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江苏省南通第一中学2008—2009学年度第一学期阶段测试一高三数学(理 科)


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江苏省南通第一中学 2008—2009 学年度第一学期阶段测试一 高
一,填空题 1. 函数 y=x2-3x-4 的零点是
3 2





.



2. 命题"对任意的 x ∈ R, x x + 1≤0 "的否定是



.

3. 已知集合 A = x x a ≤ 1 , B = x x 2 5 x + 4 ≥ 0 ,若 A ∩ B = ,则实数 a 的 取值范围是 ▲ .

{

}

{

}

4. 设 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=
2

1 ,则当 x<0 时,f(x)= x
▲ .



.

5. 函数 y = log 1 ( x 3 x + 2) 的增区间是
2

6. 已知函数 y = a x + 2 2( a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点 A(其坐标与 a 无关),则定 点 A 的坐标为 ▲ .

7. 已知函数 y= 1 x +

x + 3 的最大值为 M,最小值为 m,则

m 的值为 M



.

8. 函数 f(x)由以下伪代码确定: Read x If x≤ 0 Then

f ( x) ← 4x Else f ( x) ← 2 x End If Print f ( x)

根据以上算法,可求得 f (3) + f (2) 的值为
9. 已知函数 f ( x ) = 4 sin( 2 x



.

π
3

π π ) + 1 ,给定条件 p : ≤ x ≤ ,条件 q :
4 2
▲ .

2 < f ( x) m < 2 ,若 p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围为
10.给出幂函数①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)= x ;⑤f(x)=

1 . x
▲ .

其中满足条件 f (

x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )> (x1>x2>0)的函数的序号是 2 2
2

11.已知 t 为常数,函数 y = x 2 x t 在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t= ▲ . 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对于任意 x∈R,都有 f(x+5)

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=-f(x),若 f(-3)=1,则 f(2008)= 13.若函数 f ( x ) = ▲ .
2

2x

2 ax a

1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围 ▲ .

14.已知表中的对数值有且只有两个是错误的:

x lgx

1.5 3a-b+c

3 2a-b

5 a+c

6 1+a-b-c

7 2(a+c)

8 3(1-a-c)

9 2(2a-b)

14 1-a+2b

请你指出这两个错误



.(答案写成如 lg20≠a+b-c 的形式)

二,解答题 15.集合 A={1,3,a},B={1,a2},问是否存在这样的实数 a,使得 B A, 且 A∩B={1,a}?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,说明理由.

2 16.已知关于 x 的二次函数 f ( x ) = x + (2t - 1) x + 1 - 2t .

(Ⅰ)求证:对于任意 t R ,方程 f ( x ) = 1 必有实数根; (Ⅱ)若
1 2 < t< 3 4

,求证:方程 f ( x ) = 0 在区间 (- 1, 0)及(0, ) 上各有一个实数根.
2

1

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17.已知函数 f ( x ) = x +
2

a ( x ≠ 0, a ∈ R ) , x

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数,求实数 a 的取值范围.

18.某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体(看 成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下 经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已 知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该


y 3m O 10m
台 支 柱

x

2 运动员在空中的最高处距水面 10 米,入水处距 3
池边的距离为 4 米,运动员在距水面高度为 5 米 以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水 姿势,否则就会出现失误. (Ⅰ)求这条抛物线的解析式;

1m

水面

(Ⅱ)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(Ⅰ)中的抛物线,且运动员

3 在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3 米,问此次跳水会不会失误? 5
并通过计算说明理由.

19.已知函数 f ( x ) 在 R 上有定义,对任何实数 a > 0 和任何实数 x , 都有 f ( ax ) = af ( x ) (Ⅰ)证明: f ( 0 ) = 0 ; (Ⅱ)证明: f ( x ) =

kx, x ≥ 0; 其中 k 和 h 均为常数. hx, x < 0.

20.设关于 x 的方程 x mx 1 = 0 有两个实根 α , β ,且 α < β .
2

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定义函数 f ( x ) =

2x m . x2 + 1

(Ⅰ)求 αf (α) + β f (β) 的值; (Ⅱ)判断 f ( x ) 在区间 (α, β) 上的单调性,并加以证明; (Ⅲ)若 λ , 为正实数,证明不等式: | f (

λα + β α + λβ ) f ( ) |< | α β | . λ+ λ+

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江苏省南通第一中学 2008—2009 学年度第一学期阶段测试一
题 线


一.填空题 1. 5. 2. 6. 10.






3. 7. 11. 14.




4. 8. 12.

考位号

不 内 线

要 装 订 线 装 内 不 要 答 题 装 订 订



9. 13. 三,解答题 15.

班级

姓名

考试号

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16.

17.

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18.

19.

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20.

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江苏省南通第一中学 2008—2009 学年度第一学期阶段测试一 数学参考答案与评分建议 数学参考答案与评分建议
一,填空题 1. 函数 y=x2-3x-4 的零点是
3 2



.答案:-1 和 4
3 2

2. 命题"对任意的 x ∈ R, x x + 1≤0 "的否定是 ▲ .存在 x ∈ R, x x + 1 > 0 3. 已知集合 A = x x a ≤ 1 , B = x x 2 5 x + 4 ≥ 0 ,若 A ∩ B = ,则实数 a 的 取值范围是 ▲ .(2,3)

{

}

{

}

4. 设 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=
2

1 ,则当 x<0 时,f(x)= x
▲ . (∞,1)



.

1 x

5. 函数 y = log 1 ( x 3 x + 2) 的增区间是
2

6. 已知函数 y = a 点 A 的坐标为

x+2

2(a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点 A(其坐标与 a 无关),则定
▲ .(―2,―1)

7. 已知函数 y= 1 x +

x + 3 的最大值为 M,最小值为 m,则

m 2 的值为 ▲ . M 2

8. 函数 f(x)由以下伪代码确定: Read x If x≤ 0 Then f ( x) ← 4x Else f ( x) ← 2 x End If Print f ( x) 根据以上算法,可求得 f (3) + f (2) 的值为
9. 已知函数 f ( x ) = 4 sin( 2 x



.

π
3

π π ) + 1 ,给定条件 p : ≤ x ≤ ,条件 q :
4 2

2 < f ( x) m < 2 ,若 p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围为 ▲ . (3,5)
10.给出幂函数①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)= x ;⑤f(x)=

1 . x
▲ .④ ▲ . 1

其中满足条件 f (

x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )> (x1>x2>0)的函数的序号是 2 2
2

11. 已知 t 为常数, 函数 y = x 2 x t 在区间[0, 上的最大值为 2, t= 3] 则 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对于任意 x∈R,都有 f(x+5)

=-f(x),若 f(-3)=1,则 f(2008)=



.1

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13.若函数 f ( x ) =

2x

2

2 ax a

1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围
5 6 1+a-b-c 7 2(a+c) 8 3(1-a-c)



.[-1,0]

14.已知表中的对数值有且只有两个是错误的: x lgx 1.5 3a-b+c 3 2a-b a+c 9 2(2a-b) 14 1-a+2b

请你指出这两个错误 ▲ .(答案写成如 lg20≠a+b-c 的形式) lg1.5≠3a-b+c ,lg7≠2(a+c) 二,解答题 15.集合 A={1,3,a},B={1,a2},问是否存在这样的实数 a,使得 B A, 且 A∩B={1,a}?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,说明理由. 解:由 A={1,3,a},B={1,a2},B A,得 a2=3.或 a2=a. 当 a2=3 时, a = ± 3 ,此时 A∩B≠{1,a}; 当 a2=a 时,a=0 或 a=1, a=0 时,A∩B={1,0}; a=1 时,A∩B≠{1,a}. 综上所述,存在这样的实数 a=0,使得 B A,且 A∩B={1,a}. 16.已知关于 x 的二次函数 f ( x ) = x + (2t - 1) x + 1 - 2t . (Ⅰ)求证:对于任意 t R ,方程 f ( x ) = 1 必有实数根; (Ⅱ)若
1 2 < t< 3 4
2

7′ 9′ 11′ 13′ 14′

,求证:方程 f ( x ) = 0 在区间 (- 1, 0)及(0, ) 上各有一个实数根.
2

1

解:(Ⅰ)由 f (1) = 1 知 f ( x) = 1 必有实数根. 或由 D = (2t - 1) + 8t = (2t + 1) ≥ 0 得 f ( x ) = 1 必有实数根.
2 2

5′

(Ⅱ)当 < t <
2

1

3 4

时,因为 f (- 1) = 3 - 4t = 4( - t ) > 0 ,
4 1 f (0) = 1 - 2t = 2( - t ) < 0 , 2 1 1 1 3 f ( ) = + (2t - 1) + 1 - 2t = - t > 0 , 2 4 2 4

3

13′ 14′

1 所以方程 f ( x ) = 0 在区间 (- 1, 0)及(0, ) 上各有一个实数根. 2

17.已知函数 f ( x ) = x +
2

a ( x ≠ 0, a ∈ R ) x

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数,求实数 a 的取值范围.

解:(Ⅰ)当 a = 0 时, f ( x ) = x 2 为偶函数;

3′

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当 a ≠ 0 时, f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数. (2)设 x2 > x1≥2 , f ( x1 ) f ( x 2 ) = x1 +
2

6′

a a 2 x2 x1 x2
9′

=

x1 x 2 [x1 x2 (x1 + x2 ) a] , x1 x 2

由 x2 > x1≥2 得 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) > 16 , x1 x 2 < 0, x1 x 2 > 0 . 要使 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数,只需 f ( x1 ) f ( x 2 ) < 0 , 即 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) a > 0 恒成立,则 a≤16 . 另解(导数法 另解 导数法): f ' ( x ) = 2 x 导数法

12′

15′

a , x2

要使 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数,只需当 x≥2 时,

f ' ( x )≥0 恒成立,
a 3 即 2 x 2 ≥0 ,则 a≤2 x ∈ [16, +∞ ) 恒成立, x
故当 a≤16 时, f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数. (参照解法一酌情给分) 18.某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体 (看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标 系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据 为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下, 2 该运动员在空中的最高处距水面 10 米,入水处 3 10m
跳 台 支 柱

y 3m O x

1m

水面

距池边的距离为 4 米,运动员在距水面高度为 5 米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入 水姿势,否则就会出现失误. (Ⅰ)求这条抛物线的解析式; (Ⅱ)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(Ⅰ)中的抛物线,且运动员 3 在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3 米,问此次跳水会不会失误? 5 并通过计算说明理由.
分析:(Ⅰ)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标,如起跳点

O(0,0),入水点(2,-10),最高点的纵点标为

2 . 3

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(Ⅱ)求出抛物线的解析式后,要判断此次跳水会不会失误,就是要看当该运动员在距池边水平距离为 3

3 5

3 3 2 = 1 时,该运动员是不是距水面高度为 5 米. 5 5 解:(Ⅰ)在给定的直角坐标系下,设最高点为 A,入水点为 B,
米, x = 3

抛物线的解析式为 y = ax 2 + bx + c . 由题意,知 O(0,0),B(2,-10),且顶点 A 的纵坐标为

2′

2 . 3

5′

25 3 a = 6 c = 0 a = 2 2 2 4ac b 10 或 b = 2 ∴ = b = 3 3 4a c = 0 4a + 2b + c = 10 c = 0
∵抛物线对称轴在 y 轴右侧,∴ 从而 b>0,故有 a =

9′

b > 0 ,又∵抛物线开口向下,∴a<0, 2a
11′ 12′

25 10 ,b = ,c = 0 6 3 25 10 ∴抛物线的解析式为 y = x 2 + x . 6 3

19.已知函数 f ( x ) 在 R 上有定义,对任何实数 a > 0 和任何实数 x , (Ⅰ)证明: f ( 0 ) = 0 ; (Ⅱ)证明: f ( x ) = 都有 f ( ax ) = af ( x )

3 (Ⅱ)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 米时, 5 3 3 25 8 10 8 16 即 x = 3 2 = 1 时, y = × ( )2 + × = , 5 5 6 5 3 5 3 16 14 ∴此时运动员距水面的高为 10- = <5,因此,此次跳水会失误. 3 3

14′ 15′

kx, x ≥ 0; 其中 k 和 h 均为常数. hx, x < 0.
6′

证明:(Ⅰ)对任意的 a > 0 , x ∈R,均有 f ( ax ) = af ( x ) ……① 令 x = 0 ,则 f ( 0 ) = af ( 0 ) ,∵ a > 0 ,∴ f ( 0 ) = 0 . 取 k = f (1) ,则有 f ( x ) = kx 成立. (Ⅱ)当 x > 0 时,则由①得 f ( x ) = f ( x i1) = xf (1) , 10′ 14′ 16′ 当 x < 0 时,则 x > 0 ,故有 f ( x ) = f (( x )i( 1)) = ( x ) f ( 1) , 取 h = f (1) ,则有 f ( x ) = hx 成立. 又由(Ⅰ)知 f ( 0 ) = 0 ,∴ f ( x ) =

kx, x ≥ 0 成立. hx, x < 0

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20.设关于 x 的方程 x mx 1 = 0 有两个实根 α ,β ,且 α < β .定义函数 f ( x ) =
2

2x m . x2 + 1

(Ⅰ)求 αf (α) + β f (β) 的值; (Ⅱ)判断 f ( x ) 在区间 (α, β) 上的单调性,并加以证明; (Ⅲ)若 λ , 为正实数,证明不等式: | f (

λα + β α + λβ ) f ( ) |< | α β | . λ+ λ+

α + β = m (Ⅰ)解: ∵ α , β 是方程 x 2 mx 1 = 0 的两个实根,∴ . α β = 1
2α (α + β ) α β = = 1 ,………………2 分 ∴ f (α ) = 2α2 m = 2 α (α β ) α α +1 α αβ
同理 f ( β ) = 1 ,

β

∴ α f (α ) + β f ( β ) = 2 . (Ⅱ) ∵ f ( x) = 2 x m , x2 + 1 ∴ f ′( x) =

…………4 分

2( x 2 + 1) (2 x m) 2 x 2( x 2 mx 1) = , ( x 2 + 1)2 ( x 2 + 1) 2

…………6 分

当 x ∈ (α , β ) 时, x 2 mx 1 = ( x α )( x β) < 0 , 从而 f ′( x) > 0 ,∴ f ( x) 在 (α , β ) 上为增函数. (Ⅲ) ∵ λ , ∈ R+ 且 α < β ∴

…………7 分 …………8 分

λα + β (λ + )α ( β α ) λα + β α = = >0, λ+ λ+ λ+

λα + β (λ + ) β λ (α β ) λα + β β = = <0, λ+ λ+ λ+ λα + β ∴α < <β, λ+
由(Ⅱ)可知 f (α ) < f ( 同理可得 f (α ) < f (

…………11 分

λα + β ) < f (β ) , λ+
…………12 分

α + λβ ) < f (β ) . λ+

∴ f (α ) f ( β ) < f ( ∴ f(

λα + β α + λβ ) f( ) < f ( β ) f (α ) , λ+ λ+
…………14 分

λα + β α + λβ ) f ( ) < f (α ) f ( β ) . λ+ λ+ α β

又由(Ⅰ)知 f (α ) = 1 , f ( β ) = 1 , αβ = 1 ,

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β α ∴ f (α ) f ( β ) =| 1 1 |= =| α β | , α β αβ
所以 | f (

λα + β α + λβ ) f ( ) |< | α β | . λ+ λ+

…………16 分


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