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4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切


高中数学教案

第四章 三角函数(第 12 课时)

王新敞



题:4 6
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两角和与差的正弦、余弦、正切(1)

教学目的: 1.巩固平面上的两点间距离公式,并能运用两点间距离公式推导出两角和 与差的余弦公式,会初步运用解决具体问题 2.初步理解解析法解决问题的方法,培养学生运用数学工具在实践中探索 知识,进而获取知识的能力 3.培养探索和创新的能力和意识 教学重点:公式推导及运用 教学难点:推导公式方法,找出含有 cos( ? ? ), cos? , cos ? 的等量关系 ? 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 平面上的两点间距离公式 1.数轴上两点间的距离公式 d ? x1 ? x 2 2.平面内任意两点 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) 间的距 1 离公式
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y N2 P2

M1 o P1 N1 M2 Q x

从点 P1 , P2 分别作 x 轴的垂线 P1 M 1 , P2 M 2 与 x 轴交于点 M 1 ( x1 ,0), M 2 ( x 2 ,0) 再从点 P1 , P2 分 别作 y 轴的垂线 P1 N 1 , P2 N 2 与 y 轴交于点 N 1 , N 2 与相交于 Q 点则: P1 Q= M 1 M 2 =| x 2 - x1 | Q P2 = N 1 N 2 =| y 2 - y1 | 由勾股定理:

直线 P1 N 1 , P2 N 2

P P22 ? P Q 2 ? QP22 ?| x2 ? x1 | 2 ? | y 2 ? y1 |2 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 1 1
从而得 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) 两点间的距离公式: 1

P1 P2 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
3.练习:已知 A(-1,5),B(4,-7) 求 AB 解: AB

? (4 ? 1) 2 ? (?7 ? 5) 2 ? 25 ? 144 ? 13

二、讲解新课: 1.探究 cos( ? ? ) ? cos? ? cos ? ? 反例: cos
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?

? cos( ? ) ? cos ? cos 2 3 6 3 6
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?

?

?

?

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第四章 三角函数(第 12 课时)

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问题: cos( ? ? ), cos? , cos ? 的关系? ? 解决思路:探讨三角函数问题的最基本的工具是直 角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线 2.探究:在坐标系中?、?角构造?+?角 3.探究:作单位圆,构造全等三角形 4.探究:写出 4 个点的坐标
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P

3

P

2

O P
4

P

1

P1 (1,0) , P2 (cos? , sin ? )
P3 (cos(? ? ? ), sin(? ? ? )) , P4 (cos(?? ), sin(?? )) ,
5.计算 P1 P3 , P2 P4

P1 P3 = P2 P4 =

?cos(? ? ? ) ? 1?2 ? sin 2 (? ? ? ) ?cos? ? cos(? ? )?2 ? [sin ? ? sin(? ? )] 2

6.探究 由 P1 P3 = P2 P4 导出公式

? cos(? ? ? ) ? 1 ?

2

? sin 2 (? ? ? )
2 2

? ? cos(? ? ) ? cos ? ? ? ? sin(? ? ) ? sin ? ?

展开并整理得 2 ? 2 cos( ? ? ) ? 2 ? 2(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 所以 cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 7.探究 特征 ①熟悉公式的结构和特点; ②此公式对任意?、?都适用 ③公式记号 C (? ? ? ) 8.探究 cos(???)的公式 可记为 C (? ? ? )

以??代?得: cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 公式记号 C (? ? ? )
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第四章 三角函数(第 12 课时)

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三、讲解范例: 例 1 计算① cos105? ②cos15? ③cos

? 3? ? 3? cos ?sin sin 10 10 5 5
2? 6 4

解:①cos105?=cos(60?+45?)=cos60?cos45??sin60?sin45? =

1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2

②cos15? =cos(60??45?)=cos60?cos45?+sin60?sin45? =

1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2

2? 6 4

? 3? ? 3? ? 3? ? cos ?sin sin = cos( + )=cos =0 10 10 5 5 5 10 2 12 3 例 2 已知 sin?= ,cos?= 求 cos(???)的值 5 13 12 3 解:∵sin?= >0,cos?= >0 5 13
③cos
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∴?可能在一、二象限,?在一、四象限 若?、?均在第一象限, 则 cos?=

5 4 ,sin?= 5 13 5 4 ,sin?=? 5 13
5 4 ,sin?= 5 13 5 4 ,sin?=? 5 13

cos(???)=

4 12 3 5 63 ? ? ? ? 5 13 5 13 65 4 12 3 5 33 ? ? ? (? ) ? 5 13 5 13 65
4 12 3 5 33 ? ? ?? 5 13 5 13 65 4 12 3 5 63 ? ? (? ) ? ? 5 13 5 13 65

若?在第一象限,?在四象限, 则 cos?= cos(???)=

若?在第二象限,?在一象限, 则 cos?=? cos(???)= (? ) ?

若?在第二象限,?在四象限, 则 cos?=? cos(???)= (? ) ?

例 3 已知 cos(2α -β )=-

4 3 11 ? ? ? ,sin (α -2β )= ,且 <α < ,0<β < , 7 14 4 2 4

求 cos(α +β )的值 分析:已知条件中的角与所求角虽然不同,但它们之间有内在联系, 即(2α -β )-(α -2β )=α +β 由α 、β 角的取值范围,分别求出 2α -β 、 α -2β 角的正弦和余弦值,再利用公式即可求解
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第四章 三角函数(第 12 课时)

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解:∵ ∴

?
4

?? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
4

,

? ? ? <2α -β <π ,<α -2β < , 4 4 2
5 3 11 得,sin (2α -β )= ; 14 14 4 3 1 得,cos(α -2β )= 7 7

由 cos(2α -β )=-

由 sin (α -2β )=

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∴cos(α +β )=cos[(2α -β )-(α -2β )]=cos(2α -β )cos(α -2β )+sin (2α -β )sin (α -2β )=-

11 1 5 3 4 3 1 × + × = 7 14 7 14 2
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评注:在三角变换中,首先应考虑角的变换 如何变换角?一定要根据题目 的条件与结论来变,简单地说就是“据果变形” ,创造出使用三角公式的条件, 以达到求值、化简和证明的目的 常用的变换角的方法有:α =(α +β )-β ,α +2
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β =(α +β )+α ,α = 四、课堂练习:

???
2
1 3

?

???
2

,??

???
2

?

???
2

,?

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1.已知 cos(???)= ,求(sin?+sin?)2+(cos?+cos?)2 的值
2 8 解: (sin?+sin?)2+(cos?+cos?)2=2+2 cos(???)=2+ = 3 3

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2.sin??sin?=? ,cos??cos?= ,??(0, 的值
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1 2

1 2

? ? ),??(0, ),求 cos(???) 2 2 ? ? ),??(0, ), 2 2

解: ∵sin??sin?=? ,cos??cos?= ,??(0,
1 2
1 2

1 2

1 2

∴(sin??sin?)2=(? )2,(cos??cos?)2=( )2 ∴2-2 cos(???)=
1 2

∴cos(???)=

3 4

五、小结 距离公式,两角和与差的余弦 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:

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