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【高中数学】2018-2019学年度最新北师大版必修3教学案:第一章 平均数、中位数、众数、极差、方差标准差

数据的数字特征 4.1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差 预习课本 P25~31,思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数? (2)什么是极差、方差、标准差? (3)方差、标准差的计算公式是什么? [新知初探] 1.平均数、中位数、众数 (1)平均数 如果有 n 个数 x1,x2,?,xn,那么 x = 叫作这 n 个数的平均数. (2)中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数) 称为这组数据的中位数. (3)众数 一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数, 一组数据的众数可以是一个, 也 可以是多个. [点睛] 如果有几个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这几 个数据都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据 没有众数. 2.极差、方差、标准差 (1)极差 一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差. (2)方差 标准差的平方 s2 叫作方差. 1 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. n x1+x2+?+xn , n 其中,xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数. (3)标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示.s= 1 [?x - x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2]. n 1 [点睛] (1)标准差、 方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小, 标准差、 方差越大, 数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差为 0 时,表明样本数据全相等,数据没有波动幅度和离散性. (3)标准差的大小不会超过极差. [小试身手] 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平均数反映了一组数据的平均水平,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变 化.( ) (2)一组数据中,有一半的数据不大于中位数,而另一半则不小于中位数,中位数反映 了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响.( ) ) (3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关.( (4)数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定.( (5)数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定.( 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ ) ) 2.在某次考试中,10 名同学的得分如下:84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据 的众数和中位数分别为( A.84,68 C.84,81 ) B.84,78 D.78,81 解析:选 C 将所给数据按从小到大排列得 68,70,77,78,79,83,84,84,85,95,显然众数为 84,而本组数据共 10 个,中间两位是 79,83,它们的平均数为 81,即中位数为 81. 3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示, 则该学生这几次数学测试 的平均成绩为________. 解析: 根据茎叶图提供的信息知, 这几次测试成绩为 53,60,63,71,74,75,80. 1 所以所求的平均成绩为 ×(53+60+63+71+74+75+80)=68. 7 答案:68 4. 如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶 图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________. 解析: 依题意知,运动员在 5 次比赛中的分数依次为 8,9,10,13,15 ,其平均数为 8+9+10+13+15 =11. 5 1 1 由方差公式得 s2= [(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]= (9+4+1 5 5 +4+16)=6.8. 答案:6.8 中位数、众数、平均数的计算及应用 [典例] 据报道,某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下: 职务 人数 工资 董事长 1 5 500 副董事长 1 5 000 董事 2 3 500 总经理 1 3 000 经理 5 2 500 管理员 3 2 000 职员 20 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元,董事长的工资从 5 500 元提升到 30 000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平,结合此问题谈一谈你的看法. [解] (1)平均数是 1 x =1 500+ (4 000+3 500+2 000× 2+1 500+1 000× 5+500× 3+0×20)≈1 500+591= 33 2 091(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (2)平均数是 1 x ′=1 500+ (28 500+18 500+2 000× 2+1 500+1 000× 5+500× 3+0×20)≈1 500+1 33 788=3 288(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人 的工资额与大多数人的工资额差别较大, 这样导致平均数与中位数偏差较大, 所以平均数不 能反映这个公司员工的工资水平. 刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、 中位数和众数等, 它们作为一组数据的代表 各有优缺点,也各有各的用处,从不同的角度出发,不同的人会选取不同的统计量来表达同 一组数据的信息,不同的统计量会侧重突出某一方面的信息. [活学活用] 1.某学习小组在一次数学测验中,得 100 分的有 1 人,95 分的有 1 人,90 分的有 2 人,85 分的有 4 人,80 分和 75 分的各 1 人,则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是 ( ) A.85 分、85 分、85 分 C.87 分、85 分、

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