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www.133159.com:高中数学第一章三角函数12任意角的三角函数121任意角的三角函数教案苏教版必修4(数学教案)

1.2.1 任意角的三角函数 整体设计 教学分析 学生已经学过锐角三角函数, 它是用直角三角形边长的比来刻画的. 锐角三角函数的引 入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与 “解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三 角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单 的周期变化规律,解决简单的实际问题. 本节以锐角三角函数为引子, 利用单位圆上点的坐标定义三角函数. 由于三角函数与单 位圆之间的这种紧密的内部联系, 使得我们在讨论三角函数的问题时, 对于研究哪些问题以 及用什么方法研究这些问题等, 都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发. 三角函数的 研究中,数形结合思想起着非常重要的作用. 利用信息技术, 可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、 单位圆中的三角函数 线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来,所以信息技术可以帮助 学生更好地理解三角函数的本质;激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探 索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教 学情境. 三维目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变 量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正 弦、余弦、正切函数在各象限内的符号. 2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 α 的正弦、余弦、正切函数值表示出 来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来. 3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 重点难点 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义. 教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号的掌握;利用与单 位圆有关的有向线段,将任意角 α 的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示. 1 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为 180°,那么 sin200°的值还是三角形中 200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推 广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义, 然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择. 推进新课 新知探究 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数的定义. 角 α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),则角 α 的三 角函数定义为: 三角函数 sinα cosα tanα 定义 y r x r y x 定义域 R R π {α |α ≠kπ + ,k∈Z} 2 2.各象限角的三角函数值的符号如下图所示. 图1 三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ两切,Ⅳ余弦. 教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合 2 与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所 在的平面上建立适当的坐标系,画出角 α 的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示 锐角三角函数.如图 2.设锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它 的终边在第一象限.在 α 的终边上任取一点 P(x,y),它与原点的距离 r= x +y >0.过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则线段 OM 的长度为 x,线段 MP 的长度为 y. 2 2 图2 根据初中学过的三角函数定义,我们有 MP y OM x MP y sinα = = ,cosα = = ,tanα = = . OP r OP r OM x 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢? 教师先让学生们相互讨论, 并让他们动手画出图形, 看看从图形中是否能找出某种关系 来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比 值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识, 对于确定的角 α ,这三个比值不会随点 P 在 α 的终边上的位置的改变而改变.也就是说, y x π 对于确定的角 α , 比值 和 都惟一确定, 故正弦、 余弦都是角 α 的函数. 当 α = +kπ (k∈Z) r r 2 π 时, 角 α 的终边在 y 轴上, 故有 x=0, 这时 tanα 无意义. 除此之外, 对于确定的角 α (α ≠ 2 y +kπ ,k∈Z),比值 也是惟一确定的,故正切也是角 α 的函数.sinα 、cosα 、tanα 分 x 别叫做角 α 的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数 (trigonometric function). 由定义可知,正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号,如图 3 所示. 图3 3 与学生一起讨论得到以上结论后, 教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量 是什么, 对应关系有什么特点, 函数值是什么. 特别注意 α 既表示一个角, 又是一个实数(弧 度数):“它的终边与单位圆交于点 P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看 成是自变量为实数的函数.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是 以角为自变量,以比值为函数值的函数. (2)sinα 不是 sin 与 α 的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自 变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 研究函数我们首先要考虑它的定义域, 教师要注意引导学生从定义出发, 利用坐标平面 y 内点的坐标的特征得定义域. 对于正弦函数 sinα = , 因为 y 恒有意义, 即 α 取任意实数, r y 恒有意义,也就是说 sinα 恒有意义,所以正弦函数的定义域是 R;类似地可写出余弦函 y y 数的定义域;对于正切函数 ta

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