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苏教版高一数学必修一函数定义域和值域






函数的概念和图像

授课日期及时段 1.理解函数及其定义域、值域的概念,并能求函数的定义域、值域 2.能用描点法画函数的图像 3.了解函数的表示方法,重点掌握函数的解析法 4.了解分段函数的概念,掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法 教学目的 5.理解函数的单调性,掌握判断函数单调性和求函数最值的方法 6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性,求函数的最值 7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义,明确函数与映射的异同之处 教学内容

1.函数概念是如何定义的,什么是映射?举例说明函数、映射以及它们之间的区别 2.思考:对于不同的函数如:① y ? x 2 ? 2 x ② y ? x ? 1 ③ y ? 的定义域如何确定 3.通常表示函数的方法有: 4. y ? f ?x ? 的定义域为 A, x1 , x2 ? A 。 函数是奇函数, 讲授新课: 一、函数的判断 例 1.<1>下列对应是函数的是 注:检验函数的方法(对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应) ①x? y: y ? x ② x ? x2 ? x ?1 函数是增函数, 函数是偶函数。 函数是减函数,
1 1 ④ y ? lg ?2 x ? 5? ⑤ y ? 1? x x ?1

1

<2>下列函数中,表示同一个函数的是: (



注:定义域和对应法则必须都相同时,函数是同一函数 A. f ? x ? ? x, g ? x ? ?

? x?

2

B. f ? x ? ? x, g ?x ? ? x 2 D. f ?x ? ? x, g ?x ? ? 3 x 3

x2 ? 4 C. f ?x ? ? x ? 2, g ?x ? ? x?2

练习: 1.设有函数组:① y ? x, y ? x 2 ② y ? x, y ? 3 x 3 ③ y ? x , y ?
x 10
x
x ? 1 ?x ? 0? ,y ? ④y?? x x ?? 1 ? x ? 0 ?

⑤ y ? lg x 2 , y ? 2 lg x

⑥ y ? lg x ? 1, y ? lg

其中表示同一函数的是 二:函数的定义域 注:确定函数定义域的主要方法 (1)若 f ? x ? 为整式,则定义域为 R.



(2)若 f ? x ? 是分式,则其定义域是分母不为 0 的实数集合 (3)若 f ? x ? 是偶次根式,则其定义域是使根号下式子不小于 0 的实数的集合; (4)若 f ? x ? 是由几部分组成的,其定义域是使各部分都有意义的实数的集合; (5)实际问题中,确定定义域要考虑实际问题 例:1.求下列函数的定义域: (1) y ?
?x 2 x ? 3x ? 2
2

(2) y ? x ? 1 ? 1 ? x

2

(3) y ?

3 1? 1? x

(4) y ? x 2 ? 3 ? 5 ? x 2

? x ?1 ? (5) f ?x ? ? ? 4 x ?3 ? 2x ?

(6)t 是时间,距离 f ?t ? ? 60 ? 3t

2.已知函数 f ? x ? 的定义域是[-3,0],求函数 f ?x ? 1? 的定义域。

3.若函数 f ?x ? ?

x ?1 的定义域是 R,求 m 的取值范围。 mx ? mx ? 3
3 2

练习: 1.求下列函数的定义域: (1) f ? x ? ?
4 ? x2 ?1 ;

(2) f ? x ? ?

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

3

(3) f ? x ? ?
1?

1 1 1 1? x



(4) f ?x ? ?

?x ? 1?0
x ?x

4? ? 2.已知 f ? x ? 的定义域为 ?0,1? ,求函数 y ? f ?x 2 ? ? f ? x ? ? 的定义域。 3? ?

三、函数值和函数的值域 例 1、求下列函数的值域: (观察法) (1) y ?
5x ? 1 4x ? 2

(2) y ?

x 2 ? 4x ? 3 2x 2 ? x ? 1

例 2.求函数 y ?

2x 2 ? 4x ? 7 的值域(反解法) x 2 ? 2x ? 3

例 3.求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的值域(配方换元法)

4

例 4.求函数 y ?

5x ? 1 4x ? 2

?x ? 2?的值域(不等式法)

例 5.画出函数 y ? x 2 ? 4 x ? 6, x ? ?1,5? 的图像,并根据其图像写出该函数的值域。 (图像法)

练习: 1.求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? 2 (2) f ( x) ? 2 ? 4 ? x

(3) y ?

x x ?1

(4) y ? x ?

1 x

2.求下列函数的值域: (1) y ? ? x ? 4 x ? 2
2

(2) y ? x ? 2 x ? 1

x2 ? x ?1 (3) y ? 2 2x ? 2x ? 3

5

四、函数解析式:
? 1? 1 例 1、已知 f ?1 ? ? ? 2 ? 1 ,求 f ? x ? 的解析式。 (换元法) x? x ?

例 2.设二次函数 y ? f ?x ? 的最小值等于 4,且 f ?0? ? f ?2? ? 6 ,求 f ? x ? 的解析式。 (待定系数法)

例 3.甲同学家到乙同学家的途中有一个公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km, 甲 10 时出发前往乙家。如图,表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y?km? 与时间 x?min ? 的关系。试写 出 y ? f (x) 的函数表达式。

6

练习: 1.已知 f

?

x ? 1 ? x ? 2 x ,求 f ? x ? 。

?

2、已知 f (x) 是一次函数,且 f ? f ?x ?? ? 4 x ? 1,求 f (x) 的解析式。

3、设 f (x) 是 R 上的函数,且满足 f ?0? ? 1 ,并且对任意实数 x, y ,有 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? y?2 x ? y ? 1? ,求
f ? x ? 的表达式。

4、求函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的值域。

7

五、单调性: 例 1.证明: f ?x ? ? ? x 3 ? 1 在 ?? ?,??? 上是减函数。 (定义法)

2.证明:函数 f ?x ? ? x ?

1 在 ?0,1? 上是减函数 x

例 2.画出函数 f ? x ? ? x 2 ? 4 x ? 3 的图像,并由图像写出函数 f (x) 的单调区间。

3、复合函数 注:定义域相同时:
f1 ?x ? f 2 ?x ?

g ?x ? ? f1 ?x ? ? f 2 ?x ?







8







u ? g ?x ?

y ? f ?u ?

y ? f ?g ?x ??

增 减 增 减

增 减 减 增

增 增 减 减

例:已知函数 f ?x ? ? 8 ? 2 x ? x 2 , g ?x ? ? f ?2 ? x 2 ? ,试求 g ? x ? 的单调区间。

练习: 1.确定函数 f ?x ? ?
1 1 ? 2x

的单调性。

9

2.试判断函数 f ?x ? ? log a log a x ( a ? 0 且 a ? 1 )在区间 ?1,??? 上的单调性。

3.已知 f ?x ? ? x 2 ? ax ? 3 在区间 ?? 1,1? 上的最小值为-3,求实数 a 的值。

单调性的应用 例:1.已知函数 f ? x ? 对任意的 x, y ? R ,总有 f ?x ? ? f ? y ? ? f ?x ? y ? ,且当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0, f ?1? ? ? (1)求证: f ? x ? 在 R 上是减函数; (2)求 f (x) 在 ?? 3,3? 上的最大值、最小值。
2 3

六、奇偶性 例.判断函数奇偶性: (1) f ?x ? ? x ? 2 ? 2 ? x ;
10

(2) f ?x ? ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ; (3) f ?x ? ? x ? a ? x ? a

?a ? R ?

(4) f ? x ? ?

1? x2 x?2 ?2

练习: 判断函数的奇偶性:

?1 ? 2 ? (1) f ?x ? ?
2x

x 2



(2) f ?x ? ? lg x ? x 2 ? 1 ; (3) f ?x ? ? lg x 2 ? lg (4) f ? x ? ? ?1 ? x ?
1 ; x2

?

?

1? x ; 1? x

?? x 2 ? x (5) f ?x ? ? ? 2 ? x ?x

?x ? 0? ?x ? 0?

例.奇偶性的应用 1.已知 f ?x ? ?
px 2 ? 2 5 是奇函数,且 f ?2? ? 。 3x ? q 3

(1)求实数 p, q 的值; (2)判断函数 f ? x ? 在 ?? ?,?1? 上的单调性,并加以证明。

11

2.已知函数 f ?x ? ? ?m 2 ? 1?x 2 ? ?m ? 1?x ? n ? 2 ,则当 m, n 为何值时, f (x) 是奇函数?

12


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