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黎卡提方程的初等解法






黎卡提方程的初等解法
摘要:常微分方程有着深刻而生动的实际背景,它从生产实践与科学技术中产生,而又成
为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具,例如化学,生物学,电子技术 等等都提出大量的微分方程问题, 那么就需要探讨微分方程的求解问题, 本文介绍了著名的 黎卡提方程的, 给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件, 使得黎卡提方程在 满足一定条件下可以用初等解法求解, 并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示, 最后举 例对一些具体的黎卡提方程进行求解,及微分方程的应用举例。

关键词:黎卡提方程,变量方程,伯努利方程,线性方程

0. 引言
常微分方程是数学的一个重要分支,也是偏微分方程,变分法,控制论等数学分支的 基础。微分方程的理论和方法从 17 世纪末开始发展起来,很快成了研究自然现象的强有力 的工具。在 17~18 世纪,在力学,天文,物理和技术科学中,就已借助微分方程取得了巨大 成就。 微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。 到目前为止, 人们已经对许多 微分方程得出了求解的一般方法。例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。 求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问 题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无 法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。 意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式, 后来引起许多学者的研究。 达朗 贝 尔 在 1763 年 给 出 了 它 的 一 般 形 式 , 并 首 先 称 之 为 “ 黎 卡 提 方 程 ” ;黎卡提方程

y' =p(x)y2 ? q(x)y+r(x) 不同于线性微分方程 y' =q(x)y+r(x) 之处是还多含一项 p(x)y2 ,
但这就大大地改变了解的性质, 即初等可积性丧失了, 但在特殊情况下仍旧可以利用初等积 分法进行求解。文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果;60 年代以来, 《美国数学 月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文;近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一 内容的文章, 如[2][4]及[5]。 上述工作在一定程度上推动了探索黎卡提方程解法的发展。但 要彻底解决黎卡提方程的求解问题,仍需要进一步探讨和研究。 我们知道, 黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解, 但在一些特殊情况下却有初 等解法, 那么, 在哪些情况下有呢?本文将首先给出黎卡提方程可用初等积分法求解的一些 充分条件, 使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解, 并举例对一些具体的黎 卡提方程进行求解,最后举出它的应用举例。

1.预备知识
考虑

dy ? p(x)y 2 ? q (x)y+r(x) dx
其中函数 p( x), q( x) 和 r ( x) 是连续函数,而且 p ( x) 不恒为零。

(1.1)

方程(1.1)通常叫作黎卡提方程,这是形式上最简单的非线性方程。 为了方便说明, 我们首先给出几个有初等解法的微分方程类型及其求解的一般方法, 并 给出其通解表示。
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1.1
形如

类型 1

变量分离方程

dy ? p(x)? ? y dx

?
? ? y ? 分别为 x, y 的连续函数。

(1.2)

的方程称为变量分离方程,其中 p ( x) , 其求解方法为: 对于变量分离方程 当 ? ? y ? ? 0 ,分离变量得 两边再同时积分得 特别地,当 ? ? y ? ? y 时,方程

dy ? p(x)? ? y dx
dy ? ?y
dy

?

?

? p(x)dx

? ? ? y ? ? ? p ? x ? dx+c
dy ? p(x)y dx
的通解为

(其中 C 为任意常数)

y=Ce ?

p ? x ?dx

(1.3)

注意:在变量分离的过程的过程中,必须保证 ? ? y ? ? 0 ,但如果 ? ? y ? ? 0 有根为 y ? y0 , 则不难验证 y ? y0 也是微分方程的解,有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数,此 解不包含在其中,解题时要另外补充上,不能遗漏。 例题 解方程

dy ? y 2 cos x dx

并求满足初始条件:当 x=0 时,y=1 的特解。



将变量分离,得到

dy ? cos xdx y2

(y ? 0 )

两边积分得

? ? sin x ? c
y??
1 sin x?c
(c 为任意常数)

1 y

因而,通解为

此外,方程还有解 y=0. 为了确定所求的特解,以 x=0,y=1 代入通解中决定任意常数 c,得到 c= -1 因而,所求解为

y?

1 1? s i n x

1.2

类型 2

一阶线性方程

一阶线性方程形如
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dy ? p(x)y+q(x) dx
其中函数 P(x)和 q(x)在区间 I 上连续。 当 q(x) ? 0 时,方程(1.4)成为

(1.4)

dy ? p(x)y dx

(1.5)

方程(1.4)( q( x) ? 0 ) 叫作非齐次线性方程,而(1.5)叫作与(1.4)相应的齐次线性方程。 关于齐次线性方程(1.5)的解,即为(1.3) ,由于(1.5)是方程(1.4)的特殊情形, 因此可以设想方程 (1.4) 的通解应当是 (1.3) 的某种考虑到 q( x) 的推广; 而这种推广 (1.3) 的一个比较简单的办法就是把任意常数 C 变易为 x 的待定函数 C ( x) ,使得它满足方程 (1.4) ,亦即求方程(1.4)如下形式的解

y=C(x)e ?

p ? x ? dx

(1.6)

显然这也可以看成是对(1.4)进行未知函数的变量替换,即将求未知函数 y (x ) 换 成求 未知函数 C(x ) 。 将(1.6)代入方程(1.4)得 p ? x ?dx p ? x ?dx dC ( x ) ? p ? x ?dx e ? C ( x )p(x)e ? ? p(x)C ( x)e ? ? q( x) dx 亦即
? p ? x ? dx dC ( x) ? q (x)e ? dx

两边对 x 积分推得 (1.7)

? p ? x ?dx C ( x) ? ? q(x)e ? dx ? C1

其中 C1 为任意常数。 将(1.7)代入(1.3)即得方程(1.4)的通解 y ? e? 例题 求解方程 y '? 解 由通解公式得
p ? x ?dx ? p ? x ?dx (C1 ? ? q(x)e ? dx)

2x cos x y? 2 x ?1 x ?1
2

y?e

?

? x2 ?1dx
2?1

2x

cos x ? 2 dx [ ? 2 .e x ?1 dx ? c] x ?1
cos x in ( x2 ?1) .e dx ? c] x2 ?1

2x

? e? ln( x ) [ ? ?
2

1 [ cos xdx ? c] x ?1 ? 1 ? 2 [sin x ? c] x ?1 c sin x ? 2 ? 2 (c为任意常数) x ?1 x ?1


y( x2 ?1) ? sin x ? c.

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dy dy 有时方程关于 y, dx 不是线性的,但如果视 x 为 y 的函数;方程关于 x, dx 是线性的,于
是仍可以根据上面的方法求解之。

1.3
形如

类型 3

伯努利方程

dy +p(x)y=q(x)y n dx
的方程称为伯努利方程,其中 n 为常数,而且 n ? 0 和 1 , p(x),q(x) 是在某个区间内的已 知函数,对于这类方程,只要借助变量代换就可以化为线性方程。

dy +p(x)y=q(x)y n dx dy =q(x)y n -p(x)y 可转化为 dx dy ?n y?n =q(x)-p(x)y1? n 两边同时乘以 y 得 dx
即 伯努利方程

dz dy ? (1 ? n) y ? n dx dx dz 于是伯努利方程就转化为 ? ?(1 ? n) p( x) z ? (1 ? n)q( x) dx 这是关于未知函数 z 的一阶线性方程, 它的通解可由常数变易法求得, 最后代回原变量 y ,
然后令 z ? y
1?n

,就有

就得到伯努利方程的解,显然 y=0 也伯努利方程的解。 例题 求解方程

dy 1 y ? (e ? 3 x ) dx x 2
y

解 做变换 u ? e ,则方程可化为
?1

du 3u u 2 ? ? dx x x 2
dz 3 1 ?? z? 2 dx x x

这是 n=2 的伯努利方程,令在 z ? u ,代入上式,化简得 线性齐次方程 的通解为

dz 3 ? z?0 dx x c z? 3 x

c( x) 设 z ? 3 ,代入线性非齐次方程,得 x
因此,线性非齐次方程的通解为

x2 c( x) ? c ? 2
c 1 ? 3 x 2x

z?

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代入原变量,得原方程通解

x3 e ? 1 c ? x2 2
y



? ? ? x3 ? y ? ln ? 1 ? ? c ? x2 ? ? 2 ?

结构示意图 黎卡提方程 dy =p(x)y 2 ? q (x)y+r(x) dx

p ? x ? , q( x), r ? x ? 任意两个同时为0
变量分离方程
dy ? p(x)? ? y dx

p ? x? ? 0

r ? x? ? 0

一阶线性方程
dy ? p(x)y+q(x) dx

伯努利方程
dy =p(x)y+q(x)y n (n ? 0和1) dx

?

q ? x? ? 0

n?0

2. 黎卡提方程可积的充分条件
在这一部分中, 将给出黎卡提方程可积的一些充分条件, 使得黎卡提方程在满足一定条 件下可以用初等解法求解。

定理 2.1[3] 如果已知方程(1.1)的一个特解,则方程(1.1)可用初等积分法求得通
解。 证 设方程(1.1) 的一个特解为 y ? ? ? x ? , 对方程(1.1)作变换 y ? u ? ? ? x ? , 代入方 程 (1.1)得到

du d? ? ? p( x)[u 2 ? 2? ? x ? u ? ? 2 ? x ?] ? q( x)[u ? ? ? x ?] ? r ( x) dx dx

(2.1)

由于 y ? ? ? x ? 是方程(1.1)的解,则在(2.1)中消去与之相关的项以后,可得
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du ? [2 p( x)? ? x ? ? q( x)]u ? p( x)u 2 dx

这是一个伯努利方程,由前面的讨论知此方程可以用积

分法求出其通解。

定理 2.2

当 p( x), q( x) , r ( x ) 都是常数时,方程有初等解法(显然方程可化为变

量分离方程,于是有初等解法) 。

定理 2.3
等解法)

当 r(x) ? 0 时,方程有初等解法。 (此时方程为伯努利方程,于是有初

定理

2.4 若 p(x) ? 1, r ( x) ? q' ( x) ? 0 ,方程有初等解法。

证 由已知条件,黎卡提方程(1.1)可化为 y ' ? y 2 ? qy ? q' , 则 令

( y ? q)' ? y 2 ? qy
z ? y ? q ,则 y ? z ? q

于是有 z ' ? ( z ? q) z ? z 2 ? qz 即

dz ? q ( x) z ? z 2 为伯努利方程,于是可积。 dx 定理 2.5 设黎卡提方程形如 dy ? ay 2 ? bx m dx

(2.2)

其 中

a, b, m 都 是 常 数 , 且 设 a ? 0 , 又 设

x ?0 和 y ?0 ,则 当

m ? 0, ?2,

?4k ?4k , (k ? 1, 2......) 时方程可通过适当的变换化为变量分离的方程,即 2k ? 1 2k ? 1

此方程能用初等积分法求解。 证 不妨设 a ? 1 (否则作自变量变换 x1 ? ax 即可) ,因此代入方程 (2.2),考虑方程

dy ? ay 2 ? bx m dx
当 m ? 0 时,(2.3)是一个变量分离的方程, dy ? b ? y 2 dx 当 m ? ?2 时 , 作 变 换 z ? xy , 其 中 z
dz b ? z ? z 2 这也是一个变量分离的方程; ? dx x

(2.3)

是 新 的 未 知 函 数 , 然 后 代 入 (2.3) 得 到

当 m?

?4 k 2k ? 1

时,作变换

x= ? m?1 , y=

1

b 1 m ?1?

其中 ? 和 ? 分别为新的自变量和未知函数,则(2.3)变为

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d? b + ?2 = ?n d? (m ? 1) 2

(2.4)

?4 k 1 2 ,再作变换 ? ? ,? ? t ? zt 2k ? 1 t 其中 t 和 z 分别为新的自变量和未知函数,则(2.4)变为
其中 n ?

dz b ? z2 ? tl 2 dt (m ? 1)
其中 l ? ?4(k ? 1) 2( k ? 1) ? 1

(2.5)

方程(2.5 )与(2.3)在形式上一样,只是右端自变量的指数从 m 变为 l,比较 m 与 l 对 k 的依赖关系不难看出, 只要将上述变换的过程重复 k 次, 就能把方程(2.3)化为的情形; 当m ?

?4 k 时,(2.2)就是(2.4)的类型,因此可以把它化为微分方程(2.5)的形式, 2k ? 1
若黎卡提方程形如

从而 化归到 m = 0 的情形。

定理 2.6

dy 1 b ? ay 2 ? y ? 2 ,则方程可积。 dx x x

证 令 z =xy ,则 y ?

z ,代入原方程得 x

1 dz z az 2 lz b ? ? ? 2? 2 x dx x 2 x 2 x x 1 dz ?az 2 ? (l ? 1) z ? b ? x dx x2

整理得



dz dx ? ?az ? (l ? 1) z ? b x
2

易见此方程可用变量分离法求解,然后根据 y ?

z 求解。 x

3. 一些具体的黎卡提方程的求解
例1 求解方程 ( x ln x ? 1) y ? 2 xy ? (2 x ln x ? x) y ?
2 ' 2

1 x

解 将方程改写为

dy ? dx

2 xy 2 ? (2 x ln x ? x) y ? ( x 2 ln x ? 1)

1 x

这是黎卡提方程,观察出 y1 ? ln x 是它的一个解,于是作变换 代入方程,得

y ? z ? ln x

dz 2x 2 x ln x ? x ? 2 z2 ? 2 z dx x ln x ? 1 x ln x ? 1
时 ,再作变换 u ? z
?1

这是一个伯努利方程,它有解 z ? 0. 当 z ? 0

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代入方程即得

du 2 x ln x ? x 2x ?? 2 u? 2 dx x ln x ? 1 x ln x ? 1

解线性方程,得

u?e
u?

?

? x2 ln x ?1 dx

2 x ln x ? x

[c ? ?

2x (x 2 ln x ? 1)dx] x ln x ? 1
2

整理得

1 (c ? x 2 ) x ln x ? 1
2

代回原变量,得原方程得解为 解方程 y ? y ?
' 2

y ? ln x及y ? ln x ?

x 2 ln x ? 1 c ? x2

例2

y 1 ? x x2 1 1 1 ( y ? ) ' ? y( y ? ) 令 u ? y ? x x x

解 易知满足定理 1.4 的条件,于是方程可化为 则 u ? u (u ? ) ? u ?
' 2

1 x

再令 z ?

1 u

u 为伯努利方程, x 1 dz 1 1 ? ? 则 ? 2 z dx z 2 zx
于是可得通解为
dx ? dx z ? e? x (c ? ? e ? x dx) ? x(c ? ln | x |) 1 1

dz z ? ?1 即 dx x
例3

求解微分方程

dy ? ( x ? 1) y 2 ? (1 ? 2 x) y ? x dx du ? ( x ? 1)(1 ? u ) 2 ? (1 ? 2 x)(1 ? u ) ? x 此方程 dx

解 这是黎卡提方程,由观察法不难看出 y =1 是方程的一个特解,则可用定理 1.1 的 方法 令 y=1+u 是方程的一个特解,代入方程得 是伯努利方程, 令 z?

1 u



dz ? z ? ( x ? 1) dx
dx ? dx z ? e? [?? ( x ? 1)e ? dx ? c]

代入方程可得

? ex [c ? xe? x ] ? cex ? c
所以

1 ? ce x ? x u

从而原方程通解为

1 ? ce x ? x y ?1

例 4 求解方程 解

y ' ? y 2 ? (1 ? x2 ) y ? 2 x

这是利卡提方程,观察出 y1 ? 1 ? x2 是它的一个解,于是坐变换

y ? z ? 1 ? x2
代入原方程,得到

dz ? z 2 ? (1 ? x 2 ) z dx
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这是一个伯努利方程,在做变换 代入上述方程,即得

u ? z ?1

du ? ?(1 ? x 2 )u ? 1 dx
? (1? x dx ) ? (1? x u?e ? c ? ? e? ? ?
2 2

解线性方程,得到

) dx

dx ? ? ?

整理得

u?e

? x?

x3 3

x ? ? x ? 3 dx ? c ? e ? ? ? ? ? ? ?
3

代回原变量,得原方程解为

y ? 1 ? x 2 及y ? 1 ? x 2 ?

e

x?

x3 3 x3 3

c? ?e

x?

dx

4.应用实例
在动力学中的应用
例: 一质量为 m 的物体, 在在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体运动的规律。 解: (一)模型建立: 取物体下落的那条铅直线为 ox 轴,且设当 t=0 时,x=0,v=

dx =0.由于物体下落时,受到 dt

重力与阻力的作用,已知重力大小为 mg,方向与运动方向一致,为正;阻力大小为 kv(k 为比例常数) ,方向与运动方向相反,为负。故运动所受净力为 F=mg-kv

根据牛顿第二定律,列出微分方程及初始条件是

? dv ?m ? mg ? kv ? dt ? ?v |t ?0 ? 0

(二) 模型求解 将上述方程变量分离,得

mdv ? dt mg ? kv

积分得

?

x

0

x mdv ? ? dt mg ? kv 0



?

m kv ln(1 ? )?t k mg

解出 v,得

k ? t mg m v? (1 ? e ) k

? ??? 时,v ?? 这就是落体运动速度 v 与时间 t 的函数关系式。 由此看出, 当 t ??

mg , k

这个速度称为落体运动的极限速度。这表明,在经过适当长时间后,落体运动接近于等速运
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动。 又因为 v ?

dx , 得 dt

k ? t dx mg ? (1 ? e m ) dt k k ? t mg (1 ? e m ) 0 k t

注意到,当=0 时,x=0,故积分得
k t mg m2g ? m x? t ? 2 (e ? 1) k k

?

x

0

dx ? ?



这就是落体运动中,位移 x 与时间 t 的函数关系。

5. 结论
虽然黎卡提方程在大多数情况下不能初等积分法求解,但在比如本文给出的一些充分 条 件下,黎卡提方程可以用初等解法求解。 参考文献 [1]陈向华 白晓东 . 常微分方程.内蒙古大学出版社.2002 [2] E .卡姆克.常微分方程手册. 北京: 科学出版社, 1980 . [3] GM Murphy . Ordinary Differential Equations and Their Solutions . New York:D Van Nastrand , 1960 . [4] 丁同仁,李承治. 北京: 高等教育出版社, 1991 . [5] 李天林. 黎卡提方程可积的一个充分条件. 数学学报, 1991 (5 ). 40~41 . [5] 程永芳.谈谈黎卡提方程的可积条件.数学学报, 1993 (10) . 31~33 . [6] ] 李 鸿 祥 . 常 微 分 方 程 的 一 些 新 的 可 积 类 型 . 数 学 的 实 践 与 认 识 , 1980 (1). 46~51 .

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