 女人有效.

? 说明: 本题应首先作出调查数据的列联表, 再根据列联表画出二维条形图或三维柱形图, 并进行分析,最后利用独立性检验作出判断. ? 1.利用图形来判断两个分类变量是否有关系, 可以画出三维柱形图,也可以画出二维条形图, 仅从图形上只可以粗略地判断两个分类变量是 否有关系,可以结合所给的数值来进行比 较.作图应注意单位统一,图形准确,但它不 能给我们两个分类变量有关或无关的精确的可 信程度,若要作出精确的判断,可以作独立性 检验的有关计算.

? 2.当需要利用公式计算K2的观测值大小来对问题 作出推断时,首先要牢记公式,再将经过准确运 算后得到的结果与临界值进行比较,最后才能得 出合乎情理的结论.

? 练习 有甲、乙两个班级进行一门考试,按照 学生考试成绩优秀和不优秀统计后,得到如下 的列联表 ? 班级与成绩列联表

甲班 乙班 总计

优秀 10 7 17

不优秀 35 38 73

总计 45 45 90

试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”?

2 90 × (10 × 38 - 7 × 35) K2= =0.653, 17×73×45×45

0.653<3.841, 所以没有充分证据认为成绩与班级有关.

? 一、选择题 ? 1.可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是 ? ( ) ? A.散点图 ? B.三维柱形图和二维条形图 ? C.独立性检验的思想 ? D.以上都不对 ? [答案] B

? 2.下表是一个2×2列联表:

x1 x2 总计

y1 a 2 b

y2 21 25 46

总计 73 27 100
D.54,52
? ?a=52, 得? ? ?b=54.

? 则表中a,b处的值分别为( ) ? A.94,96 B.52,50 C.52,54

? [答案] C

[解析]

? ?a+21=73, 由? ? ?a+2=b,

? 3.对于分类变量 X与Y的随机变量 K2 的观测值 k,下列说法 正确的是 ( ) ? A.k越大,推断“X与Y有关系”,犯错误的概率越大 ? B.k越小,推断“X与Y有关系”,犯错误的概率越大 ? C.k越接近于0,推断“X与Y无关”,犯错误的概率越大 ? D.k越大,推断“X与Y无关”,犯错误的概率越小 ? [答案] B

? 4.利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是 否有关系时,通过查阅临界值表来确定断言“X 与Y有关系”的可信度,如果k>5.024,那么就 推断“X和Y有关系”,这种推断犯错误的概率 不超过 ( ) ? A.0.25 B.0.75 ? C.0.025 D.0.975 ? [答案] C ? [解析] 通过查表确定临界值k.当k>k0=5.024时, 推断 “X与 Y”有关系这种推断犯错误的概率不 超过0.025.

? 二、填空题 ? 5.如果K2的观测值k为8.654,可推断“X 与Y有关”犯错误的概率不超过______. ? [答案] 0.005 ? [解析] k=8.654>7.879,就推断“X与Y 有关”犯错误的概率不超过0.005.

1、能够通过三维柱形图与二维条形图估计
两个分类变量之间是否有关系
2 K 2、利用 判断处两个分类变量之间是否有

关系

3、了解独立性检验的思想


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