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www.KG80000:【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件:1-1-2第2讲 不等式及线性规划_图文

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第2讲 不等式及线性规划

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高考定位 本部分内容高考主要考查以下几方面:(1)考查利用 基本不等式求最值、证明不等式等,利用基本不等式解决实际 问题.(2)考查以线性目标函数的最值为重点,目标函数的求解

常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求
解.(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相 结合考查参数的取值范围,以考查一元二次不等式的解法为 主,并兼顾二次方程的判别式、根的存在等.

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[真题感悟] ?x-y+1≤0, ? 1.(2014· 福建卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+2y-8≤0, ?x≥0, ? z=3x+y 的最小值为________.



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解析

由题意,作出约束条件组成可行域如图所示,当目标函

数z=3x+y,即y=-3x+z过点(0,1)时z取最小值.

答案 1

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2.(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方

体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价
是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________(单 位:元).

解析 设底面边长 x m,宽 y m,则 x×y×1=4,∴xy=4, 设造价为 z,∴z=20xy+10×2(x+y)=80+20(x+y) ≥80+20×2 xy=80+20×2 4=160(元), 当且仅当 x=y=2 时,等号成立.
答案 160

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3.(2014· 浙江卷)设函数

2 ? ?x +x,x<0, f(x)=? 2 ? ?-x ,x≥0.

若 f(f(a))≤2,则实

数 a 的取值范围是________.

解析

? ?f?a?<0, 由题意得? 2 ? ?f ?a?+f?a?≤2

? ?f?a?≥0, 或? 2 ? ?-f ?a?≤2,

解之得 f(a)≥-2,
? ?a<0, ∴? 2 ? ?a +a≥-2 ? ?a≥0, 或? 2 ? ?-a ≥-2,

解得 a≤ 2.

答案

(-∞, 2]

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4.(2014·江苏卷)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意
x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 ________.
解析 立,
2 2 ? ?f?m?=m +m -1<0, 则有? 2 ? f ? m + 1 ? = ? m + 1 ? +m?m+1?-1<0, ?

二次函数 f(x)对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成

2 解得- 2 <m<0.

答案

? ? ?- ?

? 2 ? , 0 ? 2 ?
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[考点整合] 1.基本不等式的常用变形如下 (1)根式形式:a+b≥2 ab(a≥0,b≥0)当且仅当 a=b 时,等 号成立;
?a+b? ?2 2 2 (2)整式形式:ab≤? ( a , b ∈ R ) , a + b ≥2ab(a,b∈R), ? 2 ? ? ?
2 2 ?a+b? a + b ?2 (a+b)2≥4ab(a,b∈R),? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R),以上不 ? ?

等式当且仅当 a=b 时,等号成立;

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b a (3)分式形式:a+b≥2(ab>0),当且仅当 a=b 时,等号成立; 1 (4)倒数形式:a+a≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立;a 1 +a≤-2(a<0),当且仅当 a=-1 时,等号成立.

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2.利用基本不等式求最大值、最小值,其基本法则是:(1)如果 x>0,y>0,xy=p(定值),当 x=y 时,x+y 有最小值 2 p(简 记为:积定,和有最小值);(2)如果 x>0,y>0,x+y=s(定 12 值) , 当 x=y 时, xy 有最大值4s (简记为: 和定, 积有最大值). 3.不等式恒成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f(x)min>A; 若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f(x)max<B.
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4.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”,二元一 次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面 的交集.线性目标函数 z=ax+by 中的 z 不是直线 ax+by=z a z z 在 y 轴上的截距, 把目标函数化为 y=-bx+b, 可知b是直线 ax+by=z 在 y 轴上的截距, 要根据 b 的符号确定目标函数在 什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

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热点一 利用基本不等式求最值
[微题型1] 基本不等式的简单应用 【例1-1】 若2x+2y=1,则x+y的取值范围是 A.[0,2] C.[-2,+∞) B.[-2,0] D.(-∞,-2] ( ).

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解析 ∵2x+2y≥2 2x· 2y=2 2x y,


∴2 2

x+y

≤1,即 2

x+y

1 -2 ≤4=2 .

所以 x+y≤-2,故选 D.
答案 D 探究提高 在使用基本不等式求最值时一定要检验等号能否取

到,有时也需进行常值代换.

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[微题型 2]

带有约束条件的基本不等式问题

【例 1-2】 (2014· 黄冈质检)设正实数 a,b,c 满足 a+2b+c= 9?a+b? 1 1,则 + 的最小值是________. a+b b+c

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解析

∵a+2b+c=1,

9? a+ b? a+2b+c 9?a+b? ?a+b?+?b+c? 1 ∴ + = + = + a+b b+c a+b b+c a+b 9?a+b? b+c 9?a+b? =1+ + ≥1+2×3=7. b+ c a+b b+c b+c 9?a+b? 当且仅当 = 且 a+2b+c=1 时取“=”. a+b b+c

答案 7

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【训练1-1】 (2014·上海十三校联考)若实数x,y满足|xy|=1,
则x2+4y2的最小值为________.
解析 x2+4y2≥2 4x2y2=4|xy|=4.

答案 4

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【训练1 -2】 (2014·金华十校联考) 若正实数x ,y满足x+y +1
=xy,则x+2y的最小值是 A.3 C.7 B.5 D.8 ( ).

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解析

x +1 由 x+y+1=xy,得 y= , x -1

又 y>0,x>0,∴x>1.
? 2 ? x+1 ? ∴x+2y=x+2× =x+2×?1+x-1? ? x-1 ? ?

4 4 =x+2+ =3+(x-1)+ ≥3+4=7, x-1 x -1 当且仅当 x=3 时取“=”.

答案 C

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热点二

含参不等式恒成立问题 运用分离变量解决恒成立问题

[微题型 1]

【例 2-1】 (2014· 江南十校联考)已知任意非零实数 x,y 满足 3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数 λ 的最小值为 A.4 11 C. 5 B.5 7 D.2 ( ).

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解析

依题意,得 3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2),因此

3x2+4xy 3x2+4xy 有 2 2 ≤4,当且仅当 x=2y 时取等号,即 2 2 的最大值 x +y x +y 3x2+4xy 是 4,结合题意得 λ≥ 2 2 ,故 λ≥4,即 λ 的最小值是 4. x +y
答案 A

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规律方法 求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关:第 一关是转化关,即通过分离参数,先转化为f(a)≥g(x)(或 f(a)≤g(x))对?x∈D恒成立,再转化为f(a)≥g(x)max(或

f(a)≤g(x)min);第二关是求最值关,即求函数g(x)在区间D上的最
大值(或最小值)问题.

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[微题型 2]

构造函数(主辅元转换)解决恒成立问题

【例 2-2】 已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所 有实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,求 x 的取值 范围.

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易知

?1 ? f(t)∈?2,3?.由题意,令 ? ?
2

g(m)=(x-2)m+x2-4x+4=(x

-2)m+(x-2) >0

?1 ? 对?m∈?2,3?恒成立. ? ?

?1? ? ?g? ?>0, 所以只需? ?2? 即可, ? ?g?3?>0

1 ? ? ?x-2?+?x-2?2>0, 即?2 ?x>2 或 x<-1. 2 ? ?3?x-2?+?x-2? >0 故 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
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探究提高 主、辅元互换可以实现对问题的有效转化,由繁到

简,应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质,巧用
转化思想,灵活处理,从而顺利解决问题.

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【训练2-1】 (2014·南昌模拟)对一切实数x,若不等式x2+a|x|
+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.

解析 当 x=0 时,1≥0 恒成立,此时 a∈R.
? -x2-1 1? 当 x≠0 时,a≥ |x| =-?|x|+|x|?. ? ? ? 1? 1 又|x|+|x|≥2,∴-?|x|+|x|?≤-2,∴a≥-2. ? ?

答案 [-2,+∞)

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【训练2-2】 若不等式x2-ax+1≥0对于一切a∈[-2,2]恒成
立,则x的取值范围是________.

解析 因为 a∈[-2,2],可把原式看作关于 a 的函数, 即 g(a)=-xa+x2+1≥0,
2 ? g ? - 2 ? = x +2x+1≥0, ? 由题意可知? 2 ? g ? 2 ? = x -2x+1≥0, ?

解之得 x∈R.

答案 R

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热点三

线性规划问题

【 例 3 】 (2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件 ?x+y-7≤0, ? ?x-3y+1≤0, ?3x-y-5≥0, ? A.10 C.3

则 z=2x-y 的最大值为 B.8 D.2

(

).

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解析

画出可行域如图所示.

由 z=2x-y,得 y=2x-z,欲求 z 的最大值,可将直线 y=2x 向 下平移, 当经过区域内的点, 且满足在 y 轴上的截距-z 最小时, 即得 z 的最大值,如图,可知当过点 A 时 z 最大,
? ?x+y-7=0, 由? ? ?x-3y+1=0, ? ?x=5, 得? ? ?y=2,

即 A(5,2),则 zmax=2×5-2=8.

答案 B
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规律方法 线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合 的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画 目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率

进行比较,避免出错,比如上题中目标函数所对应直线的斜率
-<0;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域 的端点或边界上取得.

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?x+y-2≤0, ? 【训练 3】 (2014· 安徽卷)x, y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ?2x-y+2≥0. ? z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为 ( 1 A.2或-1 C.2 或 1 1 B.2 或2 D.2 或-1



).

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解析 如图,由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,
故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a= 2;当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a= -1.

答案 D

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1.利用基本不等式求最大值、最小值时应注意:一正、二定、
三相等,即: (1)函数中的相关项必须是正数; (2)求积xy的最大值时,要看和x+y是否为定值,求和x+y的 最 小 值 时 , 要 看 积 xy 是 否 为 定 值 , 求 解 时 , 常 用 到 “ 拆 项”“凑项”等解题技巧; (3) 当且仅当各项相等时,才能取等号.以上三点应特别注

意,缺一不可.

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2.不等式恒成立问题常考的两种题型:一是已知不等式恒成
立,求字母参数的取值范围,一般利用分离参数转化为求新 函数的最值问题,如果不能分离参数或者分离参数比较复杂 时,一般选择函数的方法,通常利用函数的最值解决;二是 证明不等式恒成立,在函数中一般选择以算代证,即通过求 函数的最值证明不等式.在数列中,很多时候可以与放缩法 结合起来,对所证不等式的一侧进行适当放大或缩小,来证

明不等式.

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3.不等式实际应用问题中的易错点:
(1)忽视变量的取值要求,生搬硬套基本不等式,特别是变量 取值为正整数(如人数、楼层数作为变量 )时,不检验等号成 立的条件; (2)忽视变量的单位换算导致代数式求解出错; (3)漏掉实际问题中的一些定量导致最值求错.

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4.二元一次不等式表示平面区域的快速判断法:
区域 不等式 区域

B>0 B<0 直线Ax+By+ 直线Ax+By+ Ax+By+C>0 C=0上方 C=0下方 直线Ax+By+ 直线Ax+By+ Ax+By+C<0 C=0下方 C=0上方

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主要看不等号与B的符号是否相向,若同向则在直线上方,若异 向则在直线下方,简记为“同上异下”,这叫B的值判断法.

解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数表示的
几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点 (或 边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.

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