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第53届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试题(全三套)


第 53 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试一
第一天 2012 年 3 月 14 日上午 8:00-12:30 1. 设 x1 , x2 , ? , xn ; y1 , y2 , ? , yn 均为模等于1 的复数,设
zi ? xyi ? yxi ? xi yi ? i ? 1, 2,? , n ? ,

其中 x ?

1 n 1 n xi , y ? ? yi . ? n i ?1 n i ?1
n

证明: ? zi ? n .
i ?1

2. 如图,三角形 ABC 三边互不相等,其内切圆与三边的切点分别为 D 、 E 、 F .设 L 为 D 关于直线 EF 的对称点, M 为 E 关于直线 FD 的对称点, N 为 F 关于 直线 DE 的对称点.直线 AL 与直线 BC 交于 P ,直线 BM 与直线 CA 交于 Q ,直线

CN 与直线 AB 交于 R .证明: P 、 Q 、 R 三点共线.
A L E Q F R N P M B D C

n 3. 设 xn ? C2 n ? n ? 1, 2,?? , 证 明 :存 在 无穷 多 对有 限集 合 A, B ? N * , 使 得

A ? B ? ? ,且

?x ?x
i? A j?B

i

? 2012 .

j

第 53 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试一
第二天 2012 年 3 月 15 日上午 8:00-12:30

4.给定平面上两个圆 ?1 , ?2 ,设 S 是满足下面条件的 ?ABC 的集合: ?ABC 内 接 于 圆 ?1 , 且 圆 ?2 是 ?ABC 的 与 边 BC 相 切 的 旁 切 圆 . 设 圆 ?2 与 直 线
BC, CA, AB 分别相切于点 D , E , F .

证明:若 S 非空,则 ?DEF 的重心是平面上的定点.

5. 设 d (n) 表示正整数 n 的正约数个数. 正整数 n 称为超级数, 如果对任意小 于 n 的正整数 m ,均有 d (m) ? d (n) . 证明:对任意给定的正整数 k ,除有限个超级数外,每个超级数都能被 k 整 除.

6. 给定整数 n ,求所有的函数 f : Z ? Z ,满足对任意整数 x, y ,均有
f ( x ? y ? f ( y)) ? f ( x) ? ny ,

其中 Z 是整数集.

第 53 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试二
第一天 2012 年 3 月 19 日 上午 8:00-12:30

1. 一个简单图中两两相邻的 t 个顶点称为一个 t 团, 与其余每个顶点都相邻 的顶点称为中心点. 给定整数 n, k , n ? 3 ,
1 n ? k ? n . 设 G 是一个有 n 个顶点的简单图, G 中不 2

存在 (k ? 1) 团, 但在 G 中任意添上一条边后就存在 (k ? 1) 团. 求 G 的中心点个数 的最小可能值. 2. 证明:存在常数 C ,具有下述性质:对任意整数 n ? 2 及 X ? {1, 2,?, n} , 若 | X |? 2 ,则存在 x, y, z, w ? X (可以相同) ,使得
0 ?| xy ? zw |? C? ?4 ,

其中 ? ?

|X| . n

3. 设 a1 ? a2 是给定的正整数.对整数 n ? 3 , an 定义为大于 an ?1 且可唯一表 示为 ai ? a j (1 ? i ? j ? n ? 1) 的最小正整数. 已知数列 {an }(n ? 1) 中仅有有限多个偶 数 . 证 明: 数 列 {an?1 ? an }(n ? 1) 是 最 终 周期 的 ,即 存 在正 整 数 T , N , 使 得
aT ? n?1 ? aT ? n ? an?1 ? an 对一切整数 n ? N 成立.

第 53 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试二
第二天 2012 年 3 月 20 日 上午 8:00-12:30

4. 对给定的整数 n ? 2 ,证明:只有有限个 n 元正整数组 (a1 , a2 ,?, an ) 同时 满足如下条件: (1) a1 ? a2 ? ? ? an ; (2) gcd (a1 , a2 ,?, an ) ? 1 ; (3) a1 ? ? gcd (ai , ai ?1 ) (约定 an ?1 ? a1 ) .
i ?1 n

其中,对整数 t ? 2 , gcd ( x1 , x2 ,?, xt ) 为正整数 x1 , x2 ,?, xt 的最大公约数. 5. 设 m, n 是两个给定的大于 1的整数, r ? s 是两个给定的正实数.对任意 不全为 0 的非负实数 ai j (i ? 1, 2, ? , m; j ? 1, 2, ? , n) ,求
r r ? n m ? ? ?s ? s ? a ?? ? ? i j ? ? j ?1 ? i ?1 ? ? f ?? 1 s s ?m n ? r ? ? ar ? ? ?? ? ? i j ? ? i ?1 j ?1 ? ? ? ? ? ? 1

的最大值. 6.给定整数 n ? 2 ,函数 f : Z ? {1, 2,?, n} 称为“好的” ,如果 f 具有下述性 质:对每个整数 k , 1 ? k ? n ? 1 ,都存在整数 j ,使得对每个整数 m,都有
f (m ? j ) ? f (m ? k ) ? f (m) (mod n ? 1) .

求“好的”函数 f 的个数. 注: Z 是整数集.

第 53 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试三

第一天 2012 年 3 月 25 日 上午 8:00 - 12:30

1. 如图,锐角 ?ABC 中, ?A ? 60? , H 为 ?ABC 的垂心,点 M、N 分别在边 AB、

AC 上,?HMB ? ?HNC ? 60? , O 为 ?HMN 的外心.点 D 与 A 在 BC 的同侧, 使得 ?DBC 为正三角形.证明:H、O、D 三点共线.(图略)
2. 证明:对给定的整数 k ? 2 ,存在 k 个互不相同的正整数 a1 , a2 ,..., ak ,使得对任意 整数 b1 , b2 ,..., bk , ai ? bi ? 2ai , i ? 1, 2,?, k ,以及任意非负整数 c1 , c2 ,..., ck , 只要

? bici ? ? bi ,就有 k ? bici ? ? bi
i ?1 i ?1

k

k

k

k

i ?1

i ?1

3.求满足下列条件的最小实数 c :对任意一个首项系数为 1 的 2012 次实系数多项式

P( x) ? x 2012 ? a2011 x 2011 ? a2010 x 2010 ? ... ? a1 x ? a0 ,
都可以将其中的一些系数乘以 ?1 , 其余的系数不变,使得新得到的多项式的每个 根 z 都满足 Im z ? c Re z ,这里 Re z 和 Im z 分别表示复数 z 的实部和虚部.

第二天 2012 年 3 月 26 日 上午 8:00 - 12:30

4.

给定整数 n ? 4 ,设 A, B ? {1, 2,?, n} , 已知对任意 a ? A, b ? B, ab ? 1 为完全

平方数,证明: min ? A , B ? ? log 2 n ,
其中 X 表示有限集合 X 的元素个数. 5. 求所有具有下述性质的整数 k ? 3 :存在整数 m, n ,满足 1 ? m ? k , 1 ? n ? k ,

(m, k ) ? (n, k ) ? 1, m ? n ? k ,且 k (m ? 1)(n ? 1) .
6. 由 2012 ? 2012 个单位方格构成的正方形棋盘的一些小方格中停有甲虫,一个小方 格中至多停有一只甲虫. 某一时刻,所有的甲虫飞起并再次全部落在这个棋盘的方 格中,每一个小方格中至多仍停有一只甲虫. 一只甲虫飞起前所在小方格的中心指 向再次落下后所在小方格的中心的向量称为该甲虫的“位移向量” ,所有甲虫的“位 移向量”之和称为“总位移向量”. 就甲虫的个数及始、末位置的所有可能情况,求“总位移向量”长度的最大值.


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