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2015届高三理科数学周测4答案


2015 届高三理科数学周测 4 答案 _______班 学号______姓名_______ 一、选择题(60 分)

1、若集合 A ? x x ? 1, x ? R ?, B ? y y ? x 2 , x ? R , 则A ? B ? ___ C

?

?

?

A : ?x ? 1 ? x ? 1?

B : ?x x ? 0?

C : ?x 0 ? x ? 1?
D ) C.{x|x>-3}

D:φ

2. 函数 f(x)= x+3+log2(6-x)的定义域是( A.{x|x>6} B.{x|-3<x<6}

D.{x|-3≤x<6}

?x+3≥0 答案:D 解析:由题意可知? ,解得-3≤x<6. ?6-x>0 3.曲线 y ? ? x A.
3

? 3x2 在点 (1, 2) 处的切线方程为( A )
B. y ? ?3x ? 5 C. y ? 3x ? 5 D.

y ? 3x ? 1

y ? 2x
A )

4、若集合 A={1,m2},集合 B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A 解析:A∩B={4}当且仅当 m2=4,即 m=± 2,而{2}?{-2,2}.

5、 在同一坐标系中画出函数 y=logax,y=ax,y=x+a 的图象,可能正确的是 ( D ) 解析:由

答案:D

指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 同时为增函数或减函数可知 C 不正确, A 选项中由直线方程可知 0<a<1 与指对数函数中 a>1 矛盾,B 选项中由直线方程 可知 a>1 与指对数函数中 0<a<1 矛盾,所以选 D. )

6、曲线 y ? ex 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D
9 A. e 2 4

B. 2e 2

C. e2

D.

e2 2

1 7、已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( )x,x>1},则 A∪B=( B 2 1 A.{y|0<y< } 2
答案:B

)

B.{y|y>0}

C.?

D.R

1

1 解析:因为函数 y=log2x 是增函数,函数 y=( )x 是减函数,所以 A=(0,+∞),B=(0, 2 1 ),从而 A∪B=(0,+∞) 2

? x 2 ? bx ? c, x ? 0 8、函数f ( x) ? ? 若f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2, 则关于x的 ?2, x ? 0 方程f ( x) ? x的解的个数为_ C ___
A:1, B:2, C:3, D:4 f(-4)=f(0)知函数对称轴为-2,则 b=4,又 f(-2)=2 的 c=2。所以 f(x)=x 等价于

x 2 ? 4 x ? 2, ( x ? 0)或2 ? x( x ? 0)得x ? ?2,?1,2所以答案是 C
9、由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 10 A. 3 B. 4 C. 16 3 D.6 C )

?y= x 解析:选 C.由? ,得其交点坐标为(4,2).因此 y= x与 y=x-2 及 y ?y=x-2 ?2 3 1 ? 4 ?4 x - x2+2x? 轴所围成的图形的面积? ?0[ x-(x-2)]dx=?0( x-x+2)dx=? ?3 2 2 ? 16 |4 0= . 3 10、 “k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的( A ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
答案:A 解析:直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交的充要条件是- 2<k< 2.选 A.

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

11、 已知函数 f(x)在定义域 R 内是减函数且 f(x)<0, 则函数 g(x)=x2f(x)的单调情 况一定是 ( C ) B.在 R 上递增 D.在(0,+∞)上递增

A.在 R 上递减 C.在(0,+∞)上递减

答案:C 解析:当 x>0 时,由题意可知 f(x)<0, f ′(x)<0, 所以 g′(x)=2xf(x)+x2f ′(x)<0,即 g(x)是减函数
2 12、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x

都有 f ( x) ? 0 ,则

f (?1) 的最小值为( f / (0)

C )

2

A. 3

B.

5 2

C.0

D.

3 2

f / ( x) ? 2ax ? b, f / (0) ? b ? 0,? f ( x) ? 0, x ? R ?b ? 2 ac ?a ? 0 ? ?? , ? ?a ? 0 2 ? ? b ? 4 ac ? 0 ? ?c ? 0 ? ? f (?1) a ? b ? c a ? c 2 ac ? ? ?1 ? ?1 ? 1?1 ? 0 / b b b f (0)

二、填空题(25 分)

13、已知函数 f(x)=ax2+2x 是奇函数,则实数 a=___0_______. 答案:0 解析:由奇函数定义有 f(-x)+f(x)=0 得 a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=

2ax2=0, 故 a=0. 14、若命题“?x∈R,使 x2+ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围为 ______________________________________
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析:f(x)=x2+ax+1 的图象与 x 轴有交点,所以 Δ=a2-4>0,化简得 a<-2 或 a>2

15、若函数f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c满足f / (1) ? 2, 则f / (?1) ? __________ __
分析 : f / (x) ? 4ax3 ? 2bx,则函数为奇函数 , 所以 f / (?1) ? ? f / (1) ? ?2

9 16、设函数f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ? a对任意实数x,f / ( x) ? m恒成立, 2 则m的最大值为__________ ___
f / ( x) ? 3x 2 ? 9 x ? 6 ? m,即3x 2 ? 9 x ? 6 - m ? 0 恒成立,所以? ? 81- 12 (6 - m) ? 0 3 3 得m ? ? ,即m的最大值为? 4 4 x ?2 -1,x>0, 17、已知函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实 2 ?-x -2x,x≤0.
数 m 的取值范围是____________. .答案:(0,1) 解析:在同一坐标系中作 y=f(x)与 y=m 的图象,如图所示,明 显 0<m<1 时,两图象有三个交点. 三、解答题(60 分) 18、已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B;
3

(2)若 B?A,求 m 的取值范围(12 分)
解析:(1)当 m=-1 时,B={x|-1≤x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥-1}. (2)若 B?A,则 m>1,即 m 的取值范围为(1,+∞)

19、已知函数 f(x)=log2(1-x)-log2(1+x), (12 分) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; ?1-x>0 解析:(1)要使函数有意义,则? ,∴-1<x<1, ?1+x>0 故函数的定义域为(-1,1) (2)∵f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.
3 2 20、 (14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0) ,当 x

? ?1 时 f ( x) 取得极

值 5,且 f (1) ? ?11 . (1)求 f ( x) 的单调区间和极小值; (2)求 x ? (?3,3) 函数的最大值与最小值(12 分) 解: (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c(a ? 0),
? f (1) ? ?11 ? 由题意得 ? f ( ?1) ? 5 ? f ?( ?1) ? 0 ? ? a ? b ? c ? ?11 ? a ? 1, ? ? ,即 ? ? a ? b ? c ? 5 ,解得 ?b ? ?3, ?3a ? 2b ? c ? 0 ? c ? ?9. ? ?

因此 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ,

f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3) .
当 x ? (??,?1) ? (3,??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (?1,3) 时, f '( x) ? 0 . 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,?1) 和 (3,??) ;单调减区间为 (?1,3) . 故函数 f ( x) 在 x ? 3 处取得极小值, f ( x)极小值 ? f (3) ? ?27 .

(2)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x 在 (?3,?1) 上递增,在 (?1,3) 上递减, 所以 f ( x)max ? f (?1) ? 5 ; f ( x)min ? f (?3) ? ?27 .
4

x-a 21、(15 分)已知函数 f(x)= ax (a>0) (1)判断并证明 y=f(x)在 x∈(0,+∞)上的单调性; (2)若存在 x0,使 f(x0)=x0,则称 x0 为函数 f(x)的不动点,现已知该函数有 且仅有一个不 动点,求 a 的值,并求出不动点 x0; (3)若 f(x)<2x 在 x∈(0,+∞)上恒成立, 求 a 的取值范围. 1 1 解析:(1)f(x)=a-x 对任意的 x1,x2∈(0,+∞)且 x1>x2 因为 x1>x2>0,所以 x1-x2>0,

x1-x2 1 1 1 1 f(x1)-f(x2)=(a - )-(a- )= x1 x2 x1x2 x1x2>0

所以 f(x1)-f(x2)>0,函数 y=f(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增. 1 令 Δ=1-4a2=0?a= (负值舍去) 2

x-a (2)令 x= ax ?ax2-x+a=0, 1 将 a= 代入 ax2-x+a=0 2

1 1 得 x2-x+ =0?x2-2x+1=0,∴x0=1 2 2 1 因为 x>0,所以 2x+x≥2 2(等号成立 ? 2 ? ∴a 的取值范围是? ,+∞?. ?4 ?

1 1 (3)因为 f(x)<2x,所以a<2x+x 当 x= 2 ) 2

1 1 2 所以a<(2x+x)min=2 2?a> 4

22、已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx+c 图象上的点 P(1,-2)处的切线方程 为 y=-3x+1. (14 分)

(1)若函数 f(x)在 x=-2 时有极值,求 f(x)的表达式; (2)函数 f(x)在区间[-2,0]单调递增,求实数 b 的取值范围. 解:f′(x)=-3x2+2ax+b, 因为函数 f(x)在 x=1 处的切线的斜率为-3, ① ②

所以 f′(1)=-3+2a+b=-3,即 2a+b=0. 由 f(1)=-1+a+b+c=-2,得 a+b+c=-1.

( 1 )函数 f ( x )在 x =- 2 有极值,所以 f ′(- 2 )=- 12 - 4a + b = 0, 由① ② ③得 a=-2,b=4,c=-3, 所以函数解析式为 f(x) =-x3-2x2+4x-3

2)由①知 f′(x)=-3x2-bx+b, 因为函数 f(x)在区间[-2,0]上单调 递增, 所以导函数 f′(x)=-3x2-bx+b≥0 对 x∈[-2,0]恒成立,

f′(-2)=-12+2b+b≥0,f′(0)=b≥0,解得 b≥4.所以实数 b 的取值范围 为[4,+∞).

5


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