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函数的极值与导数 精讲优练课型 Word版含答案

课时提升作业 二十三 函数的极值与导数 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2016·福州高二检测)函数 f(x)=x+ 的极值情况是 A.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,极小值为-2,当 x=1 时,极大值为 2 D.当 x=-1 时,极大值为-2;当 x=1 时,极小值为 2 【解析】选 D.令 f′(x)=1- =0,得 x=±1,函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞) 上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,所以当 x=-1 时,取极大值-2,当 x=1 时, 取极小值 2. 2.已知函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围 是 ( ) B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6 2 3 2 ( ) A.-1<a<2 C.a<-1 或 a>2 【解析】选 D.f′(x)=3x +2ax+a+6,函数 f(x)有极大值和极小值,则 f′(x)=3x +2ax+a+6=0 有两不相等的实数根,即有Δ =(2a) -12(a+6)>0, 解得 a<-3 或 a>6. 3.(2016·临沂高二检测)已知函数 f(x)=2x +ax +36x-24 在 x=2 处有极值,则该函 数的一个递增区间是 A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) ( ) 3 2 2 2 D.(-∞,3) 【解析】选 B.f′(x)=6x +2ax+36, 因为 f(x)在 x=2 处有极值, 所以 f′(2)=0, 解得 a=-15. 令 f′(x)>0 得 x>3 或 x<2. 所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞). 【补偿训练】设 a 为实数,求函数 f(x)=e -2x+2a,x∈R 的单调区间与极值. 【解析】因为 f′(x)=e -2,令 f′(x)=0, 解得 x=ln2, 当 x<ln2 时,f′(x)<0,函数单调递减; 当 x>ln2 时,f′(x)>0,函数单调递增; 故函数的减区间为(-∞,ln2), 增区间为(ln2,+∞), 当 x=ln2 时函数取极小值, 极小值 f(ln2)=e -2ln2+2a=2-2ln2+2a. 4.(2016·天津高二检测)函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)内的零点个数 是 A.0 ( ) B.1 x x 3 ln2 x x 2 C.2 2 D.3 【解析】选 B.因为 f′(x)=2 ln2+3x >0, 所以函数 f(x)=2 +x -2 在(0,1)上递增,且 f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0, 所以有 1 个零点. 5.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于 ( ) 3 2 x 3 A.2 C.6 B.3 D.9 【解题指南】利用函数在 x=1 处有极值得到 a,b 的关系式,再利用基本不等式求 最大值. 【解析】选 D.f′(x)=12x -2ax-2b, 因为函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值, 所以 f′(1)=12-2a-2b=0, 即 a+b=6,则 ab≤ =9(当且仅当 a=b=3 时,等号成立). 3 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·西安高二检测)已知函数 f(x)= x +ax +ax+b,当 x=-1 时,函数 f(x)的极 值为- ,则 f(2)= 2 3 2 . 【解析】f′(x)=x +2ax+a. 由题意知 f′(-1)=0,f(-1)=- , 即 解得 所以 f(x)= x +x +x- . 所以 f(2)= 答案: 7.(2016·四川高考改编)已知 a 为函数 f(x)=x -12x 的极小值点,则 a= 【解题指南】求出 f′ f′ ,解出方程 f′ =0 的根,再根据不等式 f′ >0, 3 3 2 . . <0 的解集得出函数的极值点. =3x -12=3 2 【解析】 f′ ,令 f′ 上单调递增,故 f =0,得 x=-2 或 x=2,易知 f 的极小值为 f 在 上单调递减,在 ,所以 a=2. 答 案:2 8.(2016·重庆高二检测)已知函数 f(x)= x +ax +x+1 有两个极值点,则实数 a 的 取值范围是 2 3 2 . 【解析】f′(x)=x +2ax+1,因为函数 f(x)有两个极值点,所以方程 f′(x)=x +2ax+1=0 有两个不相等的实数根,所以Δ =4a -4>0,解得 a<-1 或 a>1. 答案:a<-1 或 a>1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2016·烟台高二检测)设 f(x)= (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点. (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 【解析】对 f(x)求导得 f′(x)=e 2 x 2 2 ,其中 a 为正实数. . (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x -8x+3=0, 解得 x1= ,x2= . 当 x 变化时,f′(x)和 f(x)的变化情况如表: x f′(x) f(x) + ↗ 0 极大值 ↘ 0 极小值 + ↗ 所以 x= 是极小值点,x= 是极大值点. (2)若 f(x)为 R 上的单调函数, 则 f′(x)在 R 上不变号, 结合 f′(x)与条件 a>0,知 ax -2ax+1≥0 在 R 上恒成立, 由此Δ =4a -4a=4a(a-1)≤0, 又 a>0,故 0<a≤1. 10.a 为何值时,方程 x -3x -a=0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根, 3 2 2 2 有没有可能无实根? 【解析】令 f(x)=x -3x ,y=a. f(x

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