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GeoGebra+数学绘图教室(2)+圆锥曲线详全文


GeoGebra 數學繪圖教室(二) 圓錐曲線 臺北縣立錦和高中

陳禾凱

在教到圓錐曲線這一章時,課本通常會介紹兩種方法來畫拋物線、橢圓、及雙曲 線,第一種是以同心圓作圖紙來描點,第二種是根據定義來畫。本文簡介利用數 學繪圖軟體 GeoGebra 的個人教學經驗,提供中學數學教師教學之參考。 一〃同心圓作圖紙 (1)抛物線的作圖紙:畫出一組同心圓及一組平行線。 先在原點畫出一點A 輸入 x= -1 (注意 GeoGebra 左邊的代數欄位會顯示 a:x=-1) 輸入指令 sequence[Line[(i,0),a],i,1,10] 可以畫出和 a 平行的直線 輸入指令 sequence[circle[A,i],i,1,10],可以畫出以A為圓心的同心圓

(2)橢圓及雙曲線的作圖紙:畫出兩組同心圓 先畫出A,B兩點 輸入指令 sequence[circle[A,i],i,1,20],可以畫出以 A 為圓心的同心圓 輸入指令 sequence[circle[B,i],i,1,20],可以畫出以 B 為圓心的同心圓 畫出以上圖形之後,滾動滑鼠上的滾輪來調整圖形的大小,再用 把圖擺

到適當的位置,點選 【檔案-輸出-繪圖區到剪貼簿】 ,然後打開Word,按 Ctrl+V 即可將所畫好的圖貼上去。在課堂上發給同學們,在同心圓紙上描點 鈎勒出圓錐曲線軌跡點。

二〃根據定義來畫 甲〃拋物線 定義: d(P,L)=d(P,F) 依據拋物線的定義作圖,點 P 到焦點 F 與到準線L 等距,i.e. d(P,L)=d(P,F)──以 y2=4x 為例,準線為 L:x+1=0,焦點 F 為(1,0) ── 繪圖步驟 1. 先畫出準線 L 及焦點 F 2. 在準線 L 上任選一點 A,和焦點 F 連起來,畫出一條線段 AF 3. 畫出線段 AF 的中垂線 M 4. 畫出和過 A 點且和準線 L 垂直的直線 N 5. 標出 M, N 兩條線的交點 P 6. 要看 P 點的軌跡可以 (1)在 P 上按滑鼠右鍵, 點選 顯示移動痕跡 (2)或是用 ,在P點及A點各點選一下

7. 以滑鼠拉動準線上的 A 點, 觀察 P 點的軌跡 由以上的作圖可知拋物線的性質 1 ○線段 AF 的中垂線是切線 2 ○ 反過來說以切線為對稱軸 焦 ,

點 F 的對稱點A在準線上

思考一下此題和拋物線的關係: 求 與 圓 C : x 2 + y 2 -8 x + 1 2 = 0 及 L: x + 2= 0 均 相 切 之 圓 心 軌 跡 為 何 ?

(-動畫教學-)

乙〃橢圓 定義 : PF 1
? PF
2

? 2a

橢圓上的點到兩焦點的距離和為定值

──以

?a ? 5 ? ? ? 1 為例 ? b ? 4 25 16 ?c ? 3 ?
x
2

y

2

即畫

PF 1 ? PF 2 ? 10

的圖形──

繪圖步驟 1. 畫出名稱為 F1,F2 的兩焦點(-3,0), (3,0) 2. 以 F1 為圓心,半徑為 2a=10 畫一圓 3. 圓周上任選一點,標示為 A 4. 連接 AF 1 , AF 2 5. 作 AF 2 的中垂線 L 6. 作 AF 1 ,L 兩線的交點,標示為 P 7. 要看 P 點的軌跡可以 (1)在 P 上按滑鼠右鍵, 點選 顯示移動痕跡 (2)或是用 ,在P點及A點各點選一下

8. 以滑鼠拉動 A 點, 觀察 P 點的軌跡
思考一下此題和橢圓的關係: 圓 C 1 : ( x+ 1 ) 2 + y 2 = 1 圓 C 2 ( x -1 ) 2 + y 2 = 8 1 若 動 圓 C 與 C1 外 切 , 與 C2 內 切 則動圓 C 之圓心的軌跡方程式

(-動畫教學-)

丙〃雙曲線 定義 :
| PF 1 ? PF 2 | ? 2 a

雙曲線上的點到兩焦點的距離差為定值

?a ? 3 ? ? ? 1 為例 ? b ? 4 即畫 | PF 1 ? PF 2 |? 6 以 9 16 ?c ? 5 ?

x

2

y

2

繪圖步驟 1. 畫出名稱為 F1,F2 的兩焦點(-5,0),(5,0) 2. 以 F1 為圓心, 半徑為 2a=6 畫一圓 3. 圓周上任選一點, 標示為 A 4. 畫出直線 AF 1 及線段 AF
2

5. 作 AF 2 的中垂線 L (線段才有中垂線) 6. 作 AF 1 及 L 兩線的交點,標示為 P 7. 要看 P 點的軌跡可以 (1)在 P 上按滑鼠右鍵, 點選 顯示移動痕跡 (2)或是用 ,在P點及A點各點選一下

8. 以滑鼠拉動 A 點, 觀察 P 點的軌跡
思考一下此題和雙曲線的關係: 圓 C 1 : ( x+ 2 ) 2 + y 2 = 1 圓 C 2 : ( x -3 ) 2 + y 2 = 4 若 動 圓 C 與 C1,C2 (1)均 內 切 (2)均 外 切

則動圓 C 之圓心的軌跡方程式 (-動畫教學-)

三、參數式繪圖

參考全任重教授網站之圖形

甲、拋物線 y=x2 之圖形 繪圖步驟 已知A為頂點 L: y=-1 為準線 1. 取準線上一點 B, 畫直線 BA 2. 過 A 作直線和 BA 垂直, 交準線 於C 3. 過 C 作直線和準線 L 垂直, 交 BA 於 D D 的軌跡即為拋物線 y=x2 乙、橢圓 繪圖步驟 大圓小圓半徑分別為 a, b A(a cosθ , a sinθ) 在大圓上 B(b cosθ , b sinθ) 在小圓上 過 A 作鉛直線, 過 B 作水平線 兩線交點為 P(a cosθ , b sinθ) P 的軌跡即為橢圓

丙、雙曲線 繪圖步驟 BF 為大圓切線交 X 軸於 F(a secθ,0) DE 為小圓切線, E 點為 (b, b tanθ) 過 F 作鉛直線, 過 E 作水平線 兩線交點為 P(a secθ , b tanθ) P 的軌跡即為雙曲線

(-動畫教學-)

四、數學題目中的圖形 甲、拋物線 <94 年指考數甲> 有一條拋物線位於坐標平面之上半面,並與 X 軸、直線 y=x-1 直線 y= -x-1 相切。下列敘述 何者正確: A.此拋物線的對稱軸必為 Y 軸。 B.若此拋物線對稱軸為 Y 軸,則其焦距為 1。 C.此拋物線的頂點必在 X 軸上。
D.有不只一條拋物線滿足此條件。

畫圖要用到拋物線的性質: 焦點F對切線的對稱點落在準線上。 先來個小小的計算: 設 F ( u , v ) 為焦點,對於三切線的對稱點分別為
( u , ? v ), ( v ? 1, u ? 1), ( ? v ? 1, ? u ? 1)

因三點共線(都在準線上)
u ?v u ?1 ? u ?1 1 1 ? 0 1

由行列式

v ?1 ? v ?1

化簡得 u 2 ? v 2 ? 1 故焦點F是落在單位圓 x 2 ? y 2 ? 1 之上 繪圖步驟 1. 畫出焦點所在的圓 x2+y2=1。 2. 在圓上任取一點,命名為 F。 3. 分別以三條切線為對稱軸,找出焦點 F 的 對稱點。 4. 這三個對稱點共線,畫出這條線來,即為 準線。 5. 有了焦點及準線,即可把拋線畫出來。

(-動畫教學-) 依據大考中心的研究結果顯示,當年的考生對此題的應答情形是慘不忍睹,究 其原因是目前的高中數學教學偏重於代數計算,對於圓錐曲線的作圖法,課本 雖有提及,但實際教學時也是匆匆帶過。若是純粹用代數方法較難解出本題, 理應結合代數計算及幾何繪圖知識,才能很快畫出符合題目條件的拋物線。

乙、橢圓 ①【Produs 性質】<93 年數乙類似題> 這是由普羅德斯(Produs 410-485 年)所提出的。 在一直線上有 P,Q,C 三點,若 P,Q 沿著一 個直角的兩個邊滑動, 則第 3 個點(即 C 點) 的軌跡是一橢圓。 特殊情形: 若 C 和 P,Q 其中之一重合,C 軌跡顯然為一 線段。 繪圖步驟 1. 設 PQ 之長為 a。 2. 以原點為圓心,a 為半徑,畫一圓。 3. 圓上任取一點 ,過此點對X軸及Y軸分別作 垂線,所得的垂足即為P,Q。 (利用矩形的對角線相等性質) 4. 設定一數值滑桿 a1。 5. 利用伸縮功能 ,a1 為伸縮比例,作出 PQ

的伸縮點C。 6. 以滑鼠拉動圓周上的點,觀察C點的軌跡

(-動畫教學-) 拉動數值滑桿可改變C點的位置,第一種是C在 PQ 之間,C為P、Q的內分點, 另一種為C在 PQ 的延長線上,C為外分點。再拉動圓周上的點,可觀察C點的 軌跡。

②Van Schooten's 軌跡問題: 在一個△ABC 中, 如 A,B 兩頂點沿著一個 固定角的兩邊滑動,則第三個頂點 C 的軌跡 是一橢圓。

繪圖步驟 1. 作OX,OY直線及在左下角任給之 ΔABC 2. 以O為圓心,AB為半徑畫圓 ? 3. 圓 ? 上任取一點D,過D作OY的平行線,交OX於E 4. 將O,D以DE為平移量平移至A’,B’,此時 A ' B ' ?
AB

5. 利用SSS作 ? A ' B ' C ' ? ? ABC 6. 移動D點則A’,B’分別在OX,OY上移動,取C’的軌跡
? ? A ' B ' C ' ? ? ABC

可將 A’B’C’標籤改為 ABC,原左下角之 ΔABC自動更名為 ΔA1B1C1 證明 1.過ΔOAB 作外接圓 ? ,令其圓心為 M。 2.過 C,M 兩點作直線 L。 3.L 和ΔOAB 的外接圓 ? 交於兩點 P,Q。 4.因線段 PQ 落在過C,M的直線L上,在ΔABC 固定的情形之下,圓內接四邊 形 APBQ 隨著圓的滾動,不改變其形狀,因此,弧 PB 的大小是固定的,故∠POB 的大小為定值,又 B 在固定的 OX 軸上移動,故P的軌跡為直線,同理可得Q 的軌跡亦為直線。 5.令直線 OP 為 L1,直線 OQ 為 L2,圓周角∠QOP 為直角。 L1,L2 為互相垂直之直線,P,Q 分別在 L1,L2 上,C 為直線 PQ 上的一點, 滿足 Produs 性質之條件。 故(1) C 和 Q 不重合,C 的軌跡為橢圓。 (2) C 和 Q 重合,C 的軌跡為線段。(線段可視為橢圓的退化情形)

(-動畫教學-) Franciscus Van Schooten(1615-1660 年)是荷蘭數學家,於 1657 年論述這個有趣的 問題。他巧妙的構建出兩條互相垂直的線,把問題轉換為 Produs 的形式,可真

令人拍案叫絕。 丙、雙曲線 1. P 點與 (1, 0), (-1, 0)的夾角為α,β, 若α+β=90°, P 點的軌跡為何種曲線 ? (摘自龍騰新天地) 繪圖步驟 因 GeoGebra 把度數的範圍定為 0°~360° 之間,若α=120°則β=90°-α=-30°,螢幕 左邊的代數區會自動改為正同界角,即 β=330°,但這不影響圖的正確性 1. 過A(1,0)適當長為半徑作一圓。 2. 圓上取一點D 3. 以 量出 AD 和X軸的夾

角,命名為 ? 。 4. 輸入β=90°-α 5. 輸入過 B(-1,0)的直線方程式 y=tan(β) (x+1) 6. 把上述兩線的交點標示為 P ,觀察P 點之軌跡。 2.設過原點的直線 L 與 x+y+1=0 及 x-y+1=0 分別交於 P,Q 兩點, 若 P,Q 之中 點為 M, 則 M 的軌跡為何種曲線? 繪圖步驟 1. 輸入 x+y+1=0 及 x-y+1=0。 2. 以原點為圓心,適當長為半徑,畫一 圓,圓上任取一點A,以直線 OA 表示 過原點的直線 L 3. 標示出L和兩線的交點 P,Q。 4. 畫出 PQ 的中點M 5. 觀察M點之軌跡。

(-動畫教學-) 有了 GeoGebra 這個好用的數學軟體,今後學數學也可如同物理、化學一般, 可以有實驗課,如上所畫出來的圖看起來是雙曲線,那到底是否真的是雙曲 線,可就要靠紙筆好好的計算驗證一下。

五、延伸閱讀: 1. 利用尺規作圖找圓錐曲線的焦點 2. 3. 4. 5. 6. 師範大學 陳創義教授 圓錐曲線1 師範大學 陳創義教授 圓錐曲線_(巨集 2) 師範大學 陳創義教授 圓錐曲線作圖法舉例 師範大學 趙文敏教授 用同心圓來描繪圓錐曲線及切線的尺規作圖 竹南高中 吳明宗老師 圓錐曲線切線的尺規作圖 科學教育月刊 272 期 內湖高中 劉紹正老師

六、相關書籍及文章:
1. 公切圓之圓心軌跡-用動態幾何軟體探討幾何性質 臺北市立師範學院 林保平 教授

2. 100 個著名初等數學問題歷史和解答 海因里希.德里 著 凡異出版社 若是在書店或圖書館找不到這本書的話,可以上網 books.google.com 以英文書名 100 Great Problems of Elementary Mathematics 為關鍵字可找到 此書的線上英文版,第214頁即為 Van Schooten 軌跡問題 3. 94 ?大學入學指定考科?學甲多選題第 9 題?考解法之迴響 成功高中 游經? 杜雲華 老師 4. 龍騰新天地 第 12 期 數學問題集 XI 11-4


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