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高中数学 第二章 数列 2.3.3.1 等比数列的前n项和学业分层测评 苏教版


【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第二章 数列 2.3.3.1 等 比数列的前 n 项和学业分层测评 苏教版必修 5
(建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 4 1.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和 S10=________. 3 【解析】 因为 3an+1+an=0, 所以

an+1 1 1 =- , 所以数列{an}是以- 为公比的等比数列. an 3 3

? ? 1?10? 4?1-?- ? ? 4 ? ? 3? ? -10 因为 a2=- ,所以 a1=4,所以 S10= =3(1-3 ). 3 1 1+ 3
【答案】 3(1-3
-10

)
2

2.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x -5x+4=0 的两个根,则 S6=________. 【导学号:91730043】 【解析】 因为 a1,a3 是方程 x -5x+4=0 的两个根,且数列{an}是递增的等比数列, 1-2 所以 a1=1,a3=4,q=2,所以 S6= =63. 1-2 【答案】 63
?1? 3.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列? ?的前 ?an?
6 2

5 项和为________. 【解析】 易知公比 q≠1. 由 9S3=S6,得 9· 解得 q=2.
?1? 1 ∴? ?是首项为 1,公比为 的等比数列, a n 2 ? ?

a1?1-q3? a1?1-q6? = , 1-q 1-q

?1?5 1-? ? ?2? 31 ∴其前 5 项和为 = . 1 16 1- 2
【答案】 31 16
n

4.已知等比数列的前 n 项和 Sn=4 +a,则 a=______.
1

【解析】 ∵Sn=Aq -A,∴a=-1. 【答案】 -1 5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=________. 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3=a2+10a1,a5=9, 所以?
? ?a1+a1q+a1q =a1q+10a1, ? ?a1q =9,
2 4 2

n

q =9, ? ? 解得? 1 a1= , ? 9 ?
1 所以 a1= . 9 【答案】 1 9 31 1 1 1 1 1 1 , a3 = ,则 + + + + = 16 4 a1 a2 a3 a4 a5

6 .在等比数列 {an} 中,若 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = ________.

31 2? ?1 1 【解析】 设数列{an}的公比为 q,则 =a3? 2+ +1+q+q ? 16 ?q q ? 1 1 31 2 ∴ 2+ +1+q+q = , q q 4 1 1 1 1 1 ∴ + + + +

a1 a2 a3 a4 a5 a3?q q

1?1 1 2? = ? 2+ +1+q+q ?=31.

?

【答案】 31 7.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一 天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )等于________. 【解析】 每天植树的棵树构成以 2 为首项,2 为公比的等比数列,其前 n 项和 Sn=
*

a1?1-qn? 2?1-2n? n+1 n+1 n+1 6 7 = =2 -2.由 2 -2≥100,得 2 ≥102.由于 2 =64,2 =128,则 1-q 1-2 n+1≥7,即 n≥6.
【答案】 6 8.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的 值为________. 【解析】 由题意可知,q≠1, ∴Sn=

a1?1-qn? . 1-q
2

又∵Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列, ∴2Sn=Sn+1+Sn+2, 即 2-2q =2-q 即 2=q+q , ∴q=-2(q=1 不合题意舍去). 【答案】 -2 二、解答题 1 1 9.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ; 2 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1 ?1?n-1 1 【解】 (1)证明:因为 an= ×? ? = n, 3 ?3? 3 1 1? 1 1- n? ? ? 1-3n 3? 3 ? Sn= = , 1 2 1- 3 1-an 所以 Sn= . 2 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=- 所以{bn}的通项公式为 bn=-
2

n

n+1

-q

n+2



n?n+1?
2

.

n?n+1?
2

.

10.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产 1 业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游收入 5 估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上年 1 增长 .设 n 年内(本年度为第 1 年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 4 的表达式.

? 1? ? 1? 【解】 第 1 年投入 800 万元, 第 2 年投入 800×?1- ?万元, …, 第 n 年投入 800×?1- ? ? 5? ? 5?
n-1

? 1? ? 1?n-1 ? ?4?n? 万元,所以,总投入 an=800+800×?1- ?+…+800×?1- ? =4 000×?1-? ? ?(万 ? 5? ? 5? ? ?5? ? ? 1? ? 1? 同理, 第 1 年收入 400 万元, 第 2 年收入 400×?1+ ?万元, …, 第 n 年收入 400×?1+ ? ? 4? ? 4?
3

元).

n-1

? 1? ? 1?n-1 ??5?n ? 万元.所以,总收入 bn=400+400×?1+ ?+…+400×?1+ ? =1 600×?? ? -1?. ? 4? ? 4? ??4? ?
能力提升] 1. 在等比数列{an}中, a1+a2+a3+…+an=2 -1, 则 a1+a2+a3+…+an等于________.
n
2 2 2 2

a1 ? ? =-1, a1?1-qn? 1 - q 【解析】 ∵Sn= ,∴? 1-q ? ?q=2,
2 2 2

∴?

?q=2, ? ?a1=1, ?

∵{an}为等比数列,∴{an}也为等比数列,∴a1+a2+a3+…+an= -1). 【答案】 1 n (4 -1) 3
2 3

2

2

1×?1-4 ? 1 n = (4 1- 4 3

n

2.等比数列 1,a,a ,a ,…(a≠0)的前 n 项和 Sn=________. 【导学号:91730044】

n?a=1?, ? n ? 1-a 【解析】 当 a=1 时,Sn=n;当 a≠1 时,Sn= .即 Sn=?1-an 1-a ?a≠1?. ? ? 1-a n?a=1?, ? ? 【答案】 ?1-an ?a≠1? ? ? 1-a
3. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, 则{an}的公比为________. 【解析】 由已知 4S2=S1+3S3, 即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),

a3 1 ∴a2=3a3,∴{an}的公比 q= = . a2 3
【答案】 1 3

3 * 4.已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 * (2)证明:Sn+ ≤ (n∈N ). Sn 6 【解】 (1)设等比数列{an}的公比为 q,由-2S2,S3,4S4 成等差数列,所以 S3+2S2=4S4

a4 1 -S3,S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2
3 3 ? 1?n-1 3 n-1 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 an= ×?- ? =(-1) × n. 2 2 2 ? ? 2
4

? 1?n (2)证明:Sn=1-?- ? , ? 2?
Sn+ =1-?- ?n+ Sn ? 2?
1

? 1?

1

? 1?n 1-?- ? ? 2?

1 ? ?2+2 ?2 +1?,n为奇数, =? 1 ? ?2+2 ?2 -1?,n为偶数,
n n n n

1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn S1 6 1 当 n 为偶数时, Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn S2 12 1 13 * 故对于 n∈N ,有 Sn+ ≤ . Sn 6

5


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