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数学高一下学期期中考试试题--定稿版

高一下学期期中考试

一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项符合题目的要求。
1. cos840 的值是
?

( )

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

难度系数:0.9。主要考察特殊角的三角函数值及诱导公式 2.如果角 ? 的终边经过点 (?1, 2) ,那么 sin ? 的值是 ( )

A. -

5 5

B. -

2 5 5

C.

5 5

D.

2 5 5

难度系数:0.9.主要考察三角函数的定义 3.已知 ? ? ( A.

?

1 7

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于 2 5 4 1 B. 7 C. ? 7

( D. ? 7



难度系数:0.85.主要考察同角三角函数基本关系及两角和的正切 4.若 f (cos x) ? 3 ? sin 2 x ,则 f (sin x) ? A.3-sin2x B.3-cos2x C.3+sin2x D.3+cos2x ( )

难度系数:0.85 主要考察诱导公式及函数定义 5.若向量 a ? ?1,1? , b ? ?1, ?1? , c ? ? ?1, 2 ? ,则 c ? A. ? ( ) D. ?

1 3 a? b 2 2

B.

1 3 a? b 2 2

C.

3 1 a? b 2 2

3 1 a? b 2 2

难度系数:0.8 主要考察平面向量基本定理 6. 已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b = A. (?5, ?10) B. (?4, ?8) C. (?3, ?6) D. (?2, ?4) ( )

难度系数:0.8 主要考察向量共线的坐标表示及坐标运算 7.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..





A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 难度系数:0.8 主要考察三角函数性质

B.函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

? ]上是增函数 2

8. 函数 y ? A sin ( ?x ? ? ) ? b 的图象如图所示,则它的解析式是 ( A. y ? ) B. y ?

3 1 sin x ? 1 2 2 1 C. y ? sin 2 x ? 1 2

1 1 sin x ? 1 2 2 3 D. y ? sin 2 x ? 1 2

难度系数:0.75 主要考察给三角函数的性质 9.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? A. 向右平移

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos2 x 的图象





? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
难度系数:0.7 10 . 在 三 主要考察图形变换 角 形

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B. 向右平移

ABC













AB



AC


满 )



? AB AC ? AB AC 1 ? ? ? ,则 ?ABC 为 ? ? ? BC ? 0, | AB | | AC | 2 ? | AB | | AC | ?
A.等边三角形 C.等腰非直角三角形 难度系数:0.65 B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形

主要考察平面向量的数量积及其性质

11. 下列命题:①若 | a |? 0 ,则 a ? 0 ; ②与非零向量 a 共线的单位向量是

a ; |a|

③若 AB ? BC ? CA ? 0 ,则 A,B,C 是一个三角形的三个顶点; ④若 | a ? b |?| a ? b | ,则 a, b 至少有一个是 0 ; ⑤已知 A,B,C 是不共线的三点,G 是 ?ABC 内一点,若 GA ? GB ? GC ? 0 ,则 G 是 ?ABC 的重心。 其中真命题的个数是( )

A. 1 个

B. 4 个

C. 2 个

D. 3 个

难度系数:0.65

主要考察平面向量的概念和性质

12. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在 [?1, 0] 上单调递增,设

a ? f (6sin ) , b ? f (2 cos ) , c ? f (4 cos ) ,则 a, b, c 大小关系是( 6 4 3
A. a ? b ? c 难度系数:0.6 B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. c ? b ? a

?

?

?



主要考察三角函数的性质

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分 )
13. 3tan11 ? 3 tan19 ? tan11 tan19 的值是___________.
0 0 0 0

难度系数:0.85 主要考察三角变换 14、若向量 p ? (1, 2), q ? (1, ?3) ,则 p 在 q 方向上的投影为 难度系数:0.8 主要考察向量的基本概念。 15.已知 cos( ? ? ? ) ?

1 3 , cos( ? ? ? ) ? , 则 tan? ? tan ? ? 5 5
?


? ?

难度系数:0.75 主要考察三角变换 =(mq-np),给出下面五个判断: ① 若 a 与 b 共线,则 a ? b =0; ② 若 a 与 b 垂直,则 a ? b =0; ③ a ? b =b ? a ;
?
? ? ?

16.定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下,对任意的 a =(m,n), b =(p,q),令 a ? b
? ?
? ?

?

? ?

?

?

?

④ 对任意的 ? ? R,有 (?a ) ? b ? ? (a ? b ) ; ? ? ? ? ? ? ⑤ (a ? b ) 2 ? (a ? b ) 2 ?| a |2 | b |2 其中正确的有 (请把正确的序号都写出) 。

?

?

?

难度系数:0.65 主要考察学生接受新概念的能力。

三.解答题(本大题共 6 个小题,70 分.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤. )
17. (本题满分 10 分)已知向量 a ? 3e1 ? 2e2 ,b ? 4e1 ? e2 ,其中 e1 ? (1 , 0) ,e2 ? (0,1) 求: (1) 难度系数:0.9

a ? b 和 a ? b 的值;

(2) a 与 b 夹角 ? 的余弦值.

主要考察平面向量的数量积及模和夹角公式

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 ??

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 3 6?

难度系数:0.85 主要考察三角函数诱导公式、二倍角公式和周期公式及值域。

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

π 个单位后, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 4

2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 的集 合. 难度系数:0.75 考察三角恒等变换及单调性及图象变化和函数的最值。

20. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (3 cos? ,1) , 且a ?b, 其中 ? ? (0, b ? (?2,3sin ? ) , (1)求 sin ? 和 cos? 的值; (2)若 5 sin(? ? ? ) ? 3 5 cos ? , ? ? (0, ? ) ,求角 ? 的值. 难度系数:0.7 主要考察同角三角函数基本关系及两角和的正弦

?
2

)

21. (本题满分 12 分)已知函数. f ( x) ? 2sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R

(1)函数 h( x) ? f ( x ? t ) 的图象关于点 ( ?

?
6

, 0) 对称,且 t ? (0, ? ) ,求 t 的值;

(2) x ? [ , ], 恒有 f ( x) ? m ? 3成立 ,求实数 m 的取值范围. 4 2 难度系数:0.65 主要考察三角函数的性质。

? ?

22. (本题满分 12 分)设函数

x x f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t ? sin cos ? 2t 2 ? 6t ? 2 ( x ? R ) , 2 2

其中 t ? R ,将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) .

(1)求 g (t ) 的表达式; (2)当 ? 1 ? t ? 1 时,要使关于 t 的方程 g (t ) ? kt 有且仅有一个实根,求实数 k 的取值范 围. 难度系数:0.55 主要考察三角函数与二次函数的复合函数求值域及其函数与方程思想。

答案
一、选择题 1 C 详细解答 1. cos840 ? cos(720 ? 120 ) ? cos120 ? ? 2. sin ? ?
? ? ? ?

2 B

3 A

4 A

5 B

6 B

7 D

8 C

9 A

10 A

11 A

12 D

1 2

2 (?1) ? 2
2 2

?

2 5 5

3. cos ? ? ? , tan ? ? ? , tan ? ? ? 4. f (sin x) ? f (cos(

4 5

3 4

? ?

??

tan ? ? 1 1 ? ?? 4 ? 1 ? tan ? 7

?

? x)) ? 3 ? sin 2( ? x) ? 3 ? sin 2 x 2 2

?

1 ? x? ? ? x ? y ? ?1 ? 1 3 2 ?? ?c? a? b 5. c ? xa ? yb, (?1, 2) ? ( x ? y, x ? y ), ? 2 2 ?x ? y ? 2 ?y ? ? 3 ? ? 2
6. a / /b ? m ? ?4,?2a ? 3b ? (?4, ?8) 7.

f ( x) ? ? cos x,?T ? 2?
1 , T ? ? ,?? ? 2 2

8.由图可知, b ? 1, A ? 9. y ? sin(2 x ?

?

? ? 2? ? ) ? cos((2 x ? ) ? ) ? cos(2 x ? ) ,所以向右平移 。 6 6 2 3 3

10. ?

? AB AC ? AB AC 1 ? ? ? ,说明 ? ? BC ? 0, 说 明 ?ABC 是 等 腰 三 角 形 , | AB | | AC | 2 ? | AB | | AC | ?

A ? 60? ,所以 ?ABC 是正三角形。
11. ①若 | a |? 0 ,则 a ? 0 ;故错 ②与非零向量 a 共线的单位向量是 ?

a ;故错 |a|

③若 AB ? BC ? CA ? 0 ,则 A,B,C 是一个三角形的三个顶点或三点共线;故错 ④若 | a ? b |?| a ? b | ,则 a, b 至少有一个是 0 或 a ? b ;故错 12.由 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ? T ? 2 ,偶函数 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增,则在 [0,1] 上单调递 减。 a ? f (6sin

?

c ? f (4 cos ) ? f (2) ? f (0) , 0 ? 2 ? 2 ? 1,?c ? b ? a 3
二、填空题, 13. 1 详细解答 13. 14. ?

?

) ? f (3) ? f (1) , b ? f (2 cos ) ? f ( 2) ? f (2 ? 2) , 6 4

?

10 2

15.

1 2

16.

①④⑤

3tan110 ? 3 tan190 ? tan110 tan190 ? 3(tan110 ? tan190 ) ? tan110 tan190 ? 3 tan 30? (1 ? tan110 tan190 ) ? tan110 tan190 ? 1

14. p ? (1, 2), q ? (1, ?3) ?| p | cos ? ? 15.

p?q 10 ?? 2 |q|

1 1 ? 2 ? ? cos(? ? ? ) ? , ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ? 1 ? ? 5 5 ? 5 ?? ?? ? tan ? tan ? ? ? 2 ?cos(? ? ? ) ? 3 , ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 3 ?sin ? sin ? ? 1 ? ? 5 5 ? 5 ? ? ? ? ? ? a =(m,n), b =(p,q), a ? b =(mq-np) 16.
② 若 a 与 b 垂直,则 a ? b =0;故错 ③ a ? b ? mq ? np , b ? a ? pn ? qm ;故错 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
? ?

?

?

?

?

17. 解:由已知, a ? (3,?2),b ? (4,1) (1)

??????????4 分

a ? b ? 10 ; a ? b ? (7,?1) ? 5 2 ;
a ?b a?b ? 10 221 . 221
???????????10 分

(2) cos? ?

18. 解: (1)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x ,????????4 分 ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (2)由 ? ???????????6 分

?
3

?x?

?
6

??

2? ? 3 ? 2 x ? ,∴ ? 1 ? sin x ? ,?????????8 分 3 3 2

∴ f ( x ) 在区间 ??

3 ? ? ?? ,最小值为 ? 1 .???????12 分 , ? 上的最大值为 2 ? 3 6? π? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 3 分 4? ?

19. 解: (1) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 当 2 k? ? 即 k? ?

?
?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,(k ? Z)

8

? x ? k? ?

3? ,(k ? Z) ??5 分 4

因此,函数 f ( x ) 的单调递增取间为 ? k? ? ,k? ? (k ? Z) 8 4? ? ? (2)有已知, g ( x) ? ∴当 sin( x ?

?

?

3? ?

?????6 分

?
4

2 sin( x ? ) 4

?

???????8 分

) ? 1,即 x ?

?

4

? 2 k? ?

?
2

,也即 x ? 2k? ?

?
4

(k ? Z) 时,

g ( x)max ? 2
∴ 当 ? x x ? 2k? ?

? ?

?

? (k ? Z) ? , g ( x) 的最大值为 2 .??????????12 分 4 ?
∴ a ? b ? ?6 cos? ? 3 sin ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ?
2 cos ??

20. 解: (1)∵ a ? b ,
2 2

?2 分

又∵ sin ? ? cos ? ? 1 , ∴

1 4 4 2 2 ,sin ? ? ∴ sin ? ? 5 5 5

????5 分



? 2 5 5 ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? , cos? ? 2 5 5

???????6 分

(2) ∵ 5 sin(? ? ? ) ? 5(sin? cos? ? cos? sin ? ) ? 2 5 cos ? ? 5 sin ? ? 3 5 cos ?



cos ? ? ?s i n ? ,即
∴ ? ?

t an ? ? ?1,
3? 4
2

???????11 分 ???????12 分

∵ ? ? (0, ? )

21. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2sin (

?

? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? 1 ? cos( ? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1 4 2

?

∴ h( x) ? f ( x ? t ) ? 2sin(2 x ? 2t ? ∴ h( x) 的图象的对称中心为 ( 又已知点 ( ?

?

?
6

k? ? ? ? t , 0)k ? Z 2 6

3

),
????????? 3 分

, 0) 为 h( x) 的图象的一个对称中心,∴ t ?

而 t ? (0, ? ) ,∴ t ? (Ⅱ)若 x ? [

? ?

? ? 2? , ] 时, 2 x ? ? [ , ] , 4 2 3 6 3

? 5? 或 . 3 6

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

??????????????????6 分 ?????????7 分

f ( x) ?[1, 2] ,由 f ( x) ? m ? 3 ? m ? 3 ? f ( x) ? m ? 3 ????????????10 分

?m ? 3 ? 1 ? m ? 3 ? 2 ,解得 ?1 ? m ? 4 , ∴?

11 分即 m 的取值范围是 (?1, 4) .?????? 12 分

22. 解: (1)由已知有: f ( x) ? ? cos x ? 4t ? sin
2

x x cos ? t 2 ? 6t ? 2 2 2

? sin 2 x ? 2t ? sin x ? 2t 2 ? 6t ? 1 ? (sin x ? t ) 2 ? t 2 ? 6t ? 1
由于 x ? R ,∴ ? 1 ? sin x ? 1 ???????????2 分

∴ 当 t ? ?1 时,则当 sin x ? ?1 时, f ( x) min ? 2t 2 ? 4t ? 2 ; 当 ? 1 ? t ? 1 时,则当 sin x ? t 时, f ( x) min ? t 2 ? 6t ? 1 ; 当 t ? 1 时,则当 sin x ? 1 时, f ( x) min ? 2t 2 ? 8t ? 2 ;

?2t 2 ? 4t ? 2, t ? (??, ?1) ?2 综上, g (t ) ? ?t ? 6t ? 1, t ? [?1,1] ?2t 2 ? 8t ? 2, t ? (1, ??) ?

???????????6 分

2 (2)当 ? 1 ? t ? 1 时, g (t ) ? t ? 6t ? 1 ,方程 g (t ) ? kt 即:

t 2 ? 6t ? 1 ? kt

即方程

t 2 ? (k ? 6)t ? 1 ? 0 在区间 [?1,1] 有且仅有一个实根,?7 分

令 q(t ) ? t 2 ? (k ? 6)t ? 1,则有: 解法 1:①若 ? ? (k ? 6)2 ? 4 ? 0,即k=-4或k=-8;

当k=-4时,方程有重根t=1,当k=-8时,方程有重根t=-1
∴ t ? ?4或t ? ?8 ???????????????????????? 9 分



?k ? 6 ?k<-8 ? 2 <-1 ? ? ?k<-8 ?k< ? 8 ?q(-1)<0 ? ? k < -4 ?q(1)>0 ? ? ? ? ?



?k ? 6 ? 2 >1 ?k>-4 ? ? ?q(-1)>0 ? ?k>-8 ? k> ? 4 ?q(1)<0 ? ?k>-4 ? ?

综上,当 k ? (??, ?8] [?4, ??) 时,关于 t 的方程 g (t ) ? kt 在区间 [?1,1] 有且仅有 一个实根. ????????????????????12 分

解法 2:由 q(?1)q(1) ? 0,得(k ? 8)(k ? 4) ? 0 ? k ? (??,?8] ? [?4,??) .