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1.2 实数的大小比较及运算


1.2 实数的大小比较及运算
●知识网络
实数大小的比较 加法运算 减法运算 乘法运算 除法运算 乘方运算 开方运算 混合运算

②乘方运算的符号法则 正数的任何次幂都是 ,负数的奇次幂 是 , 负数的偶次幂是 . (8)开方运算 ①开平方的定义: . ②开立方的定义: . 注意:负数不能开平方,任何数都能开立方. (9)两个重要的计算公式 ①a ?
0

实数的运算

?a ? 0?

②a

?p

?

?a ? 0?

●考点解读
知识与技能目标 知识要点 . 左边的数 实数的大小比较 实数的运算 用计算器求平方根和立方根 用运算律简化运算 √ √ √ 了 解 理 解 掌 握 灵活 运用 √

●要点梳理

1.比较实数大小的方法 (1)正数 零,零 负数. (2)两个负数比较大小,绝对值大的 (3)利用数轴比较大小:数轴上右边的数 (4)求差法比较大小: 若 a ? b >0,则 a b 若 a ? b =0,则 a b 若 a ? b <0,则 a b 2.实数的运算 (1) 加法法则 ① ② ③ ④ (2)加法运算率 ① ② (3)减法法则 (4)乘法法则 ① ② ③ (5)乘法运算率 ① ② ③ (6)除法法则

●典例精析
. . . . . . . . . . . . . . 【例 1】 (2010.金华)如图,若 A 是实数 a 在数轴上对应 的点, 则关于 a, a, 的大小关系表示正确的是 - 1 ( )
A 0 1

A.a<1<-a B.a<-a<1 C.1<-a<a D.-a<a<1 解析:将 a, a,1 在数轴上把对应点位置找出来,就可以 - 比较大小.应选 A. 【例 2】若 0< a <1,则 a, a ,
2

1 的大小关系是 a 1 算出 2

解析:本题为填空题,可以用特殊值法解决.取 a ?

1 1 2 就可以知道大小关系: a < a < . a a 【例 3】 (2010.巴中)计算: 1 18 ? ( 2 ? 1)0 ? 2sin 45? ? ) ( ?1 4 a, a 2 ,
解:原式= 3 2 ? 1 ? 2 ?

2 ? 4 ? 2 2 ?5 2

(7)乘方运算 ①乘方的意义:

. ,n是 它的结果叫 .

an 中 a 是

点评:在考查实数的计算题中,往往加入特殊角的三角函 数值、一个数的特殊次幂和绝对值等内容,使题目涉及 到的内容更丰富. 【例 4】 (2010.中山)阅读下列材料:

1 1 ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? 0 ? 1 ? 2) , 3 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3) , 3 1 3 ? 4 ? (3 ? 4 ? 5 ? 2 ? 3 ? 4) , 3
由以上三个等式相加,可得

4. (2010.毕节)有一人患了流感,经过两轮传染后共有 100 人患了流感,那么每轮传染中,平均一个人传染 的人数为 ( ) A.8 人 B.9 人 C.10 人 D.11 人 5. (2010.成都)x 表示
3





1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? 4 ? 5 ? 20. 3
读完以上材料,请你计算下列各题: (1) 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 10 ?11 (写出过程) ; (2) 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) = ;

(A) 3x (B) x ? x ? x (C) x ? x ? x (D) x ? 3 6. (2010.荆州)在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的 直径是 5×10 ?5 cm., 2 ? 10 个这样的细胞排成的细胞
3

链的长是 A. 10 cm
?2 ?1 ?3

( B. 10 cm C. 10 cm D.10 cm
?4



(3) ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 7 ? 8 ? 9 = . 1 解: (1) 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4?10 ?11

1 1 (1 ? 2 ? 3 ? 0 ? 1 ? 2) + (2 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3) +? 3 3 1 1 + (10 ? 11 ? 12 ? 9 ? 10 ? 11) = ? 10 ? 11 ? 12 =440 3 3 1 (2) n(n ? 1)( n ? 2) 3 (3) 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 7 ? 8 ? 9 1 = (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3) + 4 1 (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4) 4 1 +?+ (7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9) 4 1 = ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 =1260 4
= 点评:本题主要考查学生从已知式子中获取信息的能力.

7. (2010.三明)如果□ ? (? ) ? 1, 则□内应填的实数 是 A. ? ( )

3 2

3 2

B. ?

2 3

C.

3 2

D.

2 3

二、填空题: 8. (2010.晋江)计算: 3
?2

? ______.

●能力训练 A 基础巩固
一、选择题: 0 1. (2010.盐城)2010 的值是 A.2010 B.0
2009

9. (2010.无锡)一种商品原来的销售利润率是 47%.现 在由于进价提高了 5%,而售价没变,所以该商品的销 售利润率变成了 . 10. (2009.山西)比较大小-2 -3 1 -1 2 0 11. (2010.滨州)计算(-2) ·(-1) -( ) = . 3 12. (2010.铜仁)定义运算“@”的运算法则为:x@y=xy -1,则(2@3)@4=__ __. 三、解答题: 13.计算 ⑴. (2010.眉山)计算:

1 ( ) ?1? ( 5 ? 2) 0 ? 18 ? (? 2) 2? 2 3
( )

C1
? ?? 2?
2010

D.-1 的结果是( ) (2). (2010.广安)计算:

?1? 2. (2010.威海)计算 10 ? ? ? ?2?

A.-2 B.-1 C.2 D .3 3. (2010.济南)某市 2009 年元旦的最高气温为 2℃,最 低气温为-8℃, 那么这天的最高气温比最低气温高 ( ) A.-10℃ B.-6℃ C.6℃ D.10℃

1 1 | ? | ? 9 ? (? ? 4)0 ? sin 300 ? . 2 2 ?1

14.先把下列各数化简: ? ? 5 ,??? 3?,?0.04 的倒数,0 的

B
2 2010 的末位数字是
1 2 3 4

能力提升

5 6 7 8

17. (2010.深圳)观察下列算式,用你所发现的规律得出 )

5 5 相反数, ?? 1? ,比-2 大 的数,然后将他们在数轴上表 2
示出来,再用“<”连接起来.

2 =2, =4, =8, =16, =32, =64, =128, =256, 2 2 2 2 2 2 2 ? A.2 B.4 C.6 D.8 18.(2010.泰州)已知 P ?

7 8 m ? 1, Q ? m 2 ? m (m 15 15
( ) C. P ? Q D.不能确定

为任意实数) ,则 P、Q 的大小关系为 1 -1 15. (2010.内江)已知 a=( ) ,b=2cos45°+1, 3 A. P ? Q B. P ? Q

c=(2010-π ) ,d =|1- 2|. (1)请化简这四个数; (2) 根据化简结果, 列式表示这四个数中 “有理数的和” 与“无理数的积”的差,然后计算结果.

0

19. (2010.钦州)根据如图所示的计算程序,若输入的值 x =-1,则输出的值 y =_ . x 为正数 x 为负数 y=x -5 y=x2 +1
输出 y

输入 x

20. (2010.荷泽)刘谦的魔术表演风靡全国,小明也 学起了刘谦发明了一个魔术盒,当任意实数对( a ,b ) 进入其中时, 会得到一个新的实数: +b-1,例如把 a (3, 2 -2)放入其中,就会得到 3 +(-2)-1=6.现将实 数对(-2,-3)放入其中,得到实数是 . 21. (2010.巴中)符号“f”表示一种运算,它对一
2

16. (2010.济宁)观察下面的变形规律:

些数的运算结果如下: (1)f(1)=0,f(2) = 1,f(3)=2,f(4)= 3,?? (2) f 1 ? 2, f 1 ? 3, f 1 ? 4, f 1 ? 5 ??
( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5

1 1 1 1 1 1 1 1 =1- ; = - ; = - ; ?? 1? 2 2 2? 3 2 3 3? 4 3 4
解答下面的问题: (1)若 n 为正整数,请你猜想

利用以上规律计算: f
(

1 ) 2010

? f(2010) ?

22.(2010.常德)如图,一个数表有 7 行 7 列,设 aij 表 ; (1)

1 = n( n ? 1)
(2)证明你猜想的结论; (3)求和:

1 1 ? n n ?1

示 第

i

行 第

j

列 上 的 数 ( 其 中

i=1,2,3,?,7,j=1,2,3,?,7). 例如: 5 行第 3 列上 第 的数 a53 ? 7 . 则(1) (a23 ? a22 ) ? (a52 ? a53 ) = ;

1 1 1 1 + + +?+ . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 2009 ? 2010

(2)此数表中的四个数 anp , ank , amp , amk 满足

(anp ? ank ) ? (amk ? amp ) =
1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7

.


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