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河南省八市重点高中2016届高三数学4月质量检测考试试题 文(扫描版)_图文

河南省八市重点高中 2016 届高三数学 4 月质量检测考试试题 文 (扫 描版)

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河南省八市重点高中质量检测试题 文科数学参考答案 评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则. 2. 对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分) 1. B 7. C 2. C 8. B 3.B 9. D 4. C 10. A 5. A 11.A 6. D 12. D

二、填空题(每小题 5 分) 13.[-2,1] 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)△ABC 的面积 S= 14. ? x | 0 < x <

? ?

1 ? 或x > 100? 10 ?

15.

27 ? 2

16. a ? ?2

1 1 1 2 AB·BC·sinB= ×1× 2 sinB= ,∴sinB= . 2 2 2 2

∵0<B<π ,∴B=

? 3? 或 . 4 4

∴AC?=AB?+BC?-2AB·BC·cosB,即 AC?=1 或 5, ∴当 B=

? 3? 时 AC=1;当 B= 时 AC= 5 . 4 4

………………………………………6 分

(Ⅱ)化简得 f(x)=cos?x+2 3 sinxcosx-sin?x=cos2x+ 3 sin2x=2sin(

? +2x). 6

由 f(B)= - 3 ,得 sin( 由(Ⅰ)知 B=

? 3 +2B)=- . 6 2

? 3? 3? 或 ,代入上式验证可得 B= . 4 4 4



BC AC 2 5 5 ? ? ,得 ,解得 sinA= .………………………………… 3 ? sin A sin B sin A sin 5 4

12 分

5

18. 解:分别用 A1, A2, A3, A4, B1, B3 表示标有黑 1,黑 2,黑 3,黑 4,红 1,红 3 的卡片, 从 6 张卡片中任取 2 张,共有 15 种情况. 其中,A 类别包括 A1 A2, A2 A3, A3 A4,则 P ( A) ?

3 ; 15

B 类别包括 A1 A3, A1 A4, A2 A4, B1 B3, 则 P ( B ) ? C 类别包括 A2 B1, A2 B3, A4 B3, 则 P (C ) ? D 类 别 包 括 A1 B1,

4 ; 15

3 ; 15
A3 B3, 则

P( D) ?

2 ; 15



P( E ) ?

3 . ……………………………………6 分 15

(Ⅰ)一、二等奖分别对应类别 D,B. ……………………………………………………… 8 分 (Ⅱ)∵顾客获一、二、三等奖的概率分别为

2 4 9 , , , 15 15 15

∴可估计 300 名顾客中获一、二、三等奖的人数分别为 40,80,180. 则可估计经营者这一天的盈利为 300×3-40×9-80×3-180×1=120 元. ……………12 分 19. (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E ,连接 PE,EM,AC.

? PA ? PD ,? PE ? AD . ? 底面 ABCD 为菱形,? BD ? AC ,
又 EM∥AC,? EM ? BD . 又 BD ? PM ,? BD ? 平面 PEM , 则 BD ? PE .? PE ? 平面 ABCD . 又 PE ? 平面 PAD ,

? 平面 PAD ? 平面 ABCD .…………………………………………………………… 6
分 (Ⅱ)解:设 PA ? PD ? a ,由 ?APD ? 90? ,可得 AD ?

2a ,

PE ?

3 2 ? ( 2a) 2 ? 2 ? 3a 2 . a , S ABCD ? 4 2

由(Ⅰ)可知 PE ? 平面 ABCD ,则

1 1 2 6 3 2 3 a ? 3a 2 ? a ? VP ? ABCD ? ? PE ? S ABCD = ? 3 3 2 6 3

? a3 ? 2 2 ,则 PA ? PD ? 2 , AD ? 2 .……………………………………………8
分 可得 PE ? 1 , BE ? EM ? BM ? 3 , PB ? PM ? 2 .
6

∴ S?PBM ?

39 , S?ABM ? 3 . 4

设三棱锥 A ? PBM 的高为 h ,则由 VA? PBM ? VP ? ABM 可得

1 1 ? h ? S ?PBM ? ? PE ? S ?ABM .即 h ? 3 3

3 4 13 . ? 13 39 4

所以三棱锥 A ? PBM 的高为 分 20.解:设点 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ).

4 13 .…………………………………………………12 13

(Ⅰ)若四边形 ABCD 为平行四边形,则四边形 ABCD 为菱形, ∴AC 与 BD 在点 F 处互相平分,又 F 的坐标为(1,0) . ∴y1+y2 =0,由椭圆的对称性知 AC 垂直于 x 轴,则 BD 垂直于 y 轴, 显然这时 ABCD 不是平行四边形. ∴四边形 ABCD 不可能成为平行四边形. ……………………………………………… 4 分 (Ⅱ) 当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的方程为 y=k(x-1),(k≠0)

? y =k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 2 由 ? x ? y 2 ? 1, 消去 y 得,(2k +1)x -4k x+2k -2=0, ? ?2
∴ x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 2 2 (k 2 + 1) , x · x = . ? AC = . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2k 2 ? 1

2 2(k 2 ? 1) 同理得, BD = k2 ? 2
……………………………………………………8 分
4(k 2 ? 1)2 1 ∴S= |AC|?|BD|= . 2 (2k 2 ? 1)(k 2 ? 2)
2 令 k +1=t,则 S ?

4 16 ? . 1 1 9 2? ? 2 t t

1 当直线 AC 的斜率不存在时,|AC|= 2,|BD|=2 2,∴S= |AC|?|BD|=2. 2 1 当直线 AC 的斜率为零时,|AC|=2 2,|BD|= 2,∴S= |AC|?|BD|=2. 2 16 16 ∵2> ,∴S 的最小值为 . …………………………………………………………12 分 9 9
7

21.解: (Ⅰ) ∵ f ( x) 为[-2,2]上的奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) . 当 x ? (0, 2] 时, ? x ?[?2,0) , f ( x) ? ? f (? x) ? ax2 ? ln x ? 1 . 当a ?

1 1 1 时, x ? (0, 2] 时, f '( x ) ? x ? , f '(1) ? 2 , f (1) ? ? . x 2 2

所以,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 . ……………5 分 (II)由题可知, | ax2 ? ln x ? x ? 1|? 1 对于任意的 x ? (0, 2] 成立, 即 ax2 ? ln x ? x ? 2 ? 0 或 ax 2 ? ln x ? x ? 0 对于任意的 x ? (0, 2] 成立,

?a ?

? ln x ? x ? 2 ? ln x ? x 或a ? 对于任意的 x ? (0, 2] 成立, 2 x x2 ? ln x ? x ? 2 没有最大值,∴不存在实数 a 满足题意; x2

①显然函数 y ? ②设 g ( x) ?

? ln x ? x 2 ln x ? x ? 1 , x ? (0, 2] . g '( x) ? , x ? (0, 2] , 2 x x3

令 g′(x)=0,得 x =1. 当 x ? (0,1) , g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (1, 2] , g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增.

a ? g ( x)min ? g (1) ? ?1 .
综上,实数 a 的最大值为-1.…………………………………………………………12 分

选做题 22.证明: (Ⅰ)如图,连结 BE. ∵DB·DA=DE·DC. ∴

DB DE ? . DC DA
……………………………………………………………………5 分

又∵DC=2DB, ∴DA=2DE. (Ⅱ)∵AC=DC, ∴∠D=∠A. ∵∠BED=∠A, ∴∠BED=∠D. ∴BD=BE. 分 ………………………………………………………………………… 10

8

23. 解:(Ⅰ)设 P(?,?),Q(? ?,?),则?? ?= 2, 又? ?cos ? ? +

? ?

??
? ?

2 2 ? ?? ,∴ cos ? ? + ? =1. ? =1,? ?= 4? ? ? ? 4?

∴?= 2 cos ? ? + 分

??

……………………………5 ? =cos??sin?为所求 C1 的极坐标方程. 4?

1 (Ⅱ)C2 的极坐标方程为?(cos?+sin?)= , 2 2? 3 1 把?= 代入 C2 得?1= + , 3 2 2 3 1 ? 把?=- 代入 C1 得?2= + , 3 2 2 ∴|EF|=?1+?2= 3+1.………………………………………………………………10 分 24. ( Ⅰ ) 证 明 : f(x)=|x - 1| + |x + 1| = |1 - x| + |x + 1|≥|1 - x + x + 1|=2.……………………5 分 (Ⅱ)解:令 g(b)=

| 2b ? 1| ? |1 ? b | , |b|

则 g(b)=

| 2b ? 1| ? |1 ? b | | 2b ? 1 ? 1 ? b | ≤ =3, |b| |b|

∴f(x)≥3,即|x-1|+|x+1|≥3. 化简得 ?

? x ? ?1, ??1 ? x ? 1, ? x ? 1, 或? 或? ??2 x ? 3, ?2 ? 3, ?2 x ? 3,
3 3 或 x≥ ,即为所求.……………………………………………………10 2 2

解得 x≤- 分

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