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高考数学任意角的三角函数习题课

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正弦、余弦的诱导公式;任意角的三角函数习题课
一. 教学内容 正弦、余弦的诱导公式;任意角的三角函数习题课 二. 教学重、难点 重点: 运用诱导公式, 把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~90°间角的三角函数值 的问题,任意角的三角函数。 难点:对诱导公式中符号的确定

【典型例题】
sin(
tan( ? ? 8 7

15 7 20 7

? ? ? ) ? 3 cos( ? ? ? ? ? ) ? cos( ? ?

13 7 22 7

?) ?)

[例 1] 设

?)? a

,求

sin(

的值。

解: 方法一:
tan( ? ? 8 7



? ) ? tan[ ? ? (? ?

?
7

)] ? tan( ? ?

?
7

) ? a

sin[ 2 ? ? (? ? ?

?
7

)] ? 3 cos[ ? 2 ? ? (? ?

?
7

)] ?

sin( ? ? sin( ? ?

?
7

) ? 3 cos( ? ? ) ? cos( ? ?

?
7

) )

∴ 原式

sin[ 3? ? (? ?

?
7

)] ? cos[ 3? ? (? ?

?
7

)]

?
7

?
7

tan( ? ? ? tan( ? ?

?
7

)?3 ? )?1

a?3 a ?1

?
7

方法二:
sin[ ? ? (? ? ? 8 7 sin[ 4 ? ? (? ? 8 7 ? s i n? ? ( ? ? s i n? ? ( 8

? )] ? 3 cos[ ? 3? ? (? ? ? )] ? cos[ 2 ? ? (? ?
8 7 8 7

8 7 8 7

? )]

原式

? )]

? ) ? 3 c o s? ? ( ? ) ? c o s? ? (

?)

7 8 7

?)

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s i n? ? ( ? s i n? ? (

8

? ) ? 3 c o s? ? ( ? ) ? c o s? ? (

8 7 8 7

?)
?

t a n? ? ( t a n? ? (

8 7 8 7

?)?3
?

7 8 7

a?3 a ?1

?)

?)?1

2 cos ? ? sin ( 2 ? ? ? ) ? sin(
3 2

f (? ) ?

[例 2] 设
f (? ) ? 2 cos

?? )? 3 ? 2 f( ) 2 2 ? 2 cos (? ? ? ) ? cos( ? ? ) 3 的值。 求

?

3

? ? sin ? ? cos ? ? 3
2 2

解:

2 ? 2 cos

? ? cos ?
1 2 7 6

?

2 cos

3

? ? cos
2

2

? ? cos ? ? 2

2 cos

? ? cos ? ? 2



? ?

?
3


?
6 ) ? 1

cos ? ?



f(

?
3

) ? ?

1 2

[例 3] 已知

sin( x ?

4 ,求 5 6

sin(

? ? x ) ? cos

2

(

5 6

? ? x)

的值。
?
6

解:∵

(x ?

?
6

)? (

? ? x) ? ?

5

∴ 6

? ? x ? ? ? (x ?

)

7

又6

? ? x ?? ?(

?
6

? x)

∴ 原式

? sin[ ? ? (

?
6

? x )] ? cos [? ? ( x ?
2

?
6

)]

? ? sin( ? ? 1 4

?
6

? x ) ? [ ? cos( x ?
2

?
6

)] 1 4

2

? [1 ? sin 1

(x ?

?
6

)] ? ?

? (1 ?

1 16

) ?

11 16

[例 4] 已知

cos( 75 ? ? ? ) ?

3 , ? 为第三象限角,求 cos( 15 ? ? ? ) ? sin( ? ? 15 ? ) 的值。

解: cos( 15 ? ? ? ) ? sin( 75 ? ? ? ) 又 ∵ ? 是第三象限角, sin( 75 ? ? ? ) ? 0
2 2 3 cos( 15 ? ? ? ) ? ? 2 3
1 3

2

∴ sin( 75 ? ? ? ) ? ?





sin( ? ? 15 ? ) ? ? cos( 75 ? ? ? ) ? ?

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∴ 原式

? ?

1? 2 3

2

[例 5] 已知 tan ? ,cot ? 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根,且
2 2

3? ? ? ?

7 2

?

,求

c os( 3? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) 的值。
2 2 解:∵ tan ? , cot ? 是方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根

2 ∴ tan ? ? cot ? ? k ? 3 ? 1

2 ∴ k ? 4



3? ? ? ?

7 2

?

∴ tan ? ? 0 , cot ? ? 0 , sin ? ? 0 , cos ? ? 0 ∴ k ? 2
2 ∴ 方程化为 x ? 2 x ? 1 ? 0

∴ k ? tan ? ? cot ? ? 0

∴ x ? 1 即 tan ? ? cot ? ? 1
2 2 ,


2 2

? ? 3? ?

?
4



sin ? ? ?

cos ? ? ?

∴ cos( 3? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? ? cos ? ? sin ? ?

2

1

[例 6] 已知 tan ?
2

? cot

1
2

?

? sin

1
2

?

? cos

1
2

?

? 7

,求 sin ? cos ? 的值。

2 2 2 2 解:由已知等式变形可得 cot ? ? tan ? ? cot ? ? 1 ? tan ? ? 1 ? 7



tan

2

? ? cot

2

? ?

5 2

sin

4

? ? cos
2

4

?



sin

? cos

2

?

?

5 2
2 3

∴ 2 (1 ? 2 sin ? cos ? ) ? 5 sin ? ? cos ?
2 2 2 2



sin ? cos ? ? ?

[例 7] 已知:

sin ? ? cos ? ?

1 2 ,求 sin ? ? cos
3 3

? 和 sin ? ? cos
4

4

? 的值。

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解:由

sin ? ? cos ? ?

1 2 平方,可得

sin ? cos ? ? ?

3 8

∴ sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? )(sin
3 3

2

? ? sin ? cos ? ? cos

2

?)

? sin
4

1 2

? (1 ?
4

3 8

) ?

11 16
2

? ? cos
2 2

? ? (sin

? ? cos

2

? ) ? 2 sin ? cos
2 2

2

? ? 1 ? 2 ? (?

3 8

)

2

?

23 32

sin

A B sin

[例 8] 已知 sin

? cos

2

A cos

2

C ?1

,求证: tan
2

2

A ? tan

2

B ? sin

2

C

2 2

A B
2

证:由已知 sin

? cos

2

A cos

2

C ? sin

A ? cos

2

A

sin

A( sin
2

1
2

? 1 ) ? cos B
2

2

A (1 ? cos
2

2

C)

sin

A ? cot
2

B ? cos
2

2

A sin

C

∴ tan

2

A ? tan

B sin

C

【模拟试题】
一. 选择
sin( ? 19 6

?)

1.
1

的值等于(
1 2


3 3 2

?

?

A. 2

B.

C.

2

D. )

2. 若 cos( ? 100 ? ) ? a 则 tan 80 ? 等于(
? 1? a a
2

1? a

2

?

1? a a

2

1? a

2

A.

B.
3

a

C.

D.

a

3. 已知扇形的面积是 8
3

?

,半径是 1,则扇形的中心角是(
3



?

3

?

?

3

?

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2

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? ? k ? M ? ?? ? ? ? ? , k ? z? 2 5 ? ? , N ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 则 M ? N 等于( 4. 若



3 ? ? ? , ?? ?? A. ? 5 10 ?

4 ? ? 7 ? , ?? ?? 5 ? B. ? 10

3 4 7 ? ? ? , ? , ? ,? ?? ?? 5 10 ? C. ? 5 10

7 ? 3 ? ? ,? ?? ? 10 ? D. ? 10

二. 填空题
sin 4 3

1. 计算

? cos

25 6

? tan( ?

3 4

?) ?

2. 化简

sec

2

(? ? x ) ? 2 tan( ? ? x ) (

0 ? x ?

?
2 )=

3. 已知 角。

sin ? ?

m ?1 m ?3,

cos ? ?

m ?1 m ? 3 且 ? 是象限角,则实数 m ?

,? 是第

象限

4. 若 x 为第一象限角,则在 三. 解答题
cos(

sin

x 2 ,

cos

x 2 , sin 2 x , cos 2 x 中必定取正值的是



?
6

1. 已知

??) ?

3 3 求

cos(

5 6

? ? ? ) ? sin (? ?
2

?

) 6 的值。

2. 求函数

y ? cos(

9 2

? ? x ) ? sin

2

x

的最大值和最小值。

3. 已知

sin ? ?

1 3 , sin( ? ? ? ) ? 1 求 sin( 2? ? ? ) 的值。

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【试题答案】
一. 1. A 二.
? 1 ? tan x ? ? ? ? tan x ? 1 ? 2. ? 0 ? x ?

2. A

3. C

4. C

?
4

?

3 4

?
4

? x ?

?
2

1. 三.

3. ? 7 ,I

4. sin 2 x

1. 解:∵

cos(

5 6

? ? ? ) ? cos[ ? ? (

?
6

? ? )] ? ? cos(

?
6

??) ? ?

3 3



sin

2

(? ?

?
6

) ? 1 ? cos

2

(

?
6

??) ?

2 3

∴ 原式
y ? cos(

? ?

3 3

?

2 3

? ?

2? 3

3

9 2 1

2. 解:

? ? x ) sin

2

x ? sin

2

x ? sin x ? (sin x ?

1 2

) ?
2

1 4



sin x ?

2 时,

y min ? ?

1 4 当 sin x ? ? 1 时, y max ? 2

3. 解:∵ sin( ? ? ? ) ? 1



? ? ? ? 2 k? ?

?
2 1 3



sin( 2? ? ? ) ? sin[ 2 (? ? ? ) ? ? ] ? sin ? ?

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