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2.1直线和圆的位置关系(2)


3.1直线与圆的位置关系 (2)

复习提问:
1、说出直线 与圆的位置关系的定义: (1)直线和圆没有公共点时,就说这条 直线和这个圆相离。 (2)直线和圆有且只有一个公共点时, 就说这条直线和这个圆相切。 注意:这条直线叫做圆的切线。 这个公共点叫做切点。 (3)直线和圆有两个公共点时,就说这条 直线和这个圆相交。
注意:这条直线叫做圆的割线。

2、说出直线 与圆的位置关系的性质: (1) 直线与圆相离 < => d>r

(2) 直线与圆相切 < => d=r
(3) 直线与圆相交 < => d<r
r r




O ┐d

O

r


O

d ┐

d ┐

相交

相切

相离

情境引入


r
C

d B
A

如图:直线BC和⊙O的位 相切 置关系是_________ 切线 直线BC叫⊙O的_______ 切点 公共点A叫_________

想一想: 满足什么条件的直线是圆的切线?

课本P51请按照下述步骤作图: 在⊙O上任意取一点A,连结OA。过 点A作直线し⊥OA し 思考以下问题: · O (1)圆心O到直线し的距离和圆的 · A 半径有什么系? 圆心O到直线し的距离等于圆的半径 (2)直线し与⊙ O的位置有 什么关系? 根据什么? 直线し和⊙ O相切。 根据切线定义 (3)由此你发现有什么?

切线的判定定理
? 经过半径的外端,并且垂直于这条直径 B 的直线是圆的切线. ∵AB是⊙O的直径,直线 CD经过A点,且CD⊥AB, O ∴ CD是⊙O的切线. C A 这个定理实际上就是: d=r 直线和圆相切的另一种说法。


D

注意:切线的判定定理是证明一条直线 是否是圆的切线的根据;作过切点的半径 是常用经验辅助线之一.
?

切线识别方法: 经过半径外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。 1.判断下图中的l 是否为⊙O的切线?
O
A
O A

O

A

不是

不是

不是

2.是非题:判断下列命题是否正确。

(×) ⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。 ⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。 (×) ⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的 (√) 直线是圆的切线。 ⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切 (√) 线。 ⑸、以等腰三角形的顶点为圆心,底边上 的高为半径的圆与底边相切。(√)

例1如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交 ⊙O于C,点B在⊙O上,且AB=BC,∠A= 30°.求证:直线AB是⊙O的切线
B

分析: 欲证AB是⊙O的 切线,由于AB过圆上点 B,若连结OB,则AB过半 径OB的外端,只需证明 OB⊥AB .

C O

A

例1如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交 ⊙O于C,点B在⊙O上,且AB=BC,∠A= 30°.求证:直线AB是⊙O的切线 B 证明:连结OB C ∵OB=OC,AB=BC,∠A=30° A O ∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∴∠ ABO=180°-(∠AOB+∠A) 一般情况下,要证明一条直线为圆的切 =180°-(60°+30°) = 90° 线,已知它过半径外端(即一点已在圆上) ∴OB⊥AB 时,只需证明直线垂直于这条半径。 ∴ AB是⊙O的切线 (经过半径的外端,并且
垂直于这条直径的直线是圆的切线.)

例2 已知O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB 于D,以O为圆心,OD为半径作圆O, B 求证:⊙O与AC相切 D 证明:作OE⊥AC,垂足是E.
A

O

∵O为∠BAC平分线上一点, E C OD⊥AB于D, ∴OD=OE 证明直线与圆相切,但 ∵OD为⊙O的半径 无切点时,往往过圆心 ∴⊙O与AC相切 作切线的垂线,再证明 d=r即可 (与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的

切线。)

练习1:已知:直线AB经过⊙O上的

点C,并且OA=OB,CA=CB. 求证:直线AB是⊙O的切线。 分析: 欲证AB是⊙O的 切线,由于AB过圆上点 C,若连结OC,则AB过半 径OC的外端,只需证明 OC⊥AB . O A C B

已知:直线AB经过⊙O上的 点C,并且OA=OB,CA=CB. 求证:直线AB是⊙O的切线。 证明:如图,连结OC. ∵ OA=OB,CA=CB ∴ OC是等腰△OAB 底边BC上的中线 ∴ OC⊥AB 又AB过半径OC的外端 ∴ AB是⊙O的切线

O A C B

课本P52课内练习1.2及P51做一做

1、如图,已知点Q在⊙O上。根据下列 条件,能否判定直线PQ和⊙O相切? ⑴OQ=6,OP=10,PQ=8 ∵OQ2+OP2=62+82=102=OP2 ∴∠PQO=90°∴OQ⊥PQ ∴直线PQ和⊙O相切 O ⑵∠O=67.3°,∠P=22°42′ ∵∠PQO=180 °-67°18′-22°42 =90°∴OQ⊥PQ ∴直线PQ和⊙O相切
Q

P

2.如图OP是⊙O的半径,∠POT=60° OT交⊙O于点S。 (1)过点P作⊙O的切线; (2)过点P的切线交OT于点Q,判断点S 是不是线段OQ的中点,并说明理由。 解:(1)如图,QP是⊙O的切线 T (2)连结SP Q ∵QP是⊙O的切线,OP是半径 ∴∠OPQ=90° ∵∠POT=60° S ∴ ∠OQP=30° ┏ 1 P O ∴OS=OP= QO 2 ∴点S是线段OQ的中点

例 3.如图台风中心P(100,200) 沿北偏东 因为台风圈在两平行线し し 之间移动 ,点A, 1 2 30 °方向移动し ,受台风影响区域的半径为 200km. D落在切线し 之间 , 所以受到这次台风的影响 ; 1 2 那么下列城市 A(200,380),B(600,480), 而B,C不在切线し 1し2之间,所以不受到这次台 C(550,300),D(370 ,540)中,哪些受到这次台 风的影响。 风的影响,哪些不受到这次台风的影响? 解:如图在坐标系中 y 画出一点P(100,200) 600 し1 し2 ·D 为圆心,以200半径的 500 ·B ⊙P,再在点P处画出 400 ·A 北偏东30°方向的方 H ·C 300 30° 向线,作垂直于方向线 · P 200 的⊙P的直径HK,分别 100 K x 过点H,K作⊙O的切线 0 100 200 300 400 500 600 700 し1し2,则し1∥し2 .

想一想
过一点如何作圆的切线


1.过圆内一点作圆的切线 · A 答.过圆内一点不能做圆的切线. 2.过圆上一点作圆的切线. 已知⊙O上有一点A,过点A作出⊙O的切线. 作法:连结OA。 过点A作直线し⊥OA

· O

答:过圆上一点能作圆的一条切线.

3.过圆外一点能作圆的几条切线?
作法: (1)连接OP; (2)以OP为直径画圆 交⊙O于点A,B. (3)作直线PA、PB 则直线PA,PB为所求的切线.
A


O



P

B

答:能作圆的两条切线;且交点到切点的距离 相等.

探究活动:请任意画一个圆,并在这个圆所
在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线?

(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?
(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线 有什么特性? (4)能作多于2条的切线吗?

小结
一、判定一条直线是圆的切线的三种方法 1.利用定义:与圆有唯一公共点的直线 是圆的切线。 2.利用数量关系:与圆心距离等于圆的 半径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。

二、证圆的切线的常用方法: 1.要证明一条直线为圆的切线,若它过 半径外端(即一点已在圆上)是已知给 出时,只需证明直线垂直于这条半径. 常作过切点的半径. 2.证明直线与圆相切,但无切点时,往往 过圆心作切线的垂线,再证明d=r即可

B

1、如图,AB是⊙O的直径, AT=AB,∠ABT=45°。

O T A

求证:AT是⊙O的切线

2、如图,Rt⊿ABC中, ∠B=90度, ∠ A的平分线交BC于 点D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D 试说明:AC是⊙D的切线
A C D

B

定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.

3、如图,AB是⊙O的直径,弦AD平分∠BAC, 过A作AC⊥DC,

求证:DC是⊙O的切线。
A O B

D C

4 如图,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC, AB⊥BC,CD=AD+BC。 求证:以CD为直径的⊙O与AB相切
证明:过点O作OE⊥AB,垂足为E。 ∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴ AD⊥AB 而OE⊥AB ∴ AD∥OE∥BC
O C D A

E
B

5.如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,弦AD∥OC. 求证:CD是⊙O的切线。

D A
1 4 23

O

.

B

6、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点 D,且DE⊥AC. (1)求证:DE是⊙O的切线.

(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙O的半径.
C D E A O B


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