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2017年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)


2017 年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求 1. (5 分)已知全集为 R,集合 M={﹣1,1,2,4},N={x|x2﹣2x≥3},则 M∩ (?RN)=( ) B.{1,2} C.{4} D.{x|﹣1≤x≤2} )

A.{﹣1,2,2}

2. (5 分)复数 z 满足 z(2+i)=3﹣i,则复数 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. (5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,则“|q|=1”是“S6=3S2”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ,则目标函数 z=x+3y 的最小值为

4. (5 分)变量 x,y 满足约束条件

( A.2

) B.4 C.5 D.6

5. (5 分)在考试测评中,常用难度曲线图来检测题目的质量,一般来说,全卷 得分高的学生, 在某道题目上的答对率也应较高,如果是某次数学测试压轴题的 第 1、2 问得分难度曲线图,第 1、2 问满分均为 6 分,图中横坐标为分数段,纵 坐标为该分数段的全体考生在第 1、 2 问的平均难度, 则下列说法正确的是 ( )

A.此题没有考生得 12 分 B.此题第 1 问比第 2 问更能区分学生数学成绩的好与坏
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C.分数在[40,50)的考生此大题的平均得分大约为 4.8 分 D.全体考生第 1 问的得分标准差小于第 2 问的得分标准差 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.6

B.

C.7

D. )

7. (5 分)如图所示的程序框图,输出的值为(

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB、AD 分别交于 E、F,且交 其对角线 AC 于 K,若 A.2 B. C.3 =2 D.5 )+f( ) C. f (x) =sin (2x﹣ ) ) , =3 , =λ (λ∈R) ,则 λ=( )

9. (5 分)下列函数中,同时满足两个条件“①? x∈R,f( =0;②当﹣ <x< 时,f′(x)>0”的一个函数是( ) B.f(x)=cos(2x+ ) )

A.f(x)=sin(2x+

D.f(x)=cos(2x﹣ 10. (5 分)二项式( x+

)n(n∈N*)展开式中只有一项的系数为有理数,

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则 n 可能取值为( A.6 B.7 C.8

) D.9

11. (5 分)任意 a∈R,曲线 y=ex(x2+ax+1﹣2a)在点 P(0,1﹣2a)处的切线 l 与圆 C:x2+2x+y2﹣12=0 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 )

D.以上均有可能

12. (5 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,g(x)=3x2+2ax+b(a,b,c 是常数) , 若 f(x)在(0,1)上单调递减,则下列结论中:①f(0)?f(1)≤0;②g(0) ?g(1)≥0;③a2﹣3b 有最小值. 正确结论的个数为( A.0 B.1 C.2 ) D.3

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13. (5 分)函数 f(x)= ﹣log2 14. (5 分)已知 0<x< 为奇函数,则实数 a= . .

,且 tan(x﹣

)=﹣ ,则 sinx+cosx=

15. (5 分)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做 完全数(也称为完备数、玩美数) , 如 6=1+2+3 ; 28=1+2+4+7+14 ; 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,此外,它们都可以表示为 2 的一些连续正整 数次幂之和,如 6=21+22,28=22+23+24,…,按此规律,8128 可表示为 16. (5 分) 已知双曲线 C: ﹣ .

=1 (b>a>0) 的右焦点为 F, O 为坐标原点, ? =0,则双曲线离心

若存在直线 l 过点 F 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,使 率的取值范围是 .

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17. (12 分)△ABC 中的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 (Ⅰ)求 cosB; (Ⅱ)若 c=5,点 D 为边 BC 上一点,且 BD=6,求△ADC 的面积.
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b=4c,B=2C

18. (12 分)我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某 市共有户籍人口 400 万,其中老人(年龄 60 岁及以上)人数约有 66 万,为了了 解老人们的健康状况, 政府从老人中随机抽取 600 人并委托医疗机构免费为他们 进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四 个等级,并以 80 岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布被制作成如图表:

(Ⅰ) 若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取 8 人进一步了 解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人? (Ⅱ)估算该市 80 岁及以上长者占全市户籍人口的百分比; (Ⅲ) 据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老 人每月发放生活补贴,标准如下: ①80 岁及以上长者每人每月发放生活补贴 200 元; ②80 岁以下老人每人每月发放生活补贴 120 元; ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴 100 元. 试估计政府执行此计划的 年度预算. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,△PAD 为正三角形,AB∥CD,AB=2CD, ∠BAD=90°,PA⊥CD,E 为棱 PB 的中点 (Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 CDE; (Ⅱ)若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 45°,求二面角 A﹣DE﹣C 的余弦值.

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20. (12 分) 已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1 (a>b>0) 过点 M (2, 1) , 且离心率为



(Ⅱ)设 A(0,﹣1) ,直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ (O 为坐标原点)的面积 S 最大时,求直线 l 的方程. 21. (12 分)设函数 f(x)=eax+λlnx,其中 a<0,0<λ< ,e 是自然对数的底 数 (Ⅰ)求证:函数 f(x)有两个极值点; (Ⅱ)若﹣e≤a<0,求证:函数 f(x)有唯一零点.

请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分. [选 修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)在极坐标系中,射线 l:θ= 为 ρ 2= 与圆 C:ρ=2 交于点 A,椭圆 Γ 的方程

,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy

(Ⅰ)求点 A 的直角坐标和椭圆 Γ 的参数方程; (Ⅱ)若 E 为椭圆 Γ 的下顶点,F 为椭圆 Γ 上任意一点,求 ? 的取值范围.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知不等式|x+3|﹣2x﹣1<0 的解集为(x0,+∞) (Ⅰ)求 x0 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)=|x﹣m|+|x+ |﹣x0(m>0)有零点,求实数 m 的值.

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2017 年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求 1. (5 分) (2017?佛山一模)已知全集为 R,集合 M={﹣1,1,2,4},N={x|x2 ﹣2x≥3},则 M∩(?RN)=( A.{﹣1,2,2} )

B.{1,2} C.{4} D.{x|﹣1≤x≤2}

【分析】化简集合 N,根据补集与交集的定义进行计算即可. 【解答】解:全集为 R,集合 M={﹣1,1,2,4}, N={x|x2﹣2x≥3}={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1 或 x≥3}, ∴?RN={x|﹣1<x<3}, ∴M∩(?RN)={1,2}. 故选:B. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.

2. (5 分) (2017?佛山一模)复数 z 满足 z(2+i)=3﹣i,则复数 z 在复平面内对 应的点位于( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【分析】由 z(2+i)=3﹣i,得

,再利用复数代数形式的乘除运算化简复数

z,求出复数 z 在复平面内对应的点的坐标,则答案可求. 【解答】解:由 z(2+i)=3﹣i, 得 = ,

则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为: (1,﹣1) ,位于第四象限. 故选:D. 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几 何意义,是基础题.

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3. (5 分) (2017?佛山一模) 设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和为 Sn, 则“|q|=1” 是“S6=3S2”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【分析】 根据等比数列的前 n 项和为 Sn. 结合充分条件和必要条件的定义进行判 断. 【解答】解:若 q=1 时,S6=6a1=3S2=3?2a1=6a1, q=﹣1 时,S6=3S2=0,符合题意,是充分条件; 反之也成立, 故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件, 故选:C. 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用等比数列的性质是解决 本题的关键.

4. (5 分) (2017?佛山一模) 变量 x, y 满足约束条件

, 则目标函数 z=x+3y

的最小值为( A.2 B.4

) C.5 D.6

【分析】先根据条件画出可行域,设 z=x+3y,再利用几何意义求最值,将最小值 转化为 y 轴上的截距最大,只需求出直线 z=x+3y,取得截距的最小值,从而得到 z 最小值即可. 【解答】解:作出不等式组所表示的平面区域,由 z=x+3y 可得 y=﹣ x+ z. 则 z 为直线 y=﹣ x+ z 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越小, 作直线 L:x+3y=0,然后把直线 L 向可行域方向平移,当经过点 B 时,z 最小 由 故选:A. 可得 B(2,0) ,此时 z=2

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【点评】 借助于平面区域特性, 用几何方法处理代数问题, 体现了数形结合思想、 化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.

5. (5 分) (2017?佛山一模) 在考试测评中, 常用难度曲线图来检测题目的质量, 一般来说,全卷得分高的学生,在某道题目上的答对率也应较高,如果是某次数 学测试压轴题的第 1、2 问得分难度曲线图,第 1、2 问满分均为 6 分,图中横坐 标为分数段,纵坐标为该分数段的全体考生在第 1、2 问的平均难度,则下列说

法正确的是(



A.此题没有考生得 12 分 B.此题第 1 问比第 2 问更能区分学生数学成绩的好与坏 C.分数在[40,50)的考生此大题的平均得分大约为 4.8 分 D.全体考生第 1 问的得分标准差小于第 2 问的得分标准差 【分析】由图中横坐标为分数段,纵坐标为该分数段的全体考生在第 1、2 问的 平均难度,分数越高的同学,第 1 问得分高,说明此题第 1 问比第 2 问更能区分 学生数学成绩的好与坏,即可得出结论. 【解答】解:由图中横坐标为分数段,纵坐标为该分数段的全体考生在第 1、2 问的平均难度,分数越高的同学,
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第 1 问得分高,说明此题第 1 问比第 2 问更能区分学生数学成绩的好与坏, 故选 B. 【点评】本题考查难度曲线图,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题.

6. (5 分) (2017?佛山一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A.6

B.

C.7

D.

【分析】由题意,直观图是正方体切去一个三棱锥,即可求出该几何体的体积. 【解答】解:由题意,直观图是正方体切去一个三棱锥, 该几何体的体积为 故选 D. 【点评】本题考查几何体体积的计算,考查三视图,确定几何体的形状是关键. = ,

7. (5 分) (2017?佛山一模)如图所示的程序框图,输出的值为(



A.

B.

C.

D.

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【分析】 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 i=1 时,满足进行循环的条件,故 S= ,i=2, 当 i=2 时,满足进行循环的条件,故 S=1,i=3, 当 i=3 时,满足进行循环的条件,故 S= 当 i=4 时,满足进行循环的条件,故 S= 当 i=5 时,不满足进行循环的条件, 故输出的 S 值为 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采 用模拟循环的方法解答. , ,i=4, ,i=5,

8. (5 分) (2017?佛山一模)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB、AD 分别 交于 E、F,且交其对角线 AC 于 K,若 ( A.2 ) B. C.3 ? 即可. , =3 , = ∴λ=5 , D.5 = , 由 E, =2 , =3 , =λ (λ∈R) ,则 λ=

【分析】 =λ

F,K 三点共线可得, 【解答】解:∵ ∴ =λ ∴ =2

由 E,F,K 三点共线可得, 故选:D.

【点评】 本题主要考查了向量加法的平行四边形法则的应用,向量共线定理的应 用,其中解题的关键由 EFK 三点共线得系数之和为 1,属于基础题.

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9. (5 分) (2017?佛山一模) 下列函数中, 同时满足两个条件“①? x∈R, ( f +f( )=0;②当﹣ ) <x< 时,f′(x)>0”的一个函数是( ) )



A.f(x)=sin(2x+

B.f(x)=cos(2x+ ) )+f(

C. f (x) =sin (2x﹣



D.f(x)=cos(2x﹣ 【分析】①? x∈R,f( ②当﹣ <x<

)=0,函数的对称中心为(

,0) ;

时,f′(x)>0,函数单调递增,结合选项,可得结论. )+f( )=0,函数的对称中心为( ,0) ;

【解答】解:①? x∈R,f( ②当﹣ <x<

时,f′(x)>0,函数单调递增,

结合选项,可得 C 满足, 故选 C. 【点评】本题考查三角函数的对称性、单调性,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

10. (5 分) (2017?佛山一模)二项式( 的系数为有理数,则 n 可能取值为( A.6 B.7 C.8 D.9

x+ )

)n(n∈N*)展开式中只有一项

【分析】由题意,展开式中项的系数为 的倍数,r 是 3 的倍数,代入验证,即可得出结论. 【解答】解:由题意,展开式中项的系数为 系数为有理数,n﹣r 是 2 的倍数,r 是 3 的倍数,

,系数为有理数,n﹣r 是 2



n=6,r=0,6 不符合;n=7,r=3;n=8,r=0,6 不符合;n=9,r=3,9,不符合题 意, 故选 B. 【点评】本题考查二项展开式,考查学生的计算能力,属于中档题.
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11. (5 分) (2017?佛山一模)任意 a∈R,曲线 y=ex(x2+ax+1﹣2a)在点 P(0, 1﹣2a)处的切线 l 与圆 C:x2+2x+y2﹣12=0 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 D.以上均有可能 )

【分析】求出曲线 y=ex(x2+ax+1﹣2a)在点 P(0,1﹣2a)处的切线 l 恒过定点 (﹣2,﹣1) ,代入 x2+2x+y2﹣12,可得 4﹣4+1﹣12=﹣11<0,即定点在圆内, 即可得出结论. 【解答】解:∵y=ex(x2+ax+1﹣2a) , ∴y′=ex(x2+ax+2x+1﹣a) , x=0 时,y′=1﹣a, ∴曲线 y=ex(x2+ax+1﹣2a)在点 P(0,1﹣2a)处的切线 y﹣1+2a=(1﹣a)x, 恒过定点(﹣2,﹣1) ,代入 x2+2x+y2﹣12,可得 4﹣4+1﹣12=﹣11<0,即定点 在圆内, ∴切线 l 与圆 C:x2+2x+y2﹣12=0 的位置关系是相交. 故选:A. 【点评】本题考查导数的几何运用,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解 决问题的能力,属于中档题.

12. (5 分) (2017?佛山一模)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,g(x)=3x2+2ax+b (a,b,c 是常数) ,若 f(x)在(0,1)上单调递减,则下列结论中:①f(0) ?f(1)≤0;②g(0)?g(1)≥0;③a2﹣3b 有最小值. 正确结论的个数为( A.0 B.1 C.2 ) D.3

【分析】由 f(x)在(0,1)上单调递减,可得 g(x)=3x2+2ax+b≤0 在(0,1) 上恒成立,则 3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根根,进而判断三个命题的真假,可 得答案. 【解答】解:函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在(0,1)上单调递减, 但 f(0) ,f(1)的符号不能确定, 故①f(0)?f(1)≤0 不一定正确; 由 f′(x)=3x2+2ax+b≤0 在(0,1)上恒成立,
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即 g(x)=3x2+2ax+b≤0 在(0,1)上恒成立, 故 g(0)≤0,且 g(1)≤0, 故②g(0)?g(1)≥0 一定正确; 由 g(0)≤0,且 g(1)≤0 得 b≤0,3+2a+b≤0, 令 Z=a2﹣3b,则 b= (a2﹣Z) , 当 b= (a2﹣Z)过(﹣ ,0)点时,Z 取最小值 故③正确; 故选:B 【点评】 本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了利用导数研究函数的单调 性,二次函数的图象和性质,难度中档.

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13. (5 分) (2017?佛山一模) 函数 ( f x) = ﹣log2 为奇函数, 则实数 a= 1 =﹣ +log2 .

【分析】由题意,f(﹣x)=﹣f(x) ,可得﹣ ﹣log2 求出 a 的值. 【解答】解:由题意,f(﹣x)=﹣f(x) ,可得﹣ ﹣log2 ∴a=±1, a=﹣1,函数定义域不关于原点对称,舍去. 故答案为 1.

,即可

=﹣ +log2

【点评】本题考查奇函数的定义,考查学生的计算能力,属于中档题.

14. (5 分) (2017?佛山一模) 已知 0<x< .

, 且 tan (x﹣

) =﹣ , 则 sinx+cosx=

【分析】利用两角差的正切公式求出 tanx 的值,又根据已知条件列出方程组, 求解即可得到 sinx,cosx 的值,代入 sinx+cosx 计算得答案. 【解答】解:∵tan(x﹣ )=﹣ ,

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∴ 又 0<x<

=

,则 tanx= ,



,解得 sinx= ,cosx= ,

则 sinx+cosx= 故答案为: .



【点评】 本题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系是解 本题的关键,是基础题.

15. (5 分) (2017?佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它 本身的正整数叫做完全数 (也称为完备数、 玩美数) , 如 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14; 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,此外,它们都可以表示为 2 的一些连续正整 数 次 幂 之 和 , 如 6=21+22 , 28=22+23+24 , … , 按 此 规 律 , 8128 可 表 示 为 26+27+…+212 .

【分析】依据定义,结合可以表示为 2 的一些连续正整数次幂之和,即可得出结 论. 【解答】解:由题意,2n﹣1 是质数,2n﹣1(2n﹣1)是完全数, ∴令 n=7,可得一个四位完全数为 64×(127﹣1)=8128, ∴8128=26+27+…+212, 故答案为:26+27+…+212. 【点评】本题考查合情推理,考查学生分析解决问题的能力,正确理解新定义是 关键.

16. (5 分) (2017?佛山一模)已知双曲线 C:



=1(b>a>0)的右焦点

为 F,O 为坐标原点,若存在直线 l 过点 F 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,使 ? =0,则双曲线离心率的取值范围是 >e≥ .

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【分析】设焦点为 F(c,0) ,设直线 AB:y=k(x﹣c) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立直线方程和双曲线方程,消去 y,运用韦达定理和判别式大于 0,由两直线 垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得 k,即可得到离心率的范围. 【解答】解:直线的斜率不存在时,A(c, 则有 x1x2+y1y2=0,可得 e= ; ) ,B(c,﹣ ) ,由于 OA⊥OB,

焦点为 F(c,0) ,直线 AB:y=k(x﹣c) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则联立直线方程和双曲线的方程,可得 (b2﹣a2k2)x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2=0, 则△=4c2a4k4+4(b2﹣a2k2) (a2k2c2+a2b2)>0, x1+x2= ,x1x2= ,

则 y1y2=k2(x1x2+c2﹣c(x1+x2) )=k2? 由于 OA⊥OB,则有 x1x2+y1y2=0, 即有 a2b2+a2k2c2+k2(a2b2﹣b2c2)=0, 即有 k2= ,



∴ ∵b>a,∴ 故答案为

> >e> >e≥

, , .

【点评】本题考查双曲线的离心率的范围,考查联立直线方程和双曲线方程,消 去未知数, 运用韦达定理和判别式大于 0, 考查运算能力, 属于中档题和易错题.

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17. (12 分) (2017?佛山一模)△ABC 中的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
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b=4c,B=2C

(Ⅰ)求 cosB; (Ⅱ)若 c=5,点 D 为边 BC 上一点,且 BD=6,求△ADC 的面积. 【分析】 (Ⅰ)由二倍角的正弦公式、正弦定理求出 cosC,由二倍角的余弦公式 变形求出 cosB 的值; (Ⅱ)由题意求出 b 的值,由余弦定理列出方程,化简后求出 a 的值,由条件求 出 CD 的值,由 cosC 和平方关系求出 sinC,代入三角形的面积公式求出△ADC 的 面积. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得 B=2C,则 sinB=sin2C=2sinCcosC, 又 b=4c,所以 cosC= = = ,

所以 cosB=cos2C=2cos2C﹣1= ; (Ⅱ)因为 c=5, b=4c,所以 b= ,

由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2accosB 则 80=a2+25﹣2× 化简得,a2﹣6a﹣55=0, 解得 a=11 或 a=﹣5(舍去) , 由 BD=6 得,CD=5, 由 cosC= 得 sinC= = , a,

所以△ADC 的面积 S= = =10.

【点评】 本题考查了正弦定理、 余弦定理, 二倍角的正弦公式、 余弦公式变形等, 以及三角形的面积公式的应用,考查方程思想,化简、计算能力.

18. (12 分) (2017?佛山一模)我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政 府的民生工程.某市共有户籍人口 400 万,其中老人(年龄 60 岁及以上)人数 约有 66 万,为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取 600 人并委托 医疗机构免费为他们进行健康评估, 健康状况共分为不能自理、 不健康尚能自理、
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基本健康、健康四个等级,并以 80 岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布 被制作成如图表:

(Ⅰ) 若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取 8 人进一步了 解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人? (Ⅱ)估算该市 80 岁及以上长者占全市户籍人口的百分比; (Ⅲ) 据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老 人每月发放生活补贴,标准如下: ①80 岁及以上长者每人每月发放生活补贴 200 元; ②80 岁以下老人每人每月发放生活补贴 120 元; ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴 100 元. 试估计政府执行此计划的 年度预算. 【分析】 (Ⅰ)从图表中求出不能自理的 80 岁及以上长者占比,由此能求出用分 层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取 8 人进一步了解他们的生活 状况,两个群体中各应抽取多少人. (Ⅱ)求出在 600 人中 80 岁及以上长者在老人中占比,用样本估计总体,能求 出 80 岁及以上长者占户籍人口的百分比. (Ⅲ)用样本估计总体,设任一户籍老人每月享受的生活补助为 X 元,则 X 的可 能取值为 0,120,200,220,300,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 X 的分布列、EX,从而能估计政府执行此计划的年度预算. 【解答】解: (Ⅰ)数据整理如下表: 健康状况 健康 基本健康 不健康尚能 自理 80 岁及以上 20 45
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不能自理

20

15

80 岁以下

200

225

50

25

从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取 8 人进一 步了解他们的生活状况, 80 岁及以上应抽取:8× 80 岁以上应抽取:8× =3 人, =5 人.

(Ⅱ)在 600 人中 80 岁及以上长者在老人中占比为: , 用样本估计总体,80 岁及以上长者为:66× =11 万, 用样本估计总体,80 岁及以上长者占户籍人口的百分比为 =2.75%.

(Ⅲ)用样本估计总体,设任一户籍老人每月享受的生活补助为 X 元, P(X=0)= , P(X=120)= P(X=200)= P(X=220)= P(X=300)= = = = = , , , ,

则随机变量 X 的分布列为: X P EX= =28, 0 120 200 220 300

全市老人的总预算为 28×12×66×104=2.2176×108 元. 政府执行此计划的年度预算约为 2.2176 亿元. 【点评】本题考查分表图、分层抽样的应用,考查离散型随机变量的分布列及应 用,是中档题,历年高考中都是必考题型之一.

19. (12 分) (2017?佛山一模)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,△PAD 为正三角形,
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AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°,PA⊥CD,E 为棱 PB 的中点 (Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 CDE; (Ⅱ)若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 45°,求二面角 A﹣DE﹣C 的余弦值.

【分析】 (Ⅰ) 取 AP 的中点 F, 连结 EF, DF, 推导出四边形 CDEF 为平行四边形, 从而 DF∥CE,由此能证明平面 PAB⊥平面 CDE. (Ⅱ)以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A﹣xyz,利用向量法能求出二面角 A ﹣DE﹣C 的余弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)取 AP 的中点 F,连结 EF,DF, ∵E 是 PB 中点,∴EF AB,∴CD EF,

∴四边形 CDEF 为平行四边形, ∴DF∥CE, 又△PAD 为正三角形, ∴PA⊥DF,从而 PA⊥CE, 又 PA⊥CD,CD∩CE=C, ∴PA⊥平面 CDE, 又 PA? 平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 CDE. 解: (Ⅱ)∵AB∥CD,PA⊥CD, ∴PA⊥AB, 又 AB⊥AD,PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,∴CD⊥平面 PAD, ∴∠CPD 为 PC 与平面 PAD 所成角,即∠CPD=45°,从而 CD=AD, 以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A﹣xyz,如图所示, 设 AD=2,则 A(0,0,0) ,B(4,0,0) ,P(0,1,
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) ,D(0,2,0) ,E(2,

, ∴

) , = (2 , ) , =(0,2,0) ,

设平面 ADE 的法向量 =(x,y,z) ,



,取 z=﹣4,得 =(

) ,

由(Ⅰ)知 PA⊥平面 CDE,∴ ∴cos< >= =

=(0,1, =﹣ .

)是平面 CDE 的一个法向量, ,

∴二面角 A﹣DE﹣C 的余弦值为﹣

【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

20. (12 分) (2017?佛山一模)已知椭圆 C: 1) ,且离心率为 .

+

=1(a>b>0)过点 M(2,

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
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(Ⅱ)设 A(0,﹣1) ,直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ (O 为坐标原点)的面积 S 最大时,求直线 l 的方程. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆过点 M(2,1) ,且离心率为 由此能求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率 k 存在,当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=±1.当 k≠ 0 时, 可设直线 l 的方程为 y=kx+m, 联立 , 得(1+4k2) x2+8kmx+4 (m2 ,列出方程组求出 a,b,

﹣2)=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式,结 合已知条件能求出直线 l 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C: 为 , + =1(a>b>0)过点 M(2,1) ,且离心率



,又 a2=b2+c2,

解得 a=2

,b=

, .

∴椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率 k 存在, ①当 k=0 时,设直线 l 的方程为 y=y0,P(﹣x0,y0) ,Q(x0,y0) , 则 ,

∴S= |2x0|?|y0|=|x0|?|y0|=2 当且仅当 =2﹣



=2,

,即|y0|=1 时,取等号,

此时直线 l 的方程为 y=±1. ②当 k≠0 时,可设直线 l 的方程为 y=kx+m,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,
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联立

,消去 y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣2)=0,

由△=(8km)2﹣4(1+4k2)?4(m2﹣2)>0, 解得 8k2+2>m2, (*) , ∴PQ 中点为(﹣ , , ) ,

∵|AP|=|AQ|,∴

,化简得 1+4k2=3m,

结合(*)得 0<m<6, 又 O 到直线 l 的距离 d= ,

|PQ|=

|x1﹣x2|=



∴S= |PQ|?d= ? ∴当 m=3 时,S 取最大值 2,此时 k= 综上所述,直线 l 的方程为 y=±1 或 y=

=

= ,直线 l 的方程为 y= .

, .

【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用.

21. (12 分) (2017?佛山一模)设函数 f(x)=eax+λlnx,其中 a<0,0<λ< ,e 是自然对数的底数 (Ⅰ)求证:函数 f(x)有两个极值点; (Ⅱ)若﹣e≤a<0,求证:函数 f(x)有唯一零点. 【分析】 (Ⅰ) 求出函数的导数, 解关于导函数的不等式, 求出函数的单调区间, 从而判断函数的极值点的个数;
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(Ⅱ)根据函数的单调性,令 x2∈(﹣ ,+∞) ,故 f(x2)=(1﹣ax2lnx2) 令 h(x)=1﹣axlnx,x∈(﹣ ,+∞) ,根据函数的单调性判断即可. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=aeax+ = , (x>0) ,



令 g(x)=axeax+λ,其中 a<0,x>0, 求导得:g′(x)=aeax(1+ax) , 令 g′(x)=0,解得:x=﹣ , x∈(0,﹣ )时,g′(x)<0,g(x)递减, x∈(﹣ ,+∞)时,g′(x)>0,g(x)递增, x=﹣ 时,g(x)取得极小值,也是最小值 g(﹣ )=λ﹣ , ∵0<λ< ,∴g(﹣ )=λ﹣ <0,又 g(0)=λ>0, ∴g(﹣ )g(0)<0, ∴函数 f(x)有两个极值点; (Ⅱ)由(Ⅰ)得: 不妨令 x2∈(﹣ ,+∞) , 故 ax2 +λ=0, ,

故 f(x2)=(1﹣ax2lnx2)

令 h(x)=1﹣axlnx,x∈(﹣ ,+∞) , h′(x)=﹣a(lnx+1)>﹣a(ln +1)=0, ∴f(x2)>0,∵f(0)→负数, ∴函数 f(x)有唯一零点. 【点评】 本题考查了函数的单调性、 极值问题, 考查导数的应用, 是一道综合题.

请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分. [选 修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分)

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22. (10 分) (2017?佛山一模)在极坐标系中,射线 l:θ= 点 A,椭圆 Γ 的方程为 ρ2= 平面直角坐标系 xOy (Ⅰ)求点 A 的直角坐标和椭圆 Γ 的参数方程; (Ⅱ)若 E 为椭圆 Γ 的下顶点,F 为椭圆 Γ 上任意一点,求 【分析】 (Ⅰ)射线 l:θ= 与圆 C:ρ=2 交于点 A(2,

与圆 C:ρ=2 交于

,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立

?

的取值范围.

) ,可得点 A 的直角坐

标;求出椭圆直角坐标方程,即可求出椭圆 Γ 的参数方程; (Ⅱ)设 F( 值范围. 【解答】解: (Ⅰ)射线 l:θ= 标( ,1) ; , 直 角 坐标 方 程为 +y2=1 ,参 数 方程 为 与圆 C:ρ=2 交于点 A(2, ) ,点 A 的直角坐 cosθ,sinθ) ,E(0,﹣1) ,求出相应的向量,即可求 ? 的取

椭 圆 Γ 的 方程 为 ρ2= (θ 为参数) ; (Ⅱ)设 F( cosθ,sinθ) ,

∵E(0,﹣1) , ∴ ∴ ∴ =(﹣ ? ? ,﹣2) , =( cosθ﹣ ,sinθ﹣1) , sin(θ+α)+5, ].

=﹣3cosθ+3﹣2(sinθ﹣1)= 的取值范围是[5﹣ ,5+

【点评】本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化,考查向量的数 量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23. (2017?佛山一模)已知不等式|x+3|﹣2x﹣1<0 的解集为(x0,+∞) (Ⅰ)求 x0 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)=|x﹣m|+|x+ |﹣x0(m>0)有零点,求实数 m 的值.
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【分析】 (Ⅰ)不等式转化为 可求 x0 的值;



,解得 x>2,即

(Ⅱ)由题意,等价于|x﹣m|+|x+ |=2(m>0)有解,结合基本不等式,即可 求实数 m 的值. 【解答】解: (Ⅰ)不等式转化为 解得 x>2,∴x0=2; (Ⅱ)由题意,等价于|x﹣m|+|x+ |=2(m>0)有解, ∵|x﹣m|+|x+ |≥m+ ,当且仅当(x﹣m) (x+ )≤0 时取等号, ∵|x﹣m|+|x+ |=2(m>0)有解, ∴m+ ≤2, ∵m+ ≥2, ∴m+ =2. 【点评】本题考查不等式的解法,考查绝对值不等式,考查基本不等式的运用, 属于中档题. 或 ,

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参与本试卷答题和审题的老师有:742048;sxs123;刘老师;qiss;lcb001;陈远 才;豫汝王世崇;gongjy;zlzhan(排名不分先后) 菁优网 2017 年 3 月 6 日

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